meijerG

G-функция Майера

свернуть все на странице

Синтаксис

meijerG(a,b,c,d,z)

Описание

пример

meijerG(a,b,c,d,z) возвращает G-функцию Майера. meijerG поэлементен в z. Входной a параметров, b, c и d являются векторами, которые могут быть пустыми, как в meijerG([], [], 3.2, [], 1).

Примеры

свернуть все

syms x
meijerG(3, [], [], 2, 5)
ans =
    25

Вызовите meijerG, когда z будет массивом. поэлементные действия meijerG.

a = 2;
z = [1 2 3];
meijerG(a, [], [], [], z)
ans =
    0.3679    1.2131    2.1496

Преобразуйте числовой вход в символьную форму с помощью sym и найдите G-функцию Майера. Для определенных символьных входных параметров meijerG возвращает точный символьный выходной параметр с помощью других функций.

meijerG(sym(2), [], [], [], sym(3))
ans =
3*exp(-1/3)
meijerG(sym(2/5), [], sym(1/2), [], sym(3))
ans =
(2^(4/5)*3^(1/2)*gamma(1/10))/80

Для символьных переменных или выражений, meijerG возвращает выходной параметр с точки зрения простых или специальных функций.

syms a b c d z
f = meijerG(a,b,c,d,z)
f =
(gamma(c - a + 1)*(1/z)^(1 - a)*hypergeom([c - a + 1, d - a + 1],...
 b - a + 1, 1/z))/(gamma(b - a + 1)*gamma(a - d))

Замените значениями переменные при помощи subs и преобразуйте значения, чтобы удвоиться при помощи double.

fVal = subs(f, [a b c d z], [1.2 3 5 7 9])
fVal =
(266*9^(1/5)*hypergeom([24/5, 34/5], 14/5, 1/9))/(25*gamma(-29/5))
double(fVal)
ans =
   5.7586e+03

Вычислите fVal к более высокой точности с помощью vpa.

vpa(fVal)
ans =
5758.5946416377834597597497022199

Дифференцируйте G-функцию Майера при помощи diff.

syms a b c d z
mG = meijerG(a, b, c, d, z);
diffmG = diff(mG)
diffmG =
(gamma(c - a + 1)*(a - 1)*hypergeom([c - a + 1, d - a + 1],...
 b - a + 1, 1/z))/(z^2*gamma(b - a + 1)*gamma(a - d)*(1/z)^a)...
 - (gamma(c - a + 1)*(1/z)^(1 - a)*(c - a + 1)*(d - a + 1)...
*hypergeom([c - a + 2, d - a + 2], b - a + 2, 1/z))...
/(z^2*gamma(b - a + 1)*gamma(a - d)*(b - a + 1))

Покажите отношения между meijerG и более простыми функциями для данных значений параметров.

Покажите, что, когда a, b и d пусты, и c = 0, затем meijerG уменьшает до exp(-z).

syms z
meijerG([], [], 0, [], z)
ans =
exp(-z)

Покажите, что, когда a, b и d пусты, и c = [1/2 -1/2], затем meijerG уменьшает до 2 кВ (1,2z1/2).

meijerG([], [], [1/2 -1/2], [], z)
ans =
2*besselk(1, 2*z^(1/2))

Постройте действительные и мнимые значения G-функции Майера для значений b и z, где a = [-2 2] и c и d пусты. Заполните контуры установкой Fill к on.

syms b z
f = meijerG([-2 2], b, [], [], z);

subplot(2,2,1)
fcontour(real(f),'Fill','on')
title('Real Values of Meijer G')
xlabel('b')
ylabel('z')

subplot(2,2,2)
fcontour(imag(f),'Fill','on')
title('Imag. Values of Meijer G')
xlabel('b')
ylabel('z')

Входные параметры

свернуть все

Введите, заданный как номер или вектор, или символьное число, переменная, вектор, функция или выражение.

Введите, заданный как номер или вектор, или символьное число, переменная, вектор, функция или выражение.

Введите, заданный как номер или вектор, или символьное число, переменная, вектор, функция или выражение.

Введите, заданный как номер или вектор, или символьное число, переменная, вектор, функция или выражение.

Введите, заданный как номер или вектор, или символьное число, переменная, вектор, функция или выражение.

Больше о

свернуть все

G-функция Майера

Meijer G-function meijerG ([a1, …, an], [an+1, …, ap], [b1, …, bm], [bm+1, …, bq], z) является общей функцией, которая включает другие специальные функции как конкретные ситуации и задана как

Gp,qm,n(a1,…,apb1,…,bq|z)=12πi∫(∏j=1mΓ(bj−s))(∏j=1nΓ(1−aj+s))(∏j=m+1qΓ(1−bj+s))(∏j=n+1pΓ(aj−s))zsds.

Алгоритмы

Для Meijer G-function meijerG ([a1, …, an], [an+1, …, ap], [b1, …, bm], [bm+1, …, bq], z), для ai ∊ (a1, …, an) и bj ∊ (b1, …, bm), никакое различие ai − bj должен быть положительным целым числом.

