Упростите систему пяти дифференциальных алгебраических уравнений (ДАУ) в четырех переменных состояния к системе двух уравнений в переменных с двумя состояниями.

Создайте следующую систему пяти ДАУ в четырех переменных состояния x1(t), x2(t), x3(t) и x4(t). Система также содержит символьные параметры a1, a2, a3, a4, b, c и функциональный f(t), которые не являются переменными состояния.

syms x1(t) x2(t) x3(t) x4(t) a1 a2 a3 a4 b c f(t)
eqs = [a1*diff(x1(t),t)+a2*diff(x2(t),t) == b*x4(t),
       a3*diff(x2(t),t)+a4*diff(x3(t),t) == c*x4(t),
       x1(t) == 2*x2(t),
       x4(t) == f(t),
       f(t) == sin(t)];
vars = [x1(t),x2(t),x3(t),x4(t)];

Используйте reduceRedundancies, чтобы устранить уравнения, содержащие посторонние корни и соответствующие переменные состояния.

[newEqs,newVars] = reduceRedundancies(eqs,vars)

newEqs = 
$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_1\left(t\right)+\frac{a_2\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_1\left(t\right)}{2}-b\hspace{0.17em}f\left(t\right)\\ \frac{a_3\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_1\left(t\right)}{2}+a_4\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_3\left(t\right)-c\hspace{0.17em}f\left(t\right)\end{array}\right)$$

newVars = 
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)\\ x_3\left(t\right)\end{array}\right)$$

Задайте входной порядок переменных состояния выбрать, какие переменные возвращаются при устранении ДАУ.

Создайте систему четырех ДАУ в четырех переменных состояния V_ac(t), V1(t), V2(t) и I(t). Система также содержит символьные параметры L, R и V0.

syms V_ac(t) V1(t) V2(t) I(t) L R V0
eqs = [V_ac(t) == V1(t) + V2(t),
       V1(t) == I(t)*R,
       V2(t) == L*diff(I(t),t),
       V_ac(t) == V0*cos(t)]

eqs = 
$$\left(\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{ac}}\left(t\right)=V_1\left(t\right)+V_2\left(t\right)\\ V_1\left(t\right)=R\hspace{0.17em}\text{I}\left(t\right)\\ V_2\left(t\right)=L\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }\text{I}\left(t\right)\\ V_{\mathrm{ac}}\left(t\right)=V_0\hspace{0.17em}\mathrm{потому\; что}\left(t\right)\end{array}\right)$$

vars = [V_ac(t),I(t),V1(t),V2(t)]

vars = $$\left(\begin{array}{cccc}{V}_{\mathrm{ac}}\left(t\right)& \text{I}\left(t\right)& V_1\left(t\right)& V_2\left(t\right)\end{array}\right)$$

Используйте reduceRedundancies, чтобы устранить уравнения, содержащие посторонние корни и переменные. reduceRedundancies приоритизирует, чтобы сохранить переменные состояния в векторном vars, начинающем с первого элемента.

[newEqs,newVars] = reduceRedundancies(eqs,vars)

newEqs = 
$$-L\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }\text{I}\left(t\right)-R\hspace{0.17em}\text{I}\left(t\right)+V_0\hspace{0.17em}\mathrm{потому\; что}\left(t\right)$$

newVars = $$\text{I}\left(t\right)$$

Здесь, reduceRedundancies возвращает приведенное уравнение с точки зрения переменной I(t).

Когда несколько способов уменьшать ДАУ существуют, задают различный входной порядок переменных состояния выбрать, какие переменные возвращаются. Задайте другой вектор, который содержит различный порядок переменных состояния. Устраните ДАУ снова.

vars2 = [V_ac(t),V1(t),V2(t),I(t)]

vars2 = $$\left(\begin{array}{cccc}{V}_{\mathrm{ac}}\left(t\right)& V_1\left(t\right)& V_2\left(t\right)& \text{I}\left(t\right)\end{array}\right)$$

[newEqs,newVars] = reduceRedundancies(eqs,vars2)

newEqs = 
$$-\frac{L\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{V}_1\left(t\right)+R\hspace{0.17em}{V}_1\left(t\right)-R\hspace{0.17em}{V}_0\hspace{0.17em}\mathrm{потому\; что}\left(t\right)}{R}$$

newVars = $$V_1\left(t\right)$$

Здесь, reduceRedundancies возвращает приведенное уравнение с точки зрения переменной состояния V1(t).

Объявите три выходных аргумента при вызове reduceRedundancies, чтобы упростить систему уравнений и возвратить информацию об устраненных уравнениях.

Создайте следующую систему пяти дифференциальных алгебраических уравнений (ДАУ) в четырех переменных состояния x1(t), x2(t), x3(t) и x4(t). Система также содержит символьные параметры a1, a2, a3, a4, b, c и функциональный f(t), которые не являются переменными состояния.

syms x1(t) x2(t) x3(t) x4(t) a1 a2 a3 a4 b c f(t)
eqs = [a1*diff(x1(t),t)+a2*diff(x2(t),t) == b*x4(t),
       a3*diff(x2(t),t)+a4*diff(x3(t),t) == c*x4(t),
       x1(t) == 2*x2(t),
       x4(t) == f(t),
       f(t) == sin(t)];
vars = [x1(t),x2(t),x3(t),x4(t)];

Вызовите reduceRedundancies с тремя выходными аргументами.

[newEqs,newVars,R] = reduceRedundancies(eqs,vars)

newEqs = 
$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_1\left(t\right)+\frac{a_2\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_1\left(t\right)}{2}-b\hspace{0.17em}f\left(t\right)\\ \frac{a_3\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_1\left(t\right)}{2}+a_4\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_3\left(t\right)-c\hspace{0.17em}f\left(t\right)\end{array}\right)$$

newVars = 
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)\\ x_3\left(t\right)\end{array}\right)$$

R = struct with fields:
      solvedEquations: [2x1 sym]
    constantVariables: [1x2 sym]
    replacedVariables: [1x2 sym]
       otherEquations: [1x1 sym]

Функциональный reduceRedundancies возвращает информацию об устраненных уравнениях к R. Здесь, R является массивом структур с четырьмя полями.

Поле solvedEquations содержит уравнения, которые устраняются reduceRedundancies. Устраненные уравнения содержат те переменные состояния от vars, которые не появляются в newEqs. Правая сторона каждого устраненного уравнения равна нулю.

R1 = R.solvedEquations

R1 = 
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)-2\hspace{0.17em}{x}_2\left(t\right)\\ x_4\left(t\right)-f\left(t\right)\end{array}\right)$$

Поле constantVariables содержит матрицу с двумя столбцами. Первый столбец содержит те переменные состояния от vars что reduceRedundancies, замененный постоянными значениями. Второй столбец содержит соответствующие постоянные значения.

R2 = R.constantVariables

R2 = $$\left(\begin{array}{cc}{x}_4\left(t\right)& f\left(t\right)\end{array}\right)$$

Поле replacedVariables содержит матрицу с двумя столбцами. Первый столбец содержит те переменные состояния от vars что reduceRedundancies, замененный выражениями с точки зрения других переменных. Второй столбец содержит соответствующие значения устраненных переменных.

R3 = R.replacedVariables

R3 = 
$$\left(\begin{array}{cc}{x}_2\left(t\right)& \frac{x_1\left(t\right)}{2}\end{array}\right)$$

Поле otherEquations содержит те уравнения от eqs, которые не содержат ни одной из переменных состояния vars.

R4 = R.otherEquations

R4 = $$f\left(t\right)-\sin \left(t\right)$$