Распределение Уишарта

Обзор

Распределение Уишарта является обобщением одномерного распределения хи-квадрат к двум или больше переменным. Это - распределение для симметричных положительных полуопределенных матриц, обычно ковариационных матриц, диагональные элементы которых являются каждым хи-квадратом случайные переменные. Таким же образом, когда распределение хи-квадрат может быть создано путем подведения итогов квадратов независимых, тождественно распределенный, нулевые средние одномерные нормальные случайные переменные, распределение Уишарта может быть создано путем подведения итогов скалярных произведений независимых, тождественно распределенный, нулевые средние многомерные нормальные случайные векторы. Распределение Уишарта часто используется в качестве модели для распределения матрицы выборочной ковариации для многомерных нормальных случайных данных после масштабирования объемом выборки.

Только случайная генерация матрицы поддерживается для распределения Уишарта, и включая сингулярный и включая несингулярный Σ.

Параметры

Распределение Уишарта параметризовано с симметричной, положительной полуопределенной матрицей, Σ, и параметр степеней свободы положительной скалярной величины, ν. ν походит на параметр степеней свободы одномерного распределения хи-квадрат, и Σν является средним значением распределения.

Функция плотности вероятности

Функцией плотности вероятности d-dimensional распределения Уишарта дают

$y = f (Χ, Σ, ν) = \frac{{| Χ |}^{((ν - d-1) / 2)} e^{(- \frac{}{} 12trace (Σ^{- 1} Χ))}}{2^{(ν d)/2} π^{(d (d-1))/4} {| \sum |}^{ν / 2} Γ (ν / 2) ... Γ (ν - (d-1))/2}$

где X и Σ d-by-d симметричные положительные определенные матрицы, и ν является скаляром, больше, чем d – 1. В то время как возможно задать Уишарта для сингулярного Σ, плотность не может быть записана как выше.

Пример

Если x является двумерным нормальным случайным вектором со средней нулевой и ковариационной матрицей

$Σ = (\begin{matrix} 1 & .5 \\ .5 & 2 \end{matrix})$

затем можно использовать распределение Уишарта, чтобы сгенерировать матрицу выборочной ковариации, явным образом не генерируя x саму. Заметьте, как изменчивость выборки является довольно большой, когда степени свободы являются небольшими.

Sigma = [1 .5; .5 2];
df = 10; S1 = wishrnd(Sigma,df)/df

S1 =
       1.7959      0.64107
      0.64107       1.5496

df = 1000; S2 = wishrnd(Sigma,df)/df

S2 =
       0.9842      0.50158
      0.50158       2.1682

Смотрите также

wishrnd

Документация