G-функция Майера связала комплексный криволинейный интеграл с одним из следующих типов путей к интегрированию:

  • Контур идет от - i  ∞ i  ∞ так, чтобы все полюса Γ(bj−s), j = 1, …, m лжет праву пути и всем полюсам Γ(1−ak+s), k = 1, …, n лжет левым пути. Интеграл сходится если, |arg (z) | <c  π. Если |arg (z) | = c  π, c ≥ 0, интеграл сходится абсолютно когда p = q и ℜ (ψ) <-1, где Ψ=(∑j=1qbj)−(∑i=1pai). Когда p ≠ q, интеграл сходится, если вы выбираете контур так, чтобы контур указал близкий i  ∞ и - i,  ∞ имеют действительную часть удовлетворение σ (q−p)σ>ℜ(ψ)+1−q−p2.

  • Контур является началом цикла и окончанием в infinity и окружением всех полюсов Γ(bj−s), j = 1, …, m, перемещающийся в отрицательное направление, но ни один из полюсов Γ(1−ak+s), k = 1, …, n. Интеграл сходится если q ≥ 1 и или p <q или p = q и |z | <1.

  • Контур является началом цикла и окончанием в - ∞ и окружение всех полюсов Γ(1−ak+s), k = 1, …, n, перемещающийся в положительное направление, но ни один из полюсов Γ(bj+s), j = 1, …, m. Интеграл сходится если p ≥ 1 и любой p> q или p = q и |z |> 1.

Интеграл представляет обратное Преобразование Лапласа или, более конкретно, тип Меллин-Барнса интеграла.

Для данного набора параметров контур, выбранный в определении G-функции Майера, является тем, для которого сходится интеграл. Если интеграл сходится для нескольких контуров, всего вывода контуров к той же функции.

G-функция Майера удовлетворяет дифференциальному уравнению порядка max (p, q) относительно переменной z:

((−1))m+n−pz(∏i=1p(zddz−ai−1))−∏j=1q(zddz−bj))Gp,qm,n(a1,…,apb1,…,bp|z)=0.

Если p <q, это дифференциальное уравнение имеет регулярную особенность в z = 0 и неправильную особенность в z = ∞. Если p = q, точки, z = 0 и z = ∞ является регулярными особенностями, и существует дополнительная регулярная особенность в z = (−1) m + n - p.

G-функция Майера представляет аналитическое продолжение гипергеометрической функции [1]. Для конкретного выбора параметров можно выразить G-функцию Майера через гипергеометрическую функцию. Например, если никакие два из условий h b, h = 1, …, m, не отличаются целым числом или нулем, и все полюса просты, то

Gp,qm,n(a1,…,apb1,…,bp|z)=∑h=1m(∏j=1…m,j≠hΓ(bj−bh))(∏j=1nΓ(1+bh−aj))(∏j=m+1qΓ(1+bh−bj))(∏j=n+1pΓ(aj−bh))zbhpFq−1(Ah;Bh;(−1)p−m−nz).

Здесь p <q или p = q и |z | <1. A h обозначает

Ah=1+bh−a1,…,1+bh−ap.

B h обозначает

Bh=1+bh−b1,…,1+bh−b(h−1),1+bh−bh+1,…,1+bh−bq.

G-функции Майера с различными параметрами могут представлять ту же функцию.

  • G-функция Майера симметрична относительно параметров. Изменение порядка в каждом из следующих списков векторов не изменяет получившуюся G-функцию Майера: [a 1, …, a n], [a n + 1, …, a p], [b 1, …, b m], [b m + 1, …, b q].

  • Если z не является отрицательным вещественным числом и z ≠ 0, функция удовлетворяет следующую идентичность:

    Gp,qm,n(a1,…,apb1,…,bq|z)=Gq,pn,m(1−b1,…,1−bp1−a1,…,1−ap|1z).

    .

  • Если 0 <n <p и r = a 1 - a p является целым числом, функция удовлетворяет следующую идентичность:

    Gp,qm,n(a1,a2,…,ap−1,apb1,b2,…,bq−1,bq|z)=Gp,qm,n(ap,a2,…,ap−1,a1b1,b2,…,bq−1,bq|z).

    .

  • Если 0 <m <q и r = b 1 - b q является целым числом, функция удовлетворяет следующую идентичность:

    Gp,qm,n(a1,a2,…,ap−1,apb1,b2,…,bq−1,bq|z)=(−1)γGp,qm,n(a1,a2,…,ap−1,apbq,b2,…,bq−1,b1|z).

    .

Согласно этим правилам, вызов функции meijerG может возвратить meijerG с измененными входными параметрами.

Ссылки

[1] Люк, Y. L. специальные функции и их приближения. Издание 1. Нью-Йорк: Academic Press, 1969.

[2] Прудников, A. P. Ю. А. Брычков, и О. И. Маричев, интегралы и ряд. Vol 3: более специальные функции. Гордон и нарушение, 1990.

[3] Abramowitz, M. i. А. Стегун, Руководство Математических функций. 9-я печать. Нью-Йорк: Дуврские Публикации, 1970.

Смотрите также

Введенный в R2017b

Документация Symbolic Math Toolbox
Поддержка
Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте