Векторная авторегрессия (VAR) модели

vector autoregression (VAR) model является многомерной моделью временных рядов, содержащей систему уравнений n n отличные, стационарные переменные отклика как линейные функции изолированных ответов и других условий. Модели VAR также характеризуются их степенью p; каждое уравнение в модели VAR (p) содержит задержки p всех переменных в системе.

Модели VAR принадлежат классу многомерных линейных моделей временных рядов под названием vector autoregression moving average (VARMA) models. Несмотря на то, что Econometrics Toolbox™ обеспечивает функциональность, чтобы провести всесторонний анализ модели VAR (p) (от оценки модели до прогнозирования и симуляции), тулбокс оказывает ограниченную поддержку для других моделей в классе VARMA.

В общем случае многомерные линейные модели временных рядов хорошо подходят для:

Моделирование перемещений нескольких стационарных временных рядов одновременно.
Измерение задержанных эффектов среди переменных отклика в системе.
Измерение эффектов внешнего ряда на переменных в системе. Например, определите, влияет ли присутствие недавно наложенного тарифа значительно на несколько эконометрических рядов.
Генерация одновременных прогнозов переменных отклика.

Типы стационарных многомерных моделей временных рядов

Эта таблица содержит формы многомерных линейных моделей временных рядов и описывает их поддерживаемую функциональность в Econometrics Toolbox.

Модель	Сокращение	Уравнение	Поддерживаемая функциональность
Векторная авторегрессия	VAR (p)	$y_{t} = c + \sum_{j = 1}^{p} Φ_{j} y_{t - j} + ε_{t}$	Представляйте модель при помощи `varm` объект: Создайте шаблон для оценки или полностью заданной модели при помощи `varm`. Оцените любые неизвестные параметры при помощи `estimate`. Работа с полностью заданной моделью путем применения объектных функций. Получите содействующие матрицы модели VAR из содействующих матриц его VARMA (p, q) эквивалентный при помощи `arma2ar`. Учитывая содействующие матрицы, выполните динамический анализ множителя при помощи `armairf` и `armafevd`.
Векторная авторегрессия с линейным трендом времени	VAR (p)	$y_{t} = c + δ t + \sum_{j = 1}^{p} Φ_{j} y_{t - j} + ε_{t}$	Представляйте модель при помощи `varm` объект. `estimate` и все другие объектные функции поддерживают эту модель.
Векторная авторегрессия с внешним рядом	VARX (p)	$y_{t} = c + δ t + β x_{t} + \sum_{j = 1}^{p} Φ_{j} y_{t - j} + ε_{t}$	Представляйте модель при помощи `varm` объект. `estimate` и все другие объектные функции поддерживают эту модель.
Векторное скользящее среднее значение	VMA (q)	$y_{t} = c + \sum_{k = 1}^{q} Θ_{k} ε_{t - k} + ε_{t}$	Получите содействующие матрицы модели VMA из содействующих матриц его VARMA (p, q) эквивалентный при помощи `arma2ma`. Учитывая содействующие матрицы, выполните динамический анализ множителя при помощи `armairf` и `armafevd`.
Векторное скользящее среднее значение авторегрессии	ВАРМА (p, q)	$y_{t} = c + \sum_{j = 1}^{p} Φ_{j} y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} Θ_{k} ε_{t - k} + ε_{t}$	Получите содействующие матрицы модели VAR или VMA из содействующих матриц его VARMA (p, q) эквивалентный при помощи `arma2ar` или `arma2ma`, соответственно. Учитывая содействующие матрицы, выполните динамический анализ множителя при помощи `armairf` и `armafevd`.
Структурное векторное скользящее среднее значение авторегрессии	SVARMA (p, q)	$Φ_{0} y_{t} = c + \sum_{j = 1}^{p} Φ_{j} y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} Θ_{k} ε_{t - k} + Θ_{0} ε_{t}$	Та же поддержка что касается моделей VARMA

Следующие переменные появляются в уравнениях:

y _t является n-by-1 вектор отличных серийных переменных времени отклика во время t.
c является n-by-1 вектор постоянных смещений в каждом уравнении.
Φ_j является n-by-n матрица коэффициентов AR, где j = 1..., p и Φ_p не является матрицей, содержащей только нули.
_xt является m-by-1 вектор значений, соответствующих m внешние переменные или предикторы. В дополнение к изолированным ответам внешние переменные не моделируются входные параметры к системе. Каждая внешняя переменная появляется во всех уравнениях ответа по умолчанию.
β является n-by-m матрица коэффициентов регрессии. Строка j содержит коэффициенты в уравнении переменной отклика j и столбец k, содержит коэффициенты внешней переменной k среди всех уравнений.
δ является n-by-1 вектор линейных значений тренда времени.
_εt является n-by-1 вектор случайных Гауссовых инноваций, каждого со средним значением 0 и коллективно n-by-n ковариационная матрица Σ. Для t ≠ s, _εt и _εs независимы.
Θ_k является n-by-n матрица коэффициентов MA, где k = 1..., q и Θ_q не является матрицей, содержащей только нули.
_Φ0 и _Θ0 являются AR и MA структурные коэффициенты, соответственно.

Обычно y временных рядов _t и _xt заметны, потому что у вас есть данные, представляющие ряд. Значения c, δ, β и авторегрессивных матриц Φ_j не всегда известны. Вы обычно хотите соответствовать этим параметрам к своим данным. Смотрите estimate для способов оценить неизвестные параметры или как содержать некоторых из них зафиксированный к значениям (устанавливает equality constraints) во время оценки. Инновации _εt не заметен в данных, но они могут быть заметными в симуляциях.

