Альтернативные представления модели ARIMA

regARIMA к Преобразованию Модели ARIMAX

Модели ARIMAX и модели регрессии с ошибками ARIMA тесно связаны, и выбор которого можно использовать, обычно диктуется вашими целями по анализу. Если ваша цель состоит в том, чтобы подбирать экономную модель к данным и предсказывать ответы, то существует очень мало различия между этими двумя моделями.

Если вы больше интересуетесь сохранением обычной интерпретации коэффициента регрессии, когда мера чувствительности, т.е. эффект модульного изменения в переменном предикторе на ответе, то использует модель регрессии с ошибками ARIMA. Коэффициенты регрессии в моделях ARIMAX не обладают той интерпретацией из-за динамической зависимости от ответа [1].

Предположим, что у вас есть оценки параметра из модели регрессии с ошибками ARIMA, и вы хотите, чтобы видеть, как структура модели выдерживает сравнение с моделью ARIMAX. Или, предположите, что вы хотите некоторое понимание относительно базового отношения между этими двумя моделями.

Модель ARIMAX (t = 1..., T):

Η (L) y_{t} = c + X_{t} β + Ν (L) ε_{t},

(1)

где

_yt является одномерным рядом ответа.
_Xt является строкой t X, который является матрицей конкатенированного ряда предиктора. Таким образом, _Xt является наблюдением t каждого ряда предиктора.
β является коэффициентом регрессии.
c является прерыванием модели регрессии.
$Η (L) = ϕ (L) {(1 - L)}^{D} Φ (L) (1 - L^{s}) = 1 - η_{1} L - η_{2} L^{2} - ... - η_{P} L^{P},$ который является степенью полином оператора задержки P, который получает совместное воздействие сезонных и несезонных авторегрессивных полиномов и сезонных и несезонных полиномов интегрирования. Для получения дополнительной информации об обозначении см. Мультипликативную Модель ARIMA.
$Ν (L) = θ (L) Θ (L) = 1 + ν_{1} L + ν_{2} L^{2} + ... + ν_{Q} L^{Q},$ который является степенью полином оператора задержки Q, который получает совместное воздействие сезонных и несезонных полиномов скользящего среднего значения.
_εt является белым шумовым инновационным процессом.

Модель регрессии с ошибками ARIMA (t = 1..., T)

\begin{array}{l} y_{t} = c + X_{t} β + u_{t} \\ A (L) u_{t} = B (L) ε_{t}, \end{array}

(2)

где

_ut является безусловным процессом воздействий.
$A (L) = ϕ (L) {(1 - L)}^{D} Φ (L) (1 - L^{s}) = 1 - a_{1} L - a_{2} L^{2} - ... - a_{P} L^{P},$ который является степенью полином оператора задержки P, который получает совместное воздействие сезонных и несезонных авторегрессивных полиномов и сезонных и несезонных полиномов интегрирования.
$B (L) = θ (L) Θ (L) = 1 + b_{1} L + b_{2} L^{2} + ... + b_{Q} L^{Q},$ который является степенью полином оператора задержки Q, который получает совместное воздействие сезонных и несезонных полиномов скользящего среднего значения.

Значения переменных, заданных в уравнении 2, не обязательно эквивалентны значениям переменных в уравнении 1, даже при том, что обозначение может быть подобным.

Проиллюстрируйте regARIMA к Преобразованию Модели ARIMAX

Рассмотрите уравнение 2, модель регрессии с ошибками ARIMA. Используйте следующие операции, чтобы преобразовать модель регрессии с ошибками ARIMA к его соответствующей модели ARIMAX.

Решите для _ut.

$\begin{array}{l} y_{t} = c + X_{t} β + u_{t} \\ u_{t} = \frac{B (L)}{A (L)} ε_{t} . \end{array}$
Замените _ut в уравнение регрессии.

