Разложение неопределенных объектов

Каждый неопределенный объект (umat, uss, ufrd) является обобщенной связью обратной связи (lft) не - неопределенный объект (например, double, ss, frd) с диагональным увеличением неопределенных элементов (ureal, ultidyn, ucomplex, ucomplexm, udyn). На устойчивом жаргоне управления, если неопределенные элементы нормированы, это разложение часто называется “формой M/D”.

Цель неопределенных объектов (ureal, ultidyn, umat, uss, и т.д.) состоит в том, чтобы скрыть это базовое разложение и позволить пользователю фокусироваться на моделировании и анализе неопределенных систем, а не деталей правильного распространения представления M/D в манипуляциях. Тем не менее, опытные пользователи могут хотеть получить доступ к знакомой форме M/D. Команда lftdata выполняет это разложение.

Начиная с ureal ucomplex и ucomplexm не имеют их NominalValue обязательно в нуле, и в случае объектов ureal, не симметричны о NominalValue, некоторые детали требуются в описании разложения.

Нормализация функций для неопределенных элементов

Сопоставленный с каждым неопределенным элементом функция нормализации. Функция нормализации сопоставляет неопределенный элемент в нормированный неопределенный элемент.

Если ρ является неопределенным действительным параметром с областью значений [L R] и номинальная стоимость N, то функция нормализации F

$F (ρ) = \frac{A + B ρ}{C + D ρ}$

со свойством это для всего ρ, удовлетворяющего L ≤ ρ ≤ R, из этого следует, что –1 ≤ F (ρ) ≤ 1, кроме того, F (L) = –1, F (N) = 0, и F(R) = 1. Если номинальная стоимость сосредоточена в области значений, то легко завершить это

$\begin{array}{l} A = \frac{R + L}{R - L} \\ B = \frac{2}{R - L} \\ C = 1 \\ D = 0. \end{array}$

Это оставляют как осуществление алгебры для пользователя разработать различные значения для A, B, C и D, когда номинальная стоимость не сосредоточена.

Если E является неопределенной ограниченной усилением, линейной, независимой от времени динамической неуверенностью с ограниченным усилением β, то функция нормализации F

$F (E) = \frac{1}{β} E .$

Если E является неопределенной положительно-действительной, линейной, независимой от времени динамической неуверенностью с положительностью связанный β, то функция нормализации F

$F (E) = [I - α (E - \frac{β}{2} I)] {[I + α (E - \frac{β}{2} I)]}^{- 1}$

где α = 2|β | + 1.

Функция нормализации для неопределенного комплексного параметра ξ, с номинальной стоимостью C и радиусом γ,

$F (ξ) = \frac{1}{γ} (ξ - C) .$

Функция нормализации для неопределенных комплексных матриц H, с номинальной стоимостью N и весами _WL и _WR

$F (H) = W_{L}^{- 1} (H - N) W_{R}^{- 1}$

В каждом случае, когда неопределенный элемент отличается в своей области значений, абсолютное значение функции нормализации (или норма, в матричном случае) отличается от 0 и 1.

Свойства разложения

Возьмите неопределенный объект A, зависящий от неопределенных действительных параметров ρ ₁..., _ρN, неопределенные комплексные параметры ξ ₁..., _ξK, неопределенный комплексный H1 матриц..., _HB, неопределенная ограниченная усилением линейная, независимая от времени динамика E1..., _ED и неопределенная положительно-действительная линейная, независимая от времени динамика P1..., _PQ.

Запишите (ρ, ξ, H, E, P), чтобы указать на эту зависимость. Используя lftdata, A может быть разложен на две отдельных части: M и Δ (ρ, ξ, H, E, P) со следующими свойствами:

M является бесспорным (т.е. если A является uss, то M является ss; если A является umat, то M является double; если A является ufrd, то M является frd).
Δ всегда umat, в зависимости от тех же неопределенных элементов как A, с областями значений, границами, весами, и т.д., неизменный.
Форма Δ является диагональю блока с элементами, составленными из функций нормализации, действующих на отдельные неопределенные элементы:
$Δ (ρ, ξ, H, E, P) = [\begin{matrix} F (ρ) \\ 00000 & F (ξ) \\ 00000 & F (H) \\ 00000 & F (E) \\ 00000 & F (P) \end{matrix}] .$
(ρ, ξ, H, E, P) дан линейным дробным преобразованием M и Δ (ρ, ξ, H, E, P),
$A (ρ, ξ) = M_{22} + M_{21} Δ (ρ, ξ, H, E, P) {[I - M_{11} Δ (ρ, ξ, H, E, P)]}^{- 1} M_{12} .$