Изолируйте представление оператора

В предыдущей таблице модели представлены в обозначении разностного уравнения. Lag operator notation является эквивалентом и большим сжатым представлением многомерных линейных уравнений временных рядов.

Оператор задержки L уменьшает индекс времени одним модулем: L y _t = y _{t –1}. Оператор ^Lj уменьшает индекс времени модулями j: ^Lj y _t = y _{t –j}.

В форме оператора задержки, уравнении для SVARMAX (p, q) модель:

$(Φ_{0} - \sum_{j = 1}^{p} Φ_{j} L^{j}) y_{t} = c + β x_{t} + (Θ_{0} + \sum_{k = 1}^{q} Θ_{k} L^{k}) ε_{t} .$

Уравнение выражается более кратко в этой форме:

$Φ (L) y_{t} = c + β x_{t} + Θ (L) ε_{t},$

где

$Θ (L) = Θ_{0} - \sum_{j = 1}^{p} Θ_{j} L^{j}$

$Θ (L) = Θ_{0} + \sum_{k = 1}^{q} Θ_{k} L^{k} .$

Устойчивые и обратимые модели

Многомерным полиномом AR является stable если

$\det (I_{n} - Φ_{1} z - Φ_{2} z^{2} - ... - Φ_{p} z^{p}) \neq 0 для | z | \leq 1.$

Со всеми равными нулю инновациями это условие подразумевает, что процесс VAR сходится к c как бесконечность подходов t (для получения дополнительной информации, см. [1], Ch. 2).

Многомерным полиномом MA является invertible если

$\det (I_{n} + Θ_{1} z + Θ_{2} z^{2} + ... + Θ_{q} z^{q}) \neq 0 для | z | \leq 1.$

Это условие подразумевает, что чистое представление VAR процесса VMA устойчиво (для получения дополнительной информации, см. [1], Ch. 11).

Модель ВАРМЫ устойчива, если ее полином AR устойчив. Точно так же модель VARMA является обратимой, если ее полином MA является обратимым.

Модели с внешними входными параметрами (например, модели VARMAX) не имеют никакого четко определенного понятия устойчивости или обратимости. Внешний вход может дестабилизировать модель.

Модели с компонентом регрессии

Включите обратную связь от внешних предикторов или изучите их линейные связи с рядом ответа включением компонента регрессии в многомерной линейной модели временных рядов. По приказу увеличивающейся сложности, примеров приложений, которые используют такие модели:

Моделирование эффектов вмешательства, которое подразумевает, что внешний ряд является переменной индикатора.
Моделирование одновременных линейных ассоциаций между подмножеством внешнего ряда к каждому ответу. Приложения включают анализ CAPM и изучение эффектов цен на элементы на их требовании. Эти приложения являются примерами на вид несвязанной регрессии (SUR). Для получения дополнительной информации смотрите Реализацию На вид Несвязанная модель оценки финансовых активов Регрессии и Оценки Используя SUR.
Моделирование линейных ассоциаций между одновременным и изолировало внешний ряд и ответ как часть распределенной модели задержки. Приложения включают определение, как изменение в денежном росте влияет на действительный валовой внутренний продукт (ВВП) и грубый национальный доход (GNI).
Любая комбинация SUR и распределенной модели задержки, которая включает изолированные эффекты ответов, также известных как одновременные модели уравнения.

Общее уравнение для модели VARX(p)

$y_{t} = c + δ t + β x_{t} + \sum_{j = 1}^{p} Φ_{j} y_{t - j} + ε_{t}$

где

_xt является m-by-1 вектор наблюдений от m внешние переменные во время t. Векторный _xt может содержать изолированный внешний ряд.
β является n-by-m вектор коэффициентов регрессии. Строка j β содержит коэффициенты регрессии в уравнении серии j ответа для всех внешних переменных. Столбец k β содержит коэффициенты регрессии среди последовательных уравнений ответа для внешней переменной k. Этот рисунок показывает систему с расширенным компонентом регрессии:

$[\begin{matrix} y_{1, t} \\ y_{2, t} \\ ⋮ \\ y_{n, t} \end{matrix}] = c + δ t + [\begin{matrix} x_{1, t} β (1, 1) + \dots + x_{m, t} β (1, m) \\ x_{1, t} β (2, 1) + \dots + x_{m, t} β (2, m) \\ ⋮ \\ x_{1, t} β (n, 1) + \dots + x_{m, t} β (n, m) \end{matrix}] + \sum_{j = 1}^{p} Φ_{j} y_{t - j} + ε_{t} .$

Рабочий процесс модели VAR

Этот рабочий процесс описывает, как анализировать многомерные временные ряды при помощи функциональности модели Econometrics Toolbox VAR. Если вы полагаете, что ряды ответа являются cointegrated, используют функциональность модели VEC вместо этого (см. vecm).

Загрузите, предварительно обработайте и разделите набор данных. Для получения дополнительной информации смотрите Многомерные Форматы Данных временных рядов.
Создайте varm объект модели, который характеризует модель VAR. varm объект модели является переменной MATLAB^®, содержащей свойства, которые описывают модель, такую как степень полинома AR p, размерность ответа n и содействующие значения. varm должен смочь вывести n