$\begin{matrix} y_{t} = c + X_{t} β + \frac{B (L)}{A (L)} ε_{t} \\ A (L) y_{t} = A (L) c + A (L) X_{t} β + B (L) ε_{t} . \end{matrix}$
Решите для _yt.
$\begin{matrix} y_{t} = A (L) c + A (L) X_{t} β + \sum_{k = 1}^{P} a_{k} y_{t - k} + B (L) ε_{t} \\ = A (L) c + Z_{t} Γ + \sum_{k = 1}^{P} a_{k} y_{t - k} + B (L) ε_{t} . \end{matrix}$ (3)
В уравнении 3,
- A (L) c = (1 – a ₁ – a ₂ –...– a _P) c. Таким образом, константа в модели ARIMAX является прерыванием в модели регрессии с ошибками ARIMA с нелинейным ограничением. Хотя приложения, такие как simulate, обработайте это ограничение, estimate не может включить такое ограничение. В последнем случае модели эквивалентны, когда вы фиксируете прерывание и постоянный к 0.
- В термине A (L) _Xtβ полином оператора задержки A (L) фильтрует T-by-1 векторный _Xtβ, который является линейной комбинацией предикторов, взвешенных коэффициентами регрессии. Этот процесс фильтрации требует преддемонстрационных наблюдений P за рядом предиктора.
- arima создает матричный _Zt можно следующим образом:
  - Каждый столбец _Zt соответствует каждому термину в A (L).
  - Первым столбцом _Zt является векторный _Xtβ.
  - Второй столбец _Zt является последовательностью d ₂ NaNs (d ₂ является степенью второго срока в A (L)), сопровождаемый продуктом $L^{d_{j}} X_{t} β$ . Таким образом, программное обеспечение присоединяет d ₂ NaNs в начале T-by-1 столбец, _Xtβ присоединений после NaNs, но обрезает конец того продукта d ₂ наблюдения.
  - j th столбец _Zt является последовательностью _dj NaNs (_dj является степенью j th термин в A (L)), сопровождаемый продуктом $L^{d_{j}} X_{t} β$ . Таким образом, программное обеспечение присоединяет _dj NaNs в начале T-by-1 столбец, _Xtβ присоединений после NaNs, но обрезает конец того продукта наблюдениями _dj.
  .
- Γ = [1 –a ₁ –a ₂... –a _P]'.
  arima конвертер удаляет все авторегрессивные коэффициенты с нулевым знаком разностного уравнения. Впоследствии, arima конвертер не сопоставляет авторегрессивные коэффициенты с нулевым знаком со столбцами в _Zt, и при этом это не включает соответствующие, коэффициенты с нулевым знаком в Γ.
Перепишите уравнение 3,

$y_{t} = (1 - \sum_{k = 1}^{P} a_{k}) c + X_{t} β - \sum_{k = 1}^{P} a_{k} X_{t - k} β + \sum_{k = 1}^{P} a_{k} y_{t - k} + ε_{t} + \sum_{k = 1}^{Q} ε_{t - k} .$

Например, рассмотрите следующую модель регрессии, ошибки которой являются ARMA (2,1):

\begin{matrix} y_{t} = 0.2 + 0.5 X_{t} + u_{t} \\ (1 - 0.8 L + 0.4 L^{2}) u_{t} = (1 + 0.3 L) ε_{t} . \end{matrix}

(4)

Эквивалентная модель ARMAX:

$\begin{matrix} y_{t} = 0.12 + (0.5 - 0.4 L + 0.2 L^{2}) X_{t} + 0.8 y_{t - 1} - 0.4 y_{t - 2} + (1 + 0.3 L) ε_{t} \\ = 0.12 + Z_{t} Γ + 0.8 y_{t - 1} - 0.4 y_{t - 2} + (1 + 0.3 L) ε_{t}, \end{matrix}$

или

$(1 - 0.8 L + 0.4 L^{2}) y_{t} = 0.12 + Z_{t} Γ + (1 + 0.3 L) ε_{t},$

где Γ = [1 – 0.8 0.4]' и

$Z_{t} = 0.5 [\begin{matrix} x_{1} & N a N & N a N \\ x_{2} & x_{1} & N a N \\ x_{3} & x_{2} & x_{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{T} & x_{T - 1} & x_{T - 2} \end{matrix}] .$

Эта модель не интегрирована, потому что все собственные значения, сопоставленные полиномом AR, в модульном кругу, но предикторы могут влиять на в противном случае устойчивый процесс. Кроме того, вы нуждаетесь в преддемонстрационных данных о предикторе, возвращающихся по крайней мере 2 периода к, например, подбираете модель к данным.

Можно проиллюстрировать это далее посредством симуляции и оценки.

Задайте модель регрессии с ошибками ARIMA в уравнении 4.

Mdl1 = regARIMA('Intercept',0.2,'AR',{0.8 -0.4},...
               'MA',0.3,'Beta',[0.3 -0.2],'Variance',0.2);

Сгенерируйте преддемонстрационные наблюдения и данные о предикторе.

rng(1);   % For reproducibility
T = 100;
maxPQ = max(Mdl1.P,Mdl1.Q);
numObs  = T + maxPQ;...
    % Adjust number of observations to account for presample
X1 = randn(numObs,2); % Simulate predictor data
u0 = randn(maxPQ,1);  % Presample unconditional disturbances u(t)
e0 = randn(maxPQ,1);  % Presample innovations e(t)

Симулируйте данные из Mdl1.

rng(100) % For reproducibility
[y1,e1,u1] = simulate(Mdl1,T,'U0',u0,...
    'E0',e0,'X',X1);

Преобразуйте Mdl1 к модели ARIMAX.

