Вычислите факторизацию Холесского числовых и символьных матриц

Вычислите факторизацию Холесского 3х3 Гильбертовой матрицы. Поскольку эти числа не являются символьными объектами, вы получаете результаты с плавающей точкой.

chol(hilb(3))

ans =
    1.0000    0.5000    0.3333
         0    0.2887    0.2887
         0         0    0.0745

Теперь преобразуйте эту матрицу в символьный объект и вычислите факторизацию Холесского:

chol(sym(hilb(3)))

ans =
[ 1,       1/2,        1/3]
[ 0, 3^(1/2)/6,  3^(1/2)/6]
[ 0,         0, 5^(1/2)/30]

Возвратите нижнюю треугольную матрицу

Вычислите факторизацию Холесского 3х3 матрицы Паскаля возврат нижней треугольной матрицы в результате:

chol(sym(pascal(3)), 'lower')

ans =
[ 1, 0, 0]
[ 1, 1, 0]
[ 1, 2, 1]

Если Вход не Эрмитов Положительный Определенный

Попытайтесь вычислить факторизацию Холесского этой матрицы. Поскольку эта матрица не Эрмитова положительный определенный, chol, используемый без выходных аргументов или с одним выходным аргументом, выдает ошибку:

A = sym([1 1 1; 1 2 3; 1 3 5]);

T = chol(A)

Error using sym/chol (line 132)
Cannot prove that input matrix is Hermitian positive definite.
Define a Hermitian positive definite matrix by setting
appropriate assumptions on matrix components, or use 'nocheck'
to skip checking whether the matrix is Hermitian positive definite.

Чтобы подавить ошибку, используйте два выходных аргумента, T и p. Если матрица не распознана Эрмитовой положительный определенный, то этот синтаксис присваивает пустой символьный объект T и значению 1 к p:

[T,p] = chol(A)

T =
[ empty sym ]
p =
     1

Для Эрмитовой положительной определенной матрицы p 0:

[T,p] = chol(sym(pascal(3)))

T =
[ 1, 1, 1]
[ 0, 1, 2]
[ 0, 0, 1]
p =
     0

Также 'nocheck' позволяет вам пропустить проверку, является ли A Эрмитовой положительной определенной матрицей. Таким образом этот флаг позволяет вам вычислить факторизацию Холесского символьной матрицы, не устанавливая дополнительные предположения на ее компонентах сделать его Эрмитовым положительный определенный:

syms a
A = [a 0; 0 a];
chol(A,'nocheck')

ans =
[ a^(1/2),       0]
[       0, a^(1/2)]

Если вы используете 'nocheck' для вычисления факторизации Холесского матрицы, которая не является Эрмитова положительный определенный, chol может возвратить матричный T, для которого идентичность T'*T = A не содержит. Чтобы заставить isAlways возвратить логический 0 (false) для неразрешимых условий, установите Unknown на false.

T = chol(sym([1 1; 2 1]), 'nocheck')

T =
[ 1,         2]
[ 0, 3^(1/2)*1i]

isAlways(A == T'*T,'Unknown','false')

ans =
  2×2 logical array
     0     0
     0     0

Возвратите матрицу перестановок

Вычислите факторизацию Холесского 3х3 обратной Гильбертовой матрицы, возвращающей матрицу перестановок:

A = sym(invhilb(3));
[T, p, S] = chol(A)

T =
[ 3,       -12,         10]
[ 0, 4*3^(1/2), -5*3^(1/2)]
[ 0,         0,    5^(1/2)]

p =
     0

S =
     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1

Возвратите информацию о перестановке как вектор

Вычислите факторизацию Холесского 3х3 обратной Гильбертовой матрицы, возвращающей информацию о перестановке как вектор:

A = sym(invhilb(3));
[T, p, S] = chol(A, 'vector')

T =
[ 3,       -12,         10]
[ 0, 4*3^(1/2), -5*3^(1/2)]
[ 0,         0,    5^(1/2)]
p =
     0
S =
     1     2     3

Используйте предположения, чтобы сделать матрицу эрмитовой положительный определенный

Вычислите факторизацию Холесского матричного A, содержащего символьные параметры. Без дополнительных предположений на параметре a эта матрица не является Эрмитовой. Чтобы заставить isAlways возвратить логический 0 (false) для неразрешимых условий, установите Unknown на false.

syms a
A = [a 0; 0 a];
isAlways(A == A','Unknown','false')

ans =
  2×2 logical array
     0     1
     1     0

Путем установки предположений на a и b, можно задать A, чтобы быть Эрмитовы положительный определенный. Поэтому можно вычислить факторизацию Холесского A:

assume(a > 0)
chol(A)

ans =
[ a^(1/2),       0]
[       0, a^(1/2)]

Для дальнейших вычислений удалите предположения на a путем воссоздания его с помощью syms:

syms a

Возвратите действительный результат без сопряженных комплексных чисел

Вычислите факторизацию Холесского этой матрицы. Чтобы пропустить проверку, является ли это Эрмитовым положительный определенный, используйте 'nocheck'. По умолчанию chol вычисляет Эрмитовую факторизацию A = T'*T. Таким образом результат содержит сопряженные комплексные числа.

syms a b
A = [a b; b a];
T = chol(A, 'nocheck')

T =
[ a^(1/2),                    conj(b)/conj(a^(1/2))]
[       0, (a*abs(a) - abs(b)^2)^(1/2)/abs(a)^(1/2)]

Чтобы избежать сопряженных комплексных чисел в результате, используйте 'real':

T = chol(A, 'nocheck', 'real')

T =
[ a^(1/2),             b/a^(1/2)]
[       0, ((a^2 - b^2)/a)^(1/2)]

Когда вы используете этот флаг, chol вычисляет симметричную факторизацию A = T.'*T вместо Эрмитовой факторизации A = T'*T. Чтобы заставить isAlways возвратить логический 0 (false) для неразрешимых условий, установите Unknown на false.

isAlways(A == T.'*T)

ans =
  2×2 logical array
     1     1
     1     1

isAlways(A == T'*T,'Unknown','false')

ans =
  2×2 logical array
     0     0
     0     0