balreal

Основанная на грамиане балансировка ввода/вывода реализации пространства состояний

Синтаксис

[sysb,g] = balreal(sys) [sysb,g,T,Ti] = balreal(sys) [___] = balreal(sys,opts)

Описание

[sysb,g] = balreal(sys) вычисляет сбалансированную реализацию sysb для устойчивого фрагмента модели LTI sys. balreal указатели и непрерывные и дискретные системы. Если sys не модель в пространстве состояний, она сначала и автоматически преобразована в пространство состояний с помощью ss.

Для устойчивых систем, sysb эквивалентная реализация, для которой управляемость и наблюдаемость грамиана являются равными и диагональными, их диагональные элементы, формирующие векторный g из сингулярных значений Ганкеля. Маленькие записи в g укажите на состояния, которые могут быть удалены, чтобы упростить модель (используйте modred уменьшать порядок модели).

Если sys имеет нестабильные полюса, его устойчивая часть изолируется, балансируется и добавила назад к его нестабильной части, чтобы сформировать sysb. Записи g соответствие нестабильным режимам установлено в Inf.

[sysb,g,T,Ti] = balreal(sys) также возвращает векторный g содержа диагональ сбалансированного грамиана, преобразование подобия состояния _xb = Tx раньше преобразовывал sys к sysb, и обратное преобразование Ti = ^T-1.

Если система нормирована правильно, диагональный g из объединенного грамиана может использоваться, чтобы уменьшать порядок модели. Поскольку g отражает объединенную управляемость и наблюдаемость отдельных государств сбалансированной модели, можно удалить те состояния с маленьким g(i) при сохранении самых важных характеристик ввода - вывода исходной системы. Используйте modred выполнять устранение состояния.

[___] = balreal(sys,opts) вычисляет сбалансированную реализацию с помощью опций, что вы задаете использование hsvdOptions. Опции включают смещение и опции допуска для вычисления устойчиво-нестабильных разложений. Опции также позволяют вам ограничивать расчет грамиана интервалами частоты и определенным временем. Смотрите hsvdOptions для деталей.

Примеры

свернуть все

Сбалансированная реализация устойчивой системы

Скрипт Open Live Script

Рассмотрите следующую модель нулей, полюсов и усиления с почти отменой нулевых полюсом пар:

sys = zpk([-10 -20.01],[-5 -9.9 -20.1],1)

sys =
 
     (s+10) (s+20.01)
  ----------------------
  (s+5) (s+9.9) (s+20.1)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

Реализация пространства состояний со сбалансированным gramians получена

[sysb,g] = balreal(sys);

Диагональные элементы соединения gramian

g'

ans = 1×3

    0.1006    0.0001    0.0000

Это указывает что последние два состояния sysb слабо связываются с вводом и выводом. Можно затем удалить эти состояния

sysr = modred(sysb,[2 3],'del');

Это дает к следующему приближению первого порядка исходной системы.

zpk(sysr)

ans =
 
   1.0001
  --------
  (s+4.97)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

Сравните Предвещать ответы исходных моделей и моделей уменьшаемого порядка.

bodeplot(sys,sysr,'r--')

Графики показывают, что удаление вторых и третьих состояний не оказывает много влияния на системную динамику.

Сбалансированная реализация нестабильной системы

Скрипт Open Live Script

Создайте нестабильную систему.

sys = tf(1,[1 0 -1])

sys =
 
     1
  -------
  s^2 - 1
 
Continuous-time transfer function.

Примените balreal создать сбалансированную-gramian реализацию.

[sysbal,g] = balreal(sys)

sysbal =
 
  A = 
       x1  x2
   x1   1   0
   x2   0  -1
 
  B = 
           u1
   x1  0.7071
   x2  0.7071
 
  C = 
            x1       x2
   y1   0.7071  -0.7071
 
  D = 
       u1
   y1   0
 
Continuous-time state-space model.

g = 2×1

       Inf
    0.2500

Нестабильный полюс обнаруживается как Inf в векторном g.

Алгоритмы

Рассмотрите модель

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u \\ y = C x + D u \end{array}$

с управляемостью и наблюдаемостью грамиана _Wc и _Wo. Координатное преобразование состояния $\bar{x} = T x$ производит эквивалентную модель

$\begin{array}{l} \dot{\bar{x}} = T A T^{- 1} \bar{x} + T B u \\ y = C T^{- 1} \bar{x} + D u \end{array}$

и преобразовывает грамиан к

$\begin{matrix} {\bar{W}}_{c} = T W_{c} T^{T}, & {\bar{W}}_{o} = T^{- T} W_{o} \end{matrix} T^{- 1}$

Функциональный balreal вычисляет конкретное преобразование подобия T, таким образом что

${\bar{W}}_{c} = {\bar{W}}_{o} = d i a g (g)$

См. [1], [2] для получения дополнительной информации об алгоритме.

Если вы используете TimeIntervals или FreqIntervals опции hsvdOptions, затем balreal основывает сбалансированную реализацию на ограниченной временем или ограниченной частотой управляемости и наблюдаемости грамиана. Для получения информации о вычислении ограниченного временем и ограниченного частотой грамиана смотрите gram и [4].

Ссылки

[1] Laub, A.J., М.Т. Хит, К.К. Пэйдж и Р.К. Уорд, "Расчет Системных Преобразований Балансировки и Другие Применения Одновременных Алгоритмов Диагонализации", IEEE^® Trans. Автоматическое управление, AC-32 (1987), стр 115-122.

[2] Мур, B., "Анализ главных компонентов в Линейных системах: Управляемость, Наблюдаемость и Снижение сложности модели", Транзакции IEEE на Автоматическом управлении, AC-26 (1981), стр 17-31.

[3] Laub, A.J., "Расчет Балансирующихся Преобразований", Proc. ACC, Сан-Франциско, Vol.1, бумага FA8-E, 1980.

[4] Гавронский, W. и Дж.Н. Джуэнг. “Снижение сложности модели в Интервалах Ограниченного времени и Частоты”. Международный журнал Системной Науки. Издание 21, Номер 2, 1990, стр 349–376.

Документация

balreal

Синтаксис

Описание

Примеры

Сбалансированная реализация устойчивой системы

Сбалансированная реализация нестабильной системы

Алгоритмы

Ссылки

Смотрите также

Представлено до R2006a

Документация Control System Toolbox

Поддержка