Создайте следующее дифференциальное алгебраическое уравнение второго порядка.

syms y(t);
eqn = diff(y(t),t,2) == (1-y(t)^2)*diff(y(t),t) - y(t);

Используйте reduceDifferentialOrder, чтобы переписать то уравнение как систему двух дифференциальных уравнений первого порядка. Здесь, vars является вектором переменных состояния системы. Новая переменная Dy(t) представляет первую производную y(t) относительно t.

[eqs,vars] = reduceDifferentialOrder(eqn,y(t))

eqs =
 diff(Dyt(t), t) + y(t) + Dyt(t)*(y(t)^2 - 1)
                       Dyt(t) - diff(y(t), t)
 
vars =
   y(t)
 Dyt(t)

Установите начальные условия для y(t) и его производного Dy(t) к 2 и 0 соответственно.

initConditions = [2 0];

Найдите большую матрицу M системы и правыми сторонами уравнений F.

[M,F] = massMatrixForm(eqs,vars)

M =
[  0, 1]
[ -1, 0]
 
F =
 - y(t) - Dyt(t)*(y(t)^2 - 1)
                      -Dyt(t)

M и F относятся к форме $$M\left(t,x\left(t\right)\right)\dot{x}\left(t\right)=F\left(t,x\left(t\right)\right).$$. Чтобы упростить дальнейшие вычисления, перепишите систему в форме $$\dot{x}\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right)$$.

f = M\F

f =
                          Dyt(t)
 - Dyt(t)*y(t)^2 - y(t) + Dyt(t)

Преобразуйте f в указатель функции MATLAB при помощи odeFunction. Получившийся указатель на функцию вводится к решателю ОДУ MATLAB ode15s.

odefun = odeFunction(f,vars);
ode15s(odefun, [0 10], initConditions)

Создайте систему дифференциальных алгебраических уравнений. Здесь, символьные функции x1(t) и x2(t) представляют переменные состояния системы. Система также содержит постоянные символьные параметры a, b и функция параметра r(t). Эти параметры не представляют переменные состояния. Задайте уравнения и переменные состояния как два символьных вектора: уравнения как вектор символьных уравнений и переменные как вектор символьных вызовов функции.

syms x1(t) x2(t) a b r(t)
eqs = [diff(x1(t),t) == a*x1(t) + b*x2(t)^2,...
       x1(t)^2 + x2(t)^2 == r(t)^2];
vars = [x1(t) x2(t)];

Найдите большую матрицу M и вектором правой стороны F для этой системы. M и F относятся к форме $$M\left(t,x\left(t\right)\right)\dot{x}\left(t\right)=F\left(t,x\left(t\right)\right).$$.

[M,F] = massMatrixForm(eqs,vars)

M =
[ 1, 0]
[ 0, 0]
 
F =
        b*x2(t)^2 + a*x1(t)
 r(t)^2 - x1(t)^2 - x2(t)^2

Используйте odeFunction, чтобы сгенерировать указатели функции MATLAB от M и F. Указатель на функцию F содержит символьные параметры.

M = odeFunction(M,vars)
F = odeFunction(F,vars,a,b,r(t))

M = 
  function_handle with value:
    @(t,in2)reshape([1.0,0.0,0.0,0.0],[2,2])

F = 
  function_handle with value:
    @(t,in2,param1,param2,param3)[param1.*in2(1,:)+...
    param2.*in2(2,:).^2;param3.^2-in2(1,:).^2-in2(2,:).^2]

Задайте значения параметров.

a = -0.6;
b = -0.1;
r = @(t) cos(t)/(1+t^2);

Создайте уменьшаемый указатель на функцию F.

F = @(t,Y) F(t,Y,a,b,r(t));

Задайте сопоставимые начальные условия для системы ДАУ.

t0 = 0;
y0 = [-r(t0)*sin(0.1); r(t0)*cos(0.1)];
yp0 = [a*y0(1) + b*y0(2)^2; 1.234];

Создайте набор опции, который содержит большую матрицу M системы и векторный yp0 начальных условий для производных.

opt = odeset('mass',M,'InitialSlope',yp0);

Теперь, используйте ode15s, чтобы решить систему уравнений.

ode15s(F, [t0, 1], y0, opt)

Задайте систему дифференциальных уравнений. Найдите большую матрицу M и правой стороной F.

syms x(t) y(t)
eqs = [diff(x(t),t)+2*diff(y(t),t) == 0.1*y(t), ...
       x(t)-y(t) == cos(t)-0.2*t*sin(x(t))];
vars = [x(t) y(t)];
[M,F] = massMatrixForm(eqs,vars);

Запишите код MATLAB для M и F к файлам myfileM и myfileF. odeFunction перезаписывает существующие файлы. Включайте комментарий Version: 1.1 в файлы, можно открыть и отредактировать выходные файлы.

M = odeFunction(M,vars,'File','myfileM','Comments','Version: 1.1');

function expr = myfileM(t,in2)
%MYFILEM
%    EXPR = MYFILEM(T,IN2)

%    This function was generated by the Symbolic Math Toolbox version 7.3.
%    01-Jan-2017 00:00:00

%Version: 1.1
expr = reshape([1.0,0.0,2.0,0.0],[2, 2]);

F = odeFunction(F,vars,'File','myfileF','Comments','Version: 1.1');

function expr = myfileF(t,in2)
%MYFILEF
%    EXPR = MYFILEF(T,IN2)

%    This function was generated by the Symbolic Math Toolbox version 7.3.
%    01-Jan-2017 00:00:00

%Version: 1.1
x = in2(1,:);
y = in2(2,:);
expr = [y.*(1.0./1.0e1);-x+y+cos(t)-t.*sin(x).*(1.0./5.0)];

Задайте сопоставимые начальные значения для x(t) и y(t) и их первых производных.

xy0 = [2; 1];    % x(t) and y(t)
xyp0 = [0; 0.05*xy0(2)];    % derivatives of x(t) and y(t)

Создайте набор опции, который содержит большую матрицу M, начальные условия xyp0 и числовые допуски к числовому поиску.

opt = odeset('mass', M, 'RelTol', 10^(-6),...
               'AbsTol', 10^(-6), 'InitialSlope', xyp0);

Решите систему уравнений при помощи ode15s.

ode15s(F, [0 7], xy0, opt)

Создайте систему дифференциальных алгебраических уравнений. Здесь, символьные функции x1(t) и x2(t) представляют переменные состояния системы. Задайте уравнения и переменные состояния как два символьных вектора: уравнения как вектор символьных уравнений и переменные как вектор символьных вызовов функции.

syms x1(t) x2(t)

a = -0.6;
b = -0.1;
r = @(t) cos(t)/(1 + t^2);

eqs = [diff(x1(t),t) == a*x1(t) + b*x2(t)^2,...
       x1(t)^2 + x2(t)^2 == r(t)^2];
vars = [x1(t) x2(t)];

Найдите большую матрицу M и вектором правой стороны F для этой системы. M и F относятся к форме $$M\left(t,x\left(t\right)\right)\dot{x}\left(t\right)=F\left(t,x\left(t\right)\right).$$.

[M,F] = massMatrixForm(eqs,vars)

M =
[ 1, 0]
[ 0, 0]
 
F =
               - (3*x1(t))/5 - x2(t)^2/10
 cos(t)^2/(t^2 + 1)^2 - x1(t)^2 - x2(t)^2

Сгенерируйте указатели функции MATLAB от M и F. Поскольку большинство элементов большой матрицы, M является нулями, используйте аргумент Sparse при преобразовании M.

M = odeFunction(M,vars,'Sparse',true)
F = odeFunction(F,vars)

M = 
  function_handle with value:
    @(t,in2)sparse([1],[1],[1.0],2,2)

F = 
  function_handle with value:
    @(t,in2)[in2(1,:).*(-3.0./5.0)-in2(2,:).^2./1.0e+1;...
    cos(t).^2.*1.0./(t.^2+1.0).^2-in2(1,:).^2-in2(2,:).^2]

Задайте сопоставимые начальные условия для системы ДАУ.

t0 = 0;
y0 = [-r(t0)*sin(0.1); r(t0)*cos(0.1)];
yp0= [a*y0(1) + b*y0(2)^2; 1.234];

Создайте набор опции, который содержит большую матрицу M системы и векторный yp0 начальных условий для производных.

opt = odeset('mass',M,'InitialSlope', yp0);

Решите систему уравнений с помощью ode15s.

ode15s(F, [t0, 1], y0, opt)