Документация

Вычислите ряд Тейлора для одномерных выражений

Расширения ряда Тейлора служат для приближения произвольного выражения многочленным выражением вокруг некоторого значения переменной. Расширения ряда Тейлора аппроксимируют выражения, для которых производные до бесконечного порядка существуют вокруг особого значения x ₀ переменной x:

Чтобы вычислить расширение Ряда Тейлора, используйте команду taylor. Например, аппроксимируйте выражение sin(x)/x вокруг x = 0:

exact := sin(x)/x:
approx := taylor(sin(x)/x, x)

Постройте точное выражение и его расширение ряда Тейлора в той же системе координат. Расширение ряда Тейлора аппроксимирует выражение около x = 0, но явно отклоняется от sin(x)/x для большего |x|:

plot(
  plot::Function2d(exact, x = -PI..PI,
                   Legend = "sin(x)/x",
                   Color = RGB::Red),
  plot::Function2d(approx, x = -PI..PI,
                   Legend = "approximation of sin(x)/x")
)

Точность приближения зависит от близости к точке расширения и на количестве терминов, использованных в последовательном расширении. Смотрите, как задать количество условий в Управлении Количеством Условий в серии Expansions.

Расширения ряда Тейлора вокруг x = 0 также называются расширениями серии Maclaurin. Аппроксимируйте выражения серией Maclaurin:

taylor(exp(x), x);
taylor(sin(x), x);
taylor(cos(x)/(1 - x), x)

Расширение серии Maclaurin не существует для следующего выражения. MuPAD^® выдает ошибку:

taylor(arccot(x), x)

Error: Unable to compute Taylor expansion of 'arccot(x)'. Try 'series' for a more general expansion. [taylor]

Можно представлять следующее выражение Рядом Тейлора вокруг x = 1. Чтобы вычислить последовательное расширение вокруг ненулевого значения переменной, задайте значение. Например, вычислите расширения Ряда Тейлора вокруг x = 1 для следующих выражений:

taylor(ln(x), x = 1);
taylor(arccot(x), x = 1)

Команда taylor возвращает результаты в форме Ряда Тейлора включая термин порядка O. Чтобы преобразовать результаты в регулярное многочленное выражение без O - термин, используйте команду expr:

s := taylor(sin(x)/exp(x), x);
expr(s)