T Распределение студента

Обзор

Распределение t Студента является семейством кривых в зависимости от одного параметра ν (степени свободы).

Параметры

Распределение t Студента использует следующий параметр.

ПараметрОписание
ν = 1, 2, 3,...Степени свободы

Функция плотности вероятности

Определение

Функция плотности вероятности (PDF) распределения t Студента

y=f(x|ν)=Γ(ν+12)Γ(ν2)1νπ1(1+x2ν)ν+12

где ν является степенями свободы и Γ  (·) Гамма функция. Результатом y является вероятность наблюдения особого значения x от распределения t Студента со степенями свободы ν.

График

Этот график показывает, как, изменяя значение параметра степеней свободы ν изменяет форму PDF. Используйте tpdf, чтобы вычислить PDF для значений, которым x равняется 0 до 10 для трех различных значений ν. Затем постройте все три pdfs на той же фигуре для визуального сравнения.

x = [0:.1:10];
y1 = tpdf(x,5);   % For nu = 5
y2 = tpdf(x,25);  % For nu = 25
y3 = tpdf(x,50);  % For nu = 50

figure;
plot(x,y1,'Color','black','LineStyle','-')
hold on
plot(x,y2,'Color','red','LineStyle','-.')
plot(x,y3,'Color','blue','LineStyle','--')
legend({'nu = 5','nu = 25','nu = 50'})
hold off

Генерация случайных чисел

Используйте trnd, чтобы сгенерировать случайные числа от распределения t Студента. Например, следующее генерирует случайное число от распределения t Студента со степенями свободы ν, равный 10.

nu = 10;
r = trnd(nu)
r = 1.0585

Отношение к другим дистрибутивам

Как степени свободы ν переходит к бесконечности, распределение t приближается к стандартному нормальному распределению.

Если x является случайной выборкой размера n от нормального распределения со средним μ, то статистическая величина

t=x¯μs/n

где x¯ демонстрационное среднее значение, и s является демонстрационным стандартным отклонением, имеет распределение t Студента с n – 1 степень свободы.

Распределение Коши является распределением t Студента со степенями свободы ν, равный 1. Распределение Коши имеет неопределенное среднее значение и отклонение.

Кумулятивная функция распределения

Определение

Кумулятивная функция распределения (cdf) распределения t Студента

p=F(x|ν)=xΓ(ν+12)Γ(ν2)1νπ1(1+t2ν)ν+12dt

где ν является степенями свободы и Γ  (·) Гамма функция. p результата является вероятностью, что одно наблюдение от распределения t со степенями свободы ν упадет в интервале [– ∞, x].

График

Этот график показывает, как, изменяя значение параметра ν изменяет форму cdf. Используйте tcdf, чтобы вычислить cdf для значений, которым x равняется 0 до 10 для трех различных значений ν. Затем постройте все три cdfs на той же фигуре для визуального сравнения.

x = [0:.1:10];
y1 = tcdf(x,5);   % For nu = 5
y2 = tcdf(x,25);  % For nu = 25
y3 = tcdf(x,50);  % For nu = 50

figure;
plot(x,y1,'Color','black','LineStyle','-')
hold on
plot(x,y2,'Color','red','LineStyle','-.')
plot(x,y3,'Color','blue','LineStyle','--')
legend({'nu = 5','nu = 25','nu = 50'})
hold off

Инверсия cdf

Используйте tinv, чтобы вычислить инверсию cdf распределения t Студента.

p = .95;
nu = 50;
x = tinv(p,nu)
x = 1.6759

Среднее значение и отклонение

Среднее значение распределения t Студента

среднее значение=0

для степеней свободы ν, больше, чем 1. Если ν равняется 1, то среднее значение не определено.

Отклонение распределения t Студента

var=νν2

для степеней свободы ν, больше, чем 2. Если ν меньше чем или равен 2, то отклонение не определено.

Используйте tstat, чтобы вычислить среднее значение и отклонение распределения t Студента. Например, следующее вычисляет среднее значение и отклонение распределения t Студента со степенями свободы ν, равный 10.

nu = 10;
[m,v] = tstat(nu)
m = 0
v = 1.2500

Пример

Сравните t Студента и Нормальное распределение pdfs

T распределение Студента является семейством кривых в зависимости от одного параметра ν (степени свободы). Как степени свободы ν переходит к бесконечности, t распределение приближается к стандартному нормальному распределению. Вычислите pdfs для t распределения Студента с параметром nu = 5 и t распределение Студента с параметром nu = 25. Вычислите PDF для стандартного нормального распределения.

x = -5:0.1:5;
y1 = tpdf(x,5);
y2 = tpdf(x,15);
z = normpdf(x,0,1);

Постройте t Студента pdfs и стандартный нормальный PDF на той же фигуре. Стандартный нормальный PDF имеет более короткие хвосты, чем t Студента pdfs.

plot(x,y1,'-.',x,y2,'--',x,z,'-')
legend('Student''s t Distribution with \nu=5', ...
    'Student''s t Distribution with \nu=25', ...
    'Standard Normal Distribution','Location','best')
title('Student''s t and Standard Normal pdfs')

Смотрите также

| | | | |

Связанные примеры

Больше о

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте