G-функция Майера
meijerG(a,b,c,d,z)syms x meijerG(3, [], [], 2, 5)
ans =
25Вызовите meijerG, когда z будет массивом. поэлементные действия meijerG.
a = 2; z = [1 2 3]; meijerG(a, [], [], [], z)
ans =
0.3679 1.2131 2.1496Преобразуйте числовой вход в символьную форму с помощью sym и найдите G-функцию Майера. Для определенных символьных входных параметров meijerG возвращает точный символьный выходной параметр с помощью других функций.
meijerG(sym(2), [], [], [], sym(3))
ans = 3*exp(-1/3)
meijerG(sym(2/5), [], sym(1/2), [], sym(3))
ans = (2^(4/5)*3^(1/2)*gamma(1/10))/80
Для символьных переменных или выражений, meijerG возвращает выходной параметр с точки зрения простых или специальных функций.
syms a b c d z f = meijerG(a,b,c,d,z)
f = (gamma(c - a + 1)*(1/z)^(1 - a)*hypergeom([c - a + 1, d - a + 1],... b - a + 1, 1/z))/(gamma(b - a + 1)*gamma(a - d))
Замените значениями переменные при помощи subs и преобразуйте значения, чтобы удвоиться при помощи double.
fVal = subs(f, [a b c d z], [1.2 3 5 7 9])
fVal = (266*9^(1/5)*hypergeom([24/5, 34/5], 14/5, 1/9))/(25*gamma(-29/5))
double(fVal)
ans = 5.7586e+03
Вычислите fVal к более высокой точности с помощью vpa.
vpa(fVal)
ans = 5758.5946416377834597597497022199
Дифференцируйте G-функцию Майера при помощи diff.
syms a b c d z mG = meijerG(a, b, c, d, z); diffmG = diff(mG)
diffmG = (gamma(c - a + 1)*(a - 1)*hypergeom([c - a + 1, d - a + 1],... b - a + 1, 1/z))/(z^2*gamma(b - a + 1)*gamma(a - d)*(1/z)^a)... - (gamma(c - a + 1)*(1/z)^(1 - a)*(c - a + 1)*(d - a + 1)... *hypergeom([c - a + 2, d - a + 2], b - a + 2, 1/z))... /(z^2*gamma(b - a + 1)*gamma(a - d)*(b - a + 1))
Покажите отношения между meijerG и более простыми функциями для данных значений параметров.
Покажите, что, когда a, b и d пусты, и c = 0, затем meijerG уменьшает до exp(-z).
syms z meijerG([], [], 0, [], z)
ans = exp(-z)
Покажите, что, когда a, b и d пусты, и c = [1/2 -1/2], затем meijerG уменьшает до 2 кВ (1,2z1/2).
meijerG([], [], [1/2 -1/2], [], z)
ans = 2*besselk(1, 2*z^(1/2))
Постройте действительные и мнимые значения G-функции Майера для значений b и z, где a = [-2 2] и c и d пусты. Заполните контуры установкой Fill к on.
syms b z
f = meijerG([-2 2], b, [], [], z);
subplot(2,2,1)
fcontour(real(f),'Fill','on')
title('Real Values of Meijer G')
xlabel('b')
ylabel('z')
subplot(2,2,2)
fcontour(imag(f),'Fill','on')
title('Imag. Values of Meijer G')
xlabel('b')
ylabel('z')
Для Meijer G-function meijerG ([a1, …, an], [an+1, …, ap], [b1, …, bm], [bm+1, …, bq], z), для ai ∊ (a1, …, an) и bj ∊ (b1, …, bm), никакое различие ai − bj должен быть положительным целым числом.
G-функция Майера связала комплексный криволинейный интеграл с одним из следующих типов путей к интегрированию:
Контур идет от - i ∞ i ∞ так, чтобы все полюса , j = 1, …, m лжет праву пути и всем полюсам , k = 1, …, n лжет левым пути. Интеграл сходится если
, |arg (z) | <c π. Если |arg (z) | = c π, c ≥ 0, интеграл сходится абсолютно когда p = q и ℜ (ψ) <-1, где . Когда p ≠ q, интеграл сходится, если вы выбираете контур так, чтобы контур указал близкий i ∞ и - i, ∞ имеют действительную часть удовлетворение σ .
Контур является началом цикла и окончанием в infinity и окружением всех полюсов , j = 1, …, m, перемещающийся в отрицательное направление, но ни один из полюсов , k = 1, …, n. Интеграл сходится если q ≥ 1 и или p <q или p = q и |z | <1.
Контур является началом цикла и окончанием в - ∞ и окружение всех полюсов , k = 1, …, n, перемещающийся в положительное направление, но ни один из полюсов , j = 1, …, m. Интеграл сходится если p ≥ 1 и любой p> q или p = q и |z |> 1.
Интеграл представляет обратное Преобразование Лапласа или, более конкретно, тип Меллин-Барнса интеграла.
Для данного набора параметров контур, выбранный в определении G-функции Майера, является тем, для которого сходится интеграл. Если интеграл сходится для нескольких контуров, всего вывода контуров к той же функции.
G-функция Майера удовлетворяет дифференциальному уравнению порядка max (p, q) относительно переменной z:
Если p <q, это дифференциальное уравнение имеет регулярную особенность в z = 0 и неправильную особенность в z = ∞. Если p = q, точки, z = 0 и z = ∞ является регулярными особенностями, и существует дополнительная регулярная особенность в z = (−1) m + n - p.
G-функция Майера представляет аналитическое продолжение гипергеометрической функции [1]. Для конкретного выбора параметров можно выразить G-функцию Майера через гипергеометрическую функцию. Например, если никакие два из условий h b, h = 1, …, m, не отличаются целым числом или нулем, и все полюса просты, то
Здесь p <q или p = q и |z | <1. A h обозначает
B h обозначает
G-функции Майера с различными параметрами могут представлять ту же функцию.
G-функция Майера симметрична относительно параметров. Изменение порядка в каждом из следующих списков векторов не изменяет получившуюся G-функцию Майера: [a 1, …, a n], [a n + 1, …, a p], [b 1, …, b m], [b m + 1, …, b q].
Если z не является отрицательным вещественным числом и z ≠ 0, функция удовлетворяет следующую идентичность:
.
Если 0 <n <p и r = a 1 - a p является целым числом, функция удовлетворяет следующую идентичность:
.
Если 0 <m <q и r = b 1 - b q является целым числом, функция удовлетворяет следующую идентичность:
.
Согласно этим правилам, вызов функции meijerG может возвратить meijerG с измененными входными параметрами.
[1] Люк, Y. L. специальные функции и их приближения. Издание 1. Нью-Йорк: Academic Press, 1969.
[2] Прудников, A. P. Ю. А. Брычков, и О. И. Маричев, интегралы и ряд. Vol 3: более специальные функции. Гордон и нарушение, 1990.
[3] Abramowitz, M. i. А. Стегун, Руководство Математических функций. 9-я печать. Нью-Йорк: Дуврские Публикации, 1970.