Порядок нормированных элементов, составляющих A, не является простым порядком, показанным выше. Это - на самом деле тот же порядок, как дано командой fieldnames(M.Uncertainty). Смотрите Усовершенствованный Синтаксис lftdata для получения дополнительной информации.

Анализируйте Неопределенную Модель Используя lftdata

Скрипт Open Live Script

Вы разлагаете неопределенную модель на фиксированную определенную часть и нормировали неопределенную часть с помощью команды lftdata. Чтобы видеть, как эта команда работает, создайте неопределенную матрицу 2 на 2 (umat) с помощью трех неопределенных действительных параметров.

delta = ureal('delta',2); 
eta = ureal('eta',6); 
rho = ureal('rho',-1); 
A = [3+delta+eta delta/eta;7+rho rho+delta*eta]

A =

  Uncertain matrix with 2 rows and 2 columns.
  The uncertainty consists of the following blocks:
    delta: Uncertain real, nominal = 2, variability = [-1,1], 2 occurrences
    eta: Uncertain real, nominal = 6, variability = [-1,1], 3 occurrences
    rho: Uncertain real, nominal = -1, variability = [-1,1], 1 occurrences

Type "A.NominalValue" to see the nominal value, "get(A)" to see all properties, and "A.Uncertainty" to interact with the uncertain elements.

A umat зависит от двух случаев delta, трех случаев eta и одного вхождения rho.

Разложите A на M и Delta.

[M,Delta] = lftdata(A);

M является числовой матрицей.

M = 8×8

         0         0         0   -0.1667         0         0    1.0000    0.1667
         0         0         0         0    1.0000         0         0    6.0000
         0         0         0         0         0         0    1.0000         0
         0         0         0   -0.1667         0         0         0    0.1667
         0         0         0         0         0         0         0    1.0000
         0         0         0         0         0         0    1.0000    1.0000
    1.0000         0    1.0000   -0.3333         0         0   11.0000    0.3333
         0    1.0000         0         0    2.0000    1.0000    6.0000   11.0000

Delta является umat с той же зависимостью неуверенности как A.

Delta

Delta =

  Uncertain matrix with 6 rows and 6 columns.
  The uncertainty consists of the following blocks:
    delta: Uncertain real, nominal = 2, variability = [-1,1], 2 occurrences
    eta: Uncertain real, nominal = 6, variability = [-1,1], 3 occurrences
    rho: Uncertain real, nominal = -1, variability = [-1,1], 1 occurrences

Type "Delta.NominalValue" to see the nominal value, "get(Delta)" to see all properties, and "Delta.Uncertainty" to interact with the uncertain elements.

Чтобы исследовать некоторые характеристики Delta, выберите его в трех точках. Обратите внимание на то, что:

Выбранное значение Delta является всегда диагональным.
Выбранные значения всегда располагаются между-1 и 1, потому что Delta нормирован.
Выбранные матрицы каждый содержит три независимых значения. Дублирование записей сопоставимо с зависимостью Delta и A на трех неопределенных действительных параметрах.

usample(Delta,3)

ans = 
ans(:,:,1) =

    0.6294         0         0         0         0         0
         0    0.6294         0         0         0         0
         0         0    0.8268         0         0         0
         0         0         0    0.8268         0         0
         0         0         0         0    0.8268         0
         0         0         0         0         0   -0.4430


ans(:,:,2) =

    0.8116         0         0         0         0         0
         0    0.8116         0         0         0         0
         0         0    0.2647         0         0         0
         0         0         0    0.2647         0         0
         0         0         0         0    0.2647         0
         0         0         0         0         0    0.0938


ans(:,:,3) =

   -0.7460         0         0         0         0         0
         0   -0.7460         0         0         0         0
         0         0   -0.8049         0         0         0
         0         0         0   -0.8049         0         0
         0         0         0         0   -0.8049         0
         0         0         0         0         0    0.9150

Проверьте, что максимальное усиление Delta равняется 1.

maxnorm = wcnorm(Delta)

maxnorm = struct with fields:
    LowerBound: 0
    UpperBound: 1.0008

Наконец, проверьте, что lft(Delta,M) совпадает с A. Для этого возьмите различие и используйте опцию 'full' в simplify, чтобы удалить избыточные зависимости от неопределенных элементов.

simplify(lft(Delta,M)-A,'full')

Усовершенствованный Синтаксис lftdata

Даже для опытного пользователя, переменная Delta на самом деле не будет настолько полезна, когда это - все еще сложный объект. С другой стороны, его внутренняя структура описана полностью с помощью 3-го (и 4-й) выходной аргумент.

[M,Delta,BlkStruct,NormUnc] = lftdata(A);

Строки BlkStruct соответствуют неопределенным элементам, названным в fieldnames(A.Uncertainty). Обратите внимание на то, что располагаться/связывать информация о каждом неопределенном элементе не включена в BlkStruct.

Элементы BlkStruct описывают размер, тип и количество копий неопределенных элементов в A, и неявно формируют рисунок точной диагональной блоком структуры Delta. Обратите внимание на то, что располагаться/связывать информация о каждом неопределенном элементе не включена в BlkStruct.

BlkStruct(1) 
ans = 
           Name: 'delta' 
           Size: [1 1] 
           Type: 'ureal' 
    Occurrences: 2 
BlkStruct(2) 
ans = 
           Name: 'eta' 
           Size: [1 1] 
           Type: 'ureal' 
    Occurrences: 3 
BlkStruct(3) 
ans = 
           Name: 'rho' 
           Size: [1 1] 
           Type: 'ureal' 
    Occurrences: 1

Вместе, они означают, что Delta является увеличением диагонали блока нормированной версии 3 неопределенных элементов.

Первый элемент называют 'delta'. Это 1 на 1; это имеет класс ureal; и существует 2 копии, по диагонали увеличенные.

Второй элемент называют 'eta'. Это 1 на 1; это имеет класс ureal; и существует 3 копии, по диагонали увеличенные.

Третий элемент называют 'rho'. Это 1 на 1; это имеет класс ureal; и существует 1 копия,

4-й выходной аргумент содержит массив ячеек нормированных неопределенных элементов. Массив ячеек содержит столько же случаев каждого элемента, сколько существуют случаи в исходном неопределенном объекте A.

size(NormUnc) 
ans = 
     6     1 
NormUnc{1} 
Uncertain Real Parameter: Name deltaNormalized, NominalValue 0, 
variability = [-1  1] 
isequal(NormUnc{2},NormUnc{1}) 
ans = 
     1 
NormUnc{3} 
Uncertain Real Parameter: Name etaNormalized, NominalValue 0, 
variability = [-1  1] 
isequal(NormUnc{4},NormUnc{3}) 
ans = 
     1 
isequal(NormUnc{5},NormUnc{3}) 
ans = 
     1 
NormUnc{6} 
Uncertain Real Parameter: Name rhoNormalized, NominalValue 0, 
variability = [-1  1]

Каждому нормированному элементу добавили 'Normalized' к его настоящему имени, чтобы избежать беспорядка. Когда нормировано,

Объекты ureal имеют номинальную стоимость 0, и диапазон от-1 до 1.
Объекты ultidyn являются ограниченной нормой с нормой, связанной 1.
Объекты ucomplex имеют номинальную стоимость 0, и радиус 1.
Объекты ucomplexm имеют номинальную стоимость 0, и единичные матрицы для каждого WL andWR веса.

Возможные поведения Delta и blkdiag(NormUnc{:}) являются тем же самым. Следовательно, возможные поведения A и lft(blkdiag(NormUnc{:}),M) являются тем же самым.

Следовательно, путем управления M, BlkStruct и NormUnc, продвинутый пользователь имеет прямой доступ ко всем линейным дробным деталям преобразования и может легко работать на уровне теорем и алгоритмов, которые лежат в основе методов.

Смотрите также

lftdata

Документация