lqr

Проект Линейно-квадратичного регулятора (LQR)

Синтаксис

[K,S,P] = lqr(sys,Q,R,N)

[K,S,P] = lqr(A,B,Q,R,N)

Описание

[K,S,P] = lqr(sys,Q,R,N) вычисляет оптимальную матрицу усиления K, решение S из связанного алгебраического уравнения Riccati и полюсов с обратной связью P для модели в пространстве состояний непрерывного времени или дискретного времени sysQ и R матрицы веса для состояний и входных параметров, соответственно. Перекрестная матрица термина N обнуляется, когда не использовано.

пример

[K,S,P] = lqr(A,B,Q,R,N) вычисляет оптимальную матрицу усиления K, решение S из связанного алгебраического уравнения Riccati и полюсов с обратной связью P использование матриц пространства состояний непрерывного времени A и B.

Примеры

свернуть все

Управление LQR для инвертированной модели маятника

Скрипт Open Live Script

pendulumModelCart.mat содержит модель в пространстве состояний инвертированного маятника на корзине, где выходные параметры являются смещением корзины x и угол маятника $θ$ . Вход u управления горизонтальная сила на корзине.

$\begin{array}{l} [\begin{array}{c} x_{}^{˙} \\ x_{}^{¨} \\ θ_{}^{˙} \\ θ_{}^{¨} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 0.1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 0.5 & 30 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ x_{}^{˙} \\ θ \\ θ_{}^{˙} \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 5 \end{array}] u \\ y = [\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ x_{}^{˙} \\ θ \\ θ_{}^{˙} \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}] u \end{array}$

Во-первых, загрузите модель в пространстве состояний sys к рабочей области.

load('pendulumCartModel.mat','sys')

Поскольку выходными параметрами является x и $θ$ , и существует только один вход, используйте правило Брайсона, чтобы определить Q и R.

Q = [1,0,0,0;...
    0,0,0,0;...
    0,0,1,0;...
    0,0,0,0];
R = 1;

Найдите матрицу усиления K использование lqr. Начиная с N не задан, lqr наборы N к 0.

[K,S,P] = lqr(sys,Q,R)

K = 1×4

   -1.0000   -1.7559   16.9145    3.2274

S = 4×4

    1.5346    1.2127   -3.2274   -0.6851
    1.2127    1.5321   -4.5626   -0.9640
   -3.2274   -4.5626   26.5487    5.2079
   -0.6851   -0.9640    5.2079    1.0311

P = 4×1 complex

  -0.8684 + 0.8523i
  -0.8684 - 0.8523i
  -5.4941 + 0.4564i
  -5.4941 - 0.4564i

Несмотря на то, что правило Брайсона обычно обеспечивает удовлетворительные результаты, это - часто только начальная точка эмпирической итеративной методики проектирования, чтобы настроить ваш отклик системы с обратной связью на основе конструктивных требований.

Управление LQR с помощью Матриц Пространства состояний

Скрипт Open Live Script

aircraftPitchModel.mat содержит матрицы пространства состояний самолета, где вход является углом отклонения лифта $δ$ и выход является углом подачи самолета $θ$ .

$\begin{array}{l} [\begin{array}{c} α_{}^{˙} \\ q_{}^{˙} \\ θ_{}^{˙} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} - 0 . 313 & 56.7 & 0 \\ - 0 . 0139 & - 0 . 426 & 0 \\ 0 & 56.7 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} α \\ q \\ θ \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 . 232 \\ 0 . 0203 \\ 0 \end{array}] [δ] \\ y = [\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} α \\ q \\ θ \end{array}] + [0] [δ] \end{array}$

Для ссылки шага 0,2 радианов рассмотрите следующие критерии расчета:

Время нарастания меньше чем 2 секунды
Время урегулирования меньше чем 10 секунд
Установившаяся ошибка меньше чем 2%

Загрузите данные модели к рабочей области.

load('aircraftPitchModel.mat')

Задайте стоивший за состояние взвешенный матричный Q и управление взвешенный матричный R. Обычно можно использовать Правило Брайсона, чтобы задать взвешенные матрицы начальной буквы Q и R. В данном примере считайте выходной вектор C наряду с масштабным коэффициентом 5 для матричного Q и выберите R как 1. R скаляр, поскольку система имеет только один вход.