[Mdl2,X2] = arima(Mdl1,'X',X1);
Mdl2

Mdl2 = 
  arima with properties:

     Description: "ARIMAX(2,0,1) Model (Gaussian Distribution)"
    Distribution: Name = "Gaussian"
               P: 2
               D: 0
               Q: 1
        Constant: 0.12
              AR: {0.8 -0.4} at lags [1 2]
             SAR: {}
              MA: {0.3} at lag [1]
             SMA: {}
     Seasonality: 0
            Beta: [1 -0.8 0.4]
        Variance: 0.2

Сгенерируйте преддемонстрационные ответы для модели ARIMAX, чтобы гарантировать непротиворечивость Mdl1. Симулируйте данные из Mdl2.
```
y0 = Mdl1.Intercept + X1(1:maxPQ,:)*Mdl1.Beta' + u0;
rng(100)
y2 = simulate(Mdl2,T,'Y0',y0,'E0',e0,'X',X2);

figure
plot(y1,'LineWidth',3)
hold on
plot(y2,'r:','LineWidth',2.5)
hold off
title('{\bf Simulated Paths for Both Models}')
legend('regARIMA Model','ARIMAX Model','Location','Best')
```
Симулированные пути эквивалентны потому что arima конвертер осуществляет нелинейное ограничение, когда это преобразует прерывание модели регрессии в постоянную модель ARIMAX.

Подбирайте модель регрессии с ошибками ARIMA к симулированным данным.

ToEstMdl1 = regARIMA('ARLags',[1 2],'MALags',1);
EstMdl1 = estimate(ToEstMdl1,y1,'E0',e0,'U0',u0,'X',X1);

 
    Regression with ARMA(2,1) Error Model (Gaussian Distribution):
 
                  Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                 ________    _____________    __________    __________

    Intercept     0.14074        0.1014         1.3879         0.16518
    AR{1}         0.83061        0.1375         6.0407      1.5349e-09
    AR{2}        -0.45402        0.1164        -3.9007      9.5927e-05
    MA{1}         0.42803       0.15145         2.8262       0.0047109
    Beta(1)       0.29552      0.022938         12.883       5.597e-38
    Beta(2)      -0.17601      0.030607        -5.7506      8.8941e-09
    Variance      0.18231      0.027765         6.5663      5.1569e-11

Подбирайте модель ARIMAX к симулированным данным.

ToEstMdl2 = arima('ARLags',[1 2],'MALags',1);
EstMdl2 = estimate(ToEstMdl2,y2,'E0',e0,'Y0',...
    y0,'X',X2);

 
    ARIMAX(2,0,1) Model (Gaussian Distribution):
 
                 Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                ________    _____________    __________    __________

    Constant    0.084996      0.064217         1.3236         0.18564
    AR{1}        0.83136       0.13634         6.0975      1.0775e-09
    AR{2}       -0.45599       0.11788        -3.8683       0.0001096
    MA{1}          0.426       0.15753         2.7043       0.0068446
    Beta(1)        1.053       0.13685         7.6949      1.4166e-14
    Beta(2)      -0.6904       0.19262        -3.5843      0.00033796
    Beta(3)      0.45399       0.15352         2.9572       0.0031047
    Variance     0.18112      0.028836          6.281      3.3634e-10

Преобразуйте EstMdl1 к модели ARIMAX.
```
ConvertedMdl2 = arima(EstMdl1,'X',X1)
```
```
ConvertedMdl2 = 
  arima with properties:

     Description: "ARIMAX(2,0,1) Model (Gaussian Distribution)"
    Distribution: Name = "Gaussian"
               P: 2
               D: 0
               Q: 1
        Constant: 0.087737
              AR: {0.830611 -0.454025} at lags [1 2]
             SAR: {}
              MA: {0.428031} at lag [1]
             SMA: {}
     Seasonality: 0
            Beta: [1 -0.830611 0.454025]
        Variance: 0.182313
```
Предполагаемая постоянная модель ARIMAX не эквивалентна модели ARIMAX, постоянной преобразованный из модели регрессии с ошибками ARIMA. Другими словами, EstMdl2.Constant = 0.0849961 и ConvertedMdl2.Constant = 0.087737. Это вызвано тем, что estimate не осуществляет нелинейное ограничение что arima конвертер осуществляет. В результате другие оценки не эквивалентны также, хотя близко.

Ссылки

[1] Хиндмен, R. J. (2010, октябрь). “Путаница модели ARIMAX”. Роб Дж. Хиндмен. Полученный 4 мая 2017 из https://robjhyndman.com/hyndsight/arimax/.

Смотрите также

arima | estimate | estimate

Документация