Гипергеометрическая функция
hypergeom(a,b,z)hypergeom( представляет обобщенную гипергеометрическую функцию.a,b,z)
В зависимости от того, является ли вход плавающей точкой или символьный, hypergeom возвращает плавающую точку или символьные результаты.
Вычислите гипергеометрическую функцию для этих чисел. Поскольку эти числа являются плавающей точкой, hypergeom возвращает результаты с плавающей точкой.
A = [hypergeom([1 2], 2.5, 2),...
hypergeom(1/3, [2 3], pi),...
hypergeom([1 1/2], 1/3, 3*i)]A = -1.2174 - 0.8330i 1.2091 + 0.0000i -0.2028 + 0.2405i
Возвратите точные символьные результаты путем преобразования по крайней мере одних из входных параметров к символьной форме при помощи sym. Для большинства символьных (точных) входных параметров hypergeom отвечает на неразрешенные символьные звонки.
symA = [hypergeom([1 2], 2.5, sym(2)),...
hypergeom(1/3, [2 3], sym(pi)),...
hypergeom([1 1/2], sym(1/3), 3*i)]symA = [ hypergeom([1, 2], 5/2, 2), hypergeom(1/3, [2, 3], pi), hypergeom([1/2, 1], 1/3, 3i)]
Преобразуйте символьный результат в высокую точность, с плавающей точкой при помощи vpa.
vpa(symA)
ans = [ - 1.2174189301051728850455150601879 - 0.83304055090469367131547768563638i,... 1.2090631887094273193917339575087,... - 0.20275169745081962937527290365593 + 0.24050134226872040357481317881983i]
Покажите, что hypergeom возвращает специальные значения для определенных входных значений.
syms a b c d x hypergeom([], [], x)
ans = exp(x)
hypergeom([a b c d], [a b c d], x)
ans = exp(x)
hypergeom(a, [], x)
ans = 1/(1 - x)^a
Покажите, что гипергеометрической функцией всегда является 1 в 0.
syms a b c d hypergeom([a b], [c d], 0)
ans = 1
Если после отмены идентичных параметров в первых двух аргументах список верхних параметров содержит 0, получившаяся гипергеометрическая функция является постоянной со значением 1. Для получения дополнительной информации см. Алгоритмы.
hypergeom([0 0 2 3], [a 0 4], x)
ans = 1
Если после отмены идентичных параметров в первых двух аргументах верхние параметры содержат отрицательное целое число, больше, чем самое большое отрицательное целое число в более низких параметрах, гипергеометрическая функция является полиномом.
hypergeom([-4 -2 3], [-3 1 4], x)
ans = (3*x^2)/5 - 2*x + 1
Гипергеометрические функции уменьшают до других специальных функций для определенных входных значений.
hypergeom([1], [a], x) hypergeom([a], [a, b], x)
ans = (exp(x/2)*whittakerM(1 - a/2, a/2 - 1/2, -x))/(-x)^(a/2) ans = x^(1/2 - b/2)*gamma(b)*besseli(b - 1, 2*x^(1/2))
Много символьных функций, таких как diff и taylor, обрабатывают выражения, содержащие hypergeom.
Дифференцируйте это выражение, содержащее гипергеометрическую функцию.
syms a b c d x diff(1/x*hypergeom([a b],[c d],x), x)
ans = (a*b*hypergeom([a + 1, b + 1], [c + 1, d + 1], x))/(c*d*x)... - hypergeom([a, b], [c, d], x)/x^2
Вычислите Ряд Тейлора этой гипергеометрической функции.
taylor(hypergeom([1 2],3,x), x)
ans = (2*x^5)/7 + x^4/3 + (2*x^3)/5 + x^2/2 + (2*x)/3 + 1
Гипергеометрическая функция
Гипергеометрическая функция имеет критерии сходимости:
Сходится если p ≤ q и |z | < ∞.
Сходится если p = q + 1 и |z | < 1. Для |z | > = 1, ряд отличается и задан аналитическим продолжением.
Отличается если p > q + 1 и z ≠ 0. Здесь, ряд задан асимптотическим расширением p F q (a; b;) вокруг z = 0. Разрез является положительной вещественной осью.
Функция является полиномом, названным гипергеометрическим полиномом, если какой-либо aj является неположительным целым числом.
Функция не определена:
Если какой-либо bk является неположительным целым числом, таким образом, что bk > aj, где aj является также неположительным целым числом, потому что деление 0 происходит
Если какой-либо bk является неположительным целым числом, и никакой aj не является неположительным целым числом
Функция уменьшала порядок, когда верхние и более низкие значения параметров равны и отменяют. Если значения r верхних и более низких параметров равны (то есть, a = [a 1, …, a p - r, c 1, …, c r], b = [b 1, …, b q - r, c 1, …, c r]), то порядок (p, q) p F q (a; b;), уменьшается до (p - r, q - r):
Это правило применяется, даже если какой-либо i c является нулем или отрицательным целым числом [2].
p F q (a; b;), симметрично. Таким образом, это не зависит от порядка a 1, a 2, … в a или b 1, b 2, … в b.
удовлетворяет дифференциальному уравнению в z
Здесь, (δ + a) представляет
И (δ + b) представляет
Таким образом порядком этого дифференциального уравнения является max (p, q + 1), и гипергеометрическая функция является только одним из своих решений. Если p < q + 1, это дифференциальное уравнение имеет регулярную особенность в z = 0 и неправильную особенность в z = ∞. Если p = q + 1, точки, z = 0, z = 1, и z = ∞ является регулярными особенностями, который объясняет свойства сходимости гипергеометрического ряда.
Гипергеометрическая функция имеет эти специальные значения:
p F p (a; a;) = 0F0 (;; z) = ez.
p F q (a; b;) = 1, если список верхних параметров a содержит больше 0 s, чем список более низких параметров b.
p F q (a; b; = 1.
[1] Oberhettinger, F. “Гипергеометрические функции”. Руководство Математических функций с Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. (М. Абрамовиц и я. А. Стегун, редакторы). Нью-Йорк: Дувр, 1972.
[2] Люк, Y.L. "Специальные функции и их приближения", издание 1, Academic Press, Нью-Йорк, 1969.
[3] Прудников, A.P., Ю. А. Брычков и О.И. Маричев, "Интегралы и ряд", издание 3: более специальные функции, Гордон и нарушение, 1990.
kummerU | meijerG | whittakerM | whittakerW