R = 1

R = 1

Q1 = 2*C'*C

Q1 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     2

Вычислите матрицу усиления использование lqr.

[K1,S1,P1] = lqr(A,B,Q1,R);

Проверяйте переходной процесс с обратной связью со сгенерированной матрицей усиления K1.

sys1 = ss(A-B*K1,B,C,D);
step(sys1)

Поскольку этот ответ не удовлетворяет целям проекта, увеличивает масштабный коэффициент до 25, вычисляет матрицу усиления K2, и проверяйте переходной процесс с обратной связью на матрицу усиления K2.

Q2 = 25*C'*C

Q2 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0    25

[K2,S2,P2] = lqr(A,B,Q2,R);
sys2 = ss(A-B*K2,B,C,D);
step(sys2)

В переходном процессе с обратной связью время нарастания, время урегулирования и установившаяся ошибка удовлетворяют целям проекта.

Входные параметры

свернуть все

`sys` — Модель динамической системы
`ss` объект модели

Модель динамической системы, заданная как ss объект модели.

`A` — Матрица состояния
`n`- `n` матрица

Матрица состояния, заданная как n- n матрица, где n количество состояний.

`B` — Матрица входа к состоянию
`n`- `m` матрица

Матрица входа к состоянию, заданная как n- m матрица входа к состоянию, где m количество входных параметров.

`Q` — Стоившая за состояние взвешенная матрица
матрица

Стоившая за состояние взвешенная матрица, заданная как n- n матрица, где n количество состояний. Можно использовать правило Брайсона, чтобы установить начальные значения Q данный:

$\begin{array}{l} Q_{i, i} = \frac{1}{максимальное приемлемое значение {(e r r o r_{s t a t e s})}^{2}}, i \in {1, 2, ..., n} \\ Q = [\begin{matrix} Q_{1, 1} & 0 & \dots \\ 00 & Q_{2, 2} & \dots \\ 000 & ⋱ & ⋮ \\ 00 & \dots & Q_{n, n} \end{matrix}] \end{array}$

Здесь, n количество состояний.

`R` — Производственная затрата взвешенная матрица
скаляр | матрица

Производственная затрата взвешенная матрица, заданная как скаляр или матрица одного размера с D'D. Здесь, D проходная матрица пространства состояний. Можно использовать правило Брайсона, чтобы установить начальные значения R данный:

$\begin{array}{l} R_{j, j} = \frac{1}{максимальное приемлемое значение {(e r r o r_{i n p u t s})}^{2}}, j \in {1, 2, ..., m} \\ R = [\begin{matrix} R_{1, 1} & 0 & \dots \\ 00 & R_{2, 2} & \dots \\ 000 & ⋱ & ⋮ \\ 00 & \dots & R_{m, m} \end{matrix}] \end{array}$

Здесь, m количество входных параметров.

`N` — Дополнительная перекрестная матрица термина
0 (значение по умолчанию) | матрица

Дополнительная перекрестная матрица термина, заданная как матрица. Если N не задан, затем lqr наборы N к 0 по умолчанию.

Выходные аргументы

свернуть все

`K` — Оптимальное усиление
вектор-строка

Оптимальное усиление системы с обратной связью, возвращенной как вектор-строка из размера n, где n количество состояний.

`S` — Решение связанного алгебраического уравнения Riccati
матрица

Решение связанного алгебраического уравнения Riccati, возвращенного как n- n матрица, где n количество состояний. Другими словами, S та же размерность как матрица пространства состояний A. Для получения дополнительной информации смотрите icare и idare.

`P` — Полюса системы с обратной связью
вектор-столбец

Полюса системы с обратной связью, возвращенной как вектор-столбец размера n, где n количество состояний.

Ограничения

Входные данные должны удовлетворить следующим условиям:

Парный A и B должно быть stabilizable.
[Q,N;N',R] должен быть неотрицательный определенный.
R>0 и $Q - N R^{- 1} N^{T} \geq 0$ .
$(Q - N R^{- 1} N^{T}, A - B R^{- 1} N^{T})$ не имеет никакого неразличимого режима на мнимой оси (или модульный круг в дискретное время).

Советы

lqr модели дескриптора поддержек с несингулярным E. Выход S из lqr решение алгебраического уравнения Riccati для эквивалентной явной модели в пространстве состояний:

$\frac{d x}{d t} = E^{- 1} A x + E^{- 1} B u$

Алгоритмы

Для систем непрерывного времени, lqr вычисляет управление с обратной связью состояния $u = - K x$ это минимизирует квадратичную функцию стоимости

$J (u) = \int_{0}^{\infty} (x^{T} Q x + u^{T} R u + 2 x^{T} N u) d t$

подвергните системной динамике $\dot{x} = A x + B u$ .

В дополнение к обратной связи состояния получают K, lqr возвращает решение S из связанного алгебраического уравнения Riccati

$A^{T} X E + E^{T} X A + E^{T} X G X E - (E^{T} X B + S) R^{- 1} (B^{T} X E + S^{T}) + Q = 0$

и полюса с обратной связью $P = e i g (A - B K)$ . Матрица усиления K выведен из S использование

$K = R^{- 1} (B^{T} S + N^{T}) .$

Для систем дискретного времени, lqr вычисляет управление с обратной связью состояния $u_{n} = - K x_{n}$ это минимизирует

$J = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^{T} Q x + u^{T} R u + 2 x^{T} N u}$

подвергните системной динамике $x_{n + 1} = A x_{n} + B u_{n}$ .

Во всех случаях, когда вы не используете перекрестную матрицу термина N, lqr наборы N к 0.

Документация

lqr

Синтаксис

Описание

Примеры

Управление LQR для инвертированной модели маятника

Управление LQR с помощью Матриц Пространства состояний

Входные параметры

`sys` — Модель динамической системы
`ss` объект модели

`A` — Матрица состояния
`n`- `n` матрица

`B` — Матрица входа к состоянию
`n`- `m` матрица

`Q` — Стоившая за состояние взвешенная матрица
матрица

`R` — Производственная затрата взвешенная матрица
скаляр | матрица

`N` — Дополнительная перекрестная матрица термина
0 (значение по умолчанию) | матрица

Выходные аргументы

`K` — Оптимальное усиление
вектор-строка

`S` — Решение связанного алгебраического уравнения Riccati
матрица

`P` — Полюса системы с обратной связью
вектор-столбец

Ограничения

Советы

Алгоритмы

Смотрите также

Темы

Представлено до R2006a

Документация Control System Toolbox

Поддержка

Документация

lqr

Синтаксис

Описание

Примеры

Управление LQR для инвертированной модели маятника

Управление LQR с помощью Матриц Пространства состояний

Входные параметры

sys — Модель динамической системы ss объект модели

A — Матрица состояния n- n матрица

B — Матрица входа к состоянию n- m матрица

Q — Стоившая за состояние взвешенная матрица матрица

R — Производственная затрата взвешенная матрица скаляр | матрица

N — Дополнительная перекрестная матрица термина0 (значение по умолчанию) | матрица

Выходные аргументы

K — Оптимальное усиление вектор-строка

S — Решение связанного алгебраического уравнения Riccati матрица

P — Полюса системы с обратной связью вектор-столбец

Ограничения

Советы

Алгоритмы

Смотрите также

Темы

Представлено до R2006a

Документация Control System Toolbox

Поддержка

`sys` — Модель динамической системы
`ss` объект модели

`A` — Матрица состояния
`n`- `n` матрица

`B` — Матрица входа к состоянию
`n`- `m` матрица

`Q` — Стоившая за состояние взвешенная матрица
матрица

`R` — Производственная затрата взвешенная матрица
скаляр | матрица

`N` — Дополнительная перекрестная матрица термина
0 (значение по умолчанию) | матрица

`K` — Оптимальное усиление
вектор-строка

`S` — Решение связанного алгебраического уравнения Riccati
матрица

`P` — Полюса системы с обратной связью
вектор-столбец