Гамма распределение

Определение

Гамма PDF

$y = f (x | a, b) = \frac{1}{b^{a} Γ (a)} x^{a - 1} e^{\frac{- x}{b}}$

где Γ (·) Гамма функция, параметра формы, b является масштабным коэффициентом.

Фон

Гамма суммы моделей распределения экспоненциально распределенных случайных переменных.

Гамма семейство распределений основано на двух параметрах. Распределения хи-квадрат и экспоненциальные распределения, которые являются дочерними элементами гамма распределения, являются дистрибутивами с одним параметром, которые фиксируют один из двух гамма параметров.

Гамма распределение имеет следующее отношение с неполной Гамма функцией.

$f (x | a, b) = gammainc (\frac{x}{b}, a)$

Когда большого, гамма распределение тесно аппроксимирует нормальное распределение с преимуществом, что гамма распределение имеет плотность только для положительных вещественных чисел.

Параметры

Предположим, что вы - микросхемы памяти компьютера стресс-тестирования и данные о сборе по их времени жизни. Вы принимаете, что это время жизни следует за гамма распределением. Вы хотите знать, сколько времени можно ожидать, что средний чип памяти компьютера прослужит. Оценка параметра является процессом определения параметров гамма распределения, которые соответствуют этим данным лучше всего в некотором смысле.

Один популярный критерий совершенства должен максимизировать функцию правдоподобия. Вероятность имеет ту же форму как гамма PDF выше. Но для PDF, параметры являются известными константами, и переменная является x. Функция правдоподобия инвертирует роли переменных. Здесь, демонстрационные значения ( x's) уже наблюдаются. Таким образом, они - фиксированные постоянные. Переменные являются неизвестными параметрами. MLE включает вычисление значений параметров, которые дают самую высокую вероятность, учитывая определенный набор данных.

Функциональный gamfit возвращает MLEs и доверительные интервалы для параметров гамма распределения. Вот пример с помощью случайных чисел от гамма распределения с = 10 и b = 5.

lifetimes = gamrnd(10,5,100,1);
[phat, pci] = gamfit(lifetimes)

phat =
   
    10.9821    4.7258

pci =

    7.4001    3.1543
   14.5640    6.2974

Отметьте phat(1) = â и phat(2) = $\hat{b}$ . MLE для параметра 10.98, по сравнению с истинным значением 10. 95%-й доверительный интервал для движения от 7,4 до 14,6, который включает истинное значение.

Так же MLE для параметра b 4.7, по сравнению с истинным значением 5. 95%-й доверительный интервал для b идет от 3,2 до 6,3, который также включает истинное значение.

В жизненных тестах вы не знаете истинного значения a и b, таким образом, хорошо иметь доверительный интервал на параметрах, чтобы дать область значений вероятных значений.

Примеры

Сравните Гамму и Нормальное распределение pdfs

Скрипт Open Live Script

Гамма распределение имеет параметр формы $a$ и масштабный коэффициент $b$ . Для большого $a$ , гамма распределение тесно аппроксимирует нормальное распределение со средним значением $μ = a, B$ и отклонение $σ^{2} = a b^{2}$ . Вычислите PDF гамма распределения с параметрами A = 100 и B = 10. Для сравнения также вычислите PDF нормального распределения с параметрами mu = 1000 и sigma = 100.

x = gaminv((0.005:0.01:0.995),100,10);
y_gam = gampdf(x,100,10);
y_norm = normpdf(x,1000,100);

Постройте pdfs гамма распределения и нормального распределения на той же фигуре.

plot(x,y_gam,'-',x,y_norm,'-.')
title('Gamma and Normal pdfs')
legend('Gamma Distribution','Normal Distribution')

Ссылки

[1] Хан, Джеральд Дж. и С. С. Шапиро. Статистические модели в Разработке. Хобокен, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1994, p. 88.

Смотрите также

GammaDistribution

Документация