Матричный кубический корень

Найдите матричный B, такой, что ^{B3 = A}, где A является 3х3 единичной матрицей.

Чтобы решить ^{B3 = A}, вычислите кубический корень матричного A с помощью функции funm. Создайте символьный функциональный f(x) = x^(1/3) и используйте его в качестве второго аргумента для funm. Кубический корень единичной матрицы является самой единичной матрицей.

A = sym(eye(3))

syms f(x)
f(x) = x^(1/3);

B = funm(A,f)

A =
[ 1, 0, 0]
[ 0, 1, 0]
[ 0, 0, 1]
 
B =
[ 1, 0, 0]
[ 0, 1, 0]
[ 0, 0, 1]

Замените один из элементов 0 матричного A с 1 и вычислите матричный кубический корень снова.

A(1,2) = 1
B = funm(A,f)

A =
[ 1, 1, 0]
[ 0, 1, 0]
[ 0, 0, 1]

B =
[ 1, 1/3, 0]
[ 0,   1, 0]
[ 0,   0, 1]

Теперь, вычислите кубический корень верхней треугольной матрицы.

A(1:2,2:3) = 1
B = funm(A,f)

A =
[ 1, 1, 1]
[ 0, 1, 1]
[ 0, 0, 1]

B =
[ 1, 1/3, 2/9]
[ 0,   1, 1/3]
[ 0,   0,   1]

Проверьте тот ^{B3 = A}.

B^3

ans =
[ 1, 1, 1]
[ 0, 1, 1]
[ 0, 0, 1]

Матрица функция Ламберта В

Найдите матрицу функцией Ламберта В.

Во-первых, создайте 3х3 матричный A с помощью арифметики переменной точности с пятью точностью цифры. В этом примере, с помощью арифметики переменной точности вместо точных символьных чисел позволяет вам ускорить вычисления и уменьшить использование памяти. Используя только пять цифр помогает результату соответствовать на экране.

savedefault = digits(5);
A = vpa(magic(3))

A =
[ 8.0, 1.0, 6.0]
[ 3.0, 5.0, 7.0]
[ 4.0, 9.0, 2.0]

Создайте символьный функциональный f(x) = lambertw(x).

syms f(x)
f(x) = lambertw(x);

Найти функцию Ламберта В (ответвление _W0) в матричном смысле, callfunm использование f(x) в качестве его второго аргумента.

W0 = funm(A,f)

W0 =
[  1.5335 + 0.053465i, 0.11432 + 0.47579i, 0.36208 - 0.52925i]
[ 0.21343 + 0.073771i,  1.3849 + 0.65649i, 0.41164 - 0.73026i]
[  0.26298 - 0.12724i,  0.51074 - 1.1323i,   1.2362 + 1.2595i]

Проверьте, что этим результатом является решение матричного уравнения ^{A = W0·eW0} в заданной точности.

W0*expm(W0)

ans =
[               8.0, 1.0 - 5.6843e-13i, 6.0 + 1.1369e-13i]
[ 3.0 - 2.2737e-13i, 5.0 - 2.8422e-14i, 7.0 - 4.1211e-13i]
[ 4.0 - 2.2737e-13i, 9.0 - 9.9476e-14i, 2.0 + 1.4779e-12i]

Теперь, создайте символьный функциональный f(x), представляющий ответвление _W-1 функции Ламберта В.

f(x) = lambertw(-1,x);

Найдите ответвление _W-1 для матричного A.

Wm1 = funm(A,f)

Wm1 =
[   0.40925 - 4.7154i, 0.54204 + 0.5947i, 0.13764 - 0.80906i]
[ 0.38028 + 0.033194i, 0.65189 - 3.8732i, 0.056763 - 1.0898i]
[   0.2994 - 0.24756i, - 0.105 - 1.6513i,  0.89453 - 3.0309i]

Проверьте, что этим результатом является решение матричного уравнения ^{A = Wm1·eWm1} в заданной точности.

Wm1*expm(Wm1)

ans =
[ 8.0 - 8.3844e-13i,  1.0 - 3.979e-13i, 6.0 - 9.0949e-13i]
[ 3.0 - 9.6634e-13i,  5.0 + 1.684e-12i, 7.0 + 4.5475e-13i]
[ 4.0 - 1.3642e-12i, 9.0 + 1.6698e-12i, 2.0 + 1.7053e-13i]

Матричный экспоненциал, логарифм и квадратный корень

Можно использовать funm с соответствующими вторыми аргументами, чтобы найти матричный экспоненциал, логарифм и квадратный корень. Однако более эффективный подход должен использовать функции expm, logm и sqrtm для этой задачи.

Создайте эту квадратную матрицу и найдите ее экспоненциал, логарифм и квадратный корень.

syms x
A = [1 -1; 0 x]
expA = expm(A)
logA = logm(A)
sqrtA = sqrtm(A)

A =
[ 1, -1]
[ 0,  x]
 
expA =
[ exp(1), (exp(1) - exp(x))/(x - 1)]
[      0,                    exp(x)]
 
logA =
[ 0, -log(x)/(x - 1)]
[ 0,          log(x)]
 
sqrtA =
[ 1, 1/(x - 1) - x^(1/2)/(x - 1)]
[ 0,                     x^(1/2)]

Найдите матричный экспоненциал, логарифм и квадратный корень из A с помощью funm. Используйте символьные выражения exp(x), log(x) и sqrt(x) в качестве второго аргумента funm. Результаты идентичны.

expA = funm(A,exp(x))
logA = funm(A,log(x))
sqrtA = funm(A,sqrt(x))

expA =
[ exp(1), exp(1)/(x - 1) - exp(x)/(x - 1)]
[      0,                          exp(x)]
 
logA =
[ 0, -log(x)/(x - 1)]
[ 0,          log(x)]
 
sqrtA =
[ 1, 1/(x - 1) - x^(1/2)/(x - 1)]
[ 0,                     x^(1/2)]