Полунормальное распределение

Обзор

Полунормальное распределение является особым случаем свернутых нормальных и усеченных нормальных распределений. Некоторые приложения полунормального распределения включают данные об измерении моделирования и пожизненные данные.

Параметры

Полунормальное распределение использует следующие параметры:

Параметр	Описание
$- \infty < μ < \infty$	Параметр положения
$σ \geq 0$	Масштабный коэффициент

Поддержкой полунормального распределения является x ≥ μ.

Используйте makedist с заданными значениями параметров, чтобы создать объект HalfNormalDistribution полунормального распределения вероятностей. Используйте fitdist, чтобы соответствовать объекту полунормального распределения вероятностей к выборочным данным. Используйте mle, чтобы оценить значения параметров полунормального распределения от выборочных данных, не создавая объект распределения вероятностей. Для получения дополнительной информации о работе с распределениями вероятностей, смотрите Работу с Распределениями вероятностей.

Реализация Statistics and Machine Learning Toolbox™ полунормального распределения принимает фиксированное значение для параметра положения μ. Поэтому ни fitdist, ни mle не оценивают значение параметра μ при подборе кривой полунормальному распределению к выборочным данным. Можно задать значение для параметра μ при помощи аргумента пары "имя-значение" 'mu'. Значение по умолчанию для аргумента 'mu' 0 и в fitdist и в mle.

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности (PDF) полунормального распределения

$y = f (x | μ, σ) = \sqrt{\frac{2}{π}} \frac{1}{σ} e^{- \frac{}{12} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}; x \geq μ,$

где μ является параметром положения, и σ является масштабным коэффициентом. Если x ≤ μ, то PDF не определен.

Чтобы вычислить PDF полунормального распределения, создайте объект распределения вероятностей HalfNormalDistribution использование fitdist или makedist, затем используйте метод pdf, чтобы работать с объектом.

PDF полунормального распределения вероятностей

Скрипт Open Live Script

Этот пример показывает, как изменение значений mu и параметров sigma изменяет форму PDF.

Создайте четыре объекта распределения вероятностей с различными параметрами.

pd1 = makedist('HalfNormal');
pd2 = makedist('HalfNormal','mu',0,'sigma',2);
pd3 = makedist('HalfNormal','mu',0,'sigma',3);
pd4 = makedist('HalfNormal','mu',0,'sigma',5);

Вычислите функции плотности вероятности (pdfs) каждого распределения.

x = 0:0.1:10;
pdf1 = pdf(pd1,x);
pdf2 = pdf(pd2,x);
pdf3 = pdf(pd3,x);
pdf4 = pdf(pd4,x);

Постройте pdfs на той же фигуре.

figure;
plot(x,pdf1,'r','LineWidth',2)
hold on;
plot(x,pdf2,'k:','LineWidth',2);
plot(x,pdf3,'b-.','LineWidth',2);
plot(x,pdf4,'g--','LineWidth',2);
legend({'mu = 0, sigma = 1','mu = 0, sigma = 2',...
    'mu = 0, sigma = 3','mu = 0, sigma = 5'},'Location','NE');
hold off;

Когда sigma увеличивается, кривая сглаживается, и пиковое значение становится меньшим.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) полунормального распределения

$y = F (x) = e r f (\frac{x - μ}{\sqrt{2} σ}) = 2 Φ (\frac{x - μ}{σ}) - 1; x \geq μ,$

где μ является параметром положения, σ является масштабным коэффициентом, erf (•) функция ошибок и Φ (•) cdf стандартного нормального распределения. Если x ≤ μ, то cdf не определен.

Чтобы вычислить cdf полунормального распределения, создайте объект распределения вероятностей HalfNormalDistribution использование fitdist или makedist, затем используйте метод cdf, чтобы работать с объектом.

CDF полунормального распределения вероятностей

Скрипт Open Live Script

Этот пример показывает, как изменение значений mu и параметров sigma изменяет форму cdf.

Создайте четыре объекта распределения вероятностей с различными параметрами.

pd1 = makedist('HalfNormal');
pd2 = makedist('HalfNormal','mu',0,'sigma',2);
pd3 = makedist('HalfNormal','mu',0,'sigma',3);
pd4 = makedist('HalfNormal','mu',0,'sigma',5);

Вычислите кумулятивные функции распределения (cdfs) для каждого распределения вероятностей.

x = 0:0.1:10;
cdf1 = cdf(pd1,x);
cdf2 = cdf(pd2,x);
cdf3 = cdf(pd3,x);
cdf4 = cdf(pd4,x);

Постройте все четыре cdfs на той же фигуре.

figure;
plot(x,cdf1,'r','LineWidth',2)
hold on;
plot(x,cdf2,'k:','LineWidth',2);
plot(x,cdf3,'b-.','LineWidth',2);
plot(x,cdf4,'g--','LineWidth',2);
legend({'mu = 0, sigma = 1','mu = 0, sigma = 2',...
    'mu = 0, sigma = 3','mu = 0, sigma = 5'},'Location','SE');
hold off;

Когда sigma увеличивается, кривая cdf сглаживается.

Описательная статистика

Среднее значение полунормального распределения

$среднее значение = μ + σ \sqrt{\frac{2}{π},}$

где μ является параметром положения, и σ является масштабным коэффициентом.

Отклонение полунормального распределения

$var = σ^{2} (1 - \frac{2}{π}),$

где σ является масштабным коэффициентом.

Отношение к другим дистрибутивам

Если случайная переменная Z имеет стандартное нормальное распределение со средним μ равное нулю и стандартное отклонение σ, равный одному, то $X = μ + σ | Z |$ имеет полунормальное распределение с параметрами μ и σ.

Ссылки

[1] Cooray, K. и M.M.A. Полное блаженство. “Обобщение Полунормального распределения с Приложениями к Пожизненным Данным”. Коммуникации в Статистике – Теория и Методы. Издание 37, Номер 9, 2008, стр 1323–1337.

[2] Пеуси, A. “Вывод большой выборки для Общего Полунормального распределения”. Коммуникации в Статистике – Теория и Методы. Издание 31, Номер 7, 2002, стр 1045–1054.

Смотрите также

HalfNormalDistribution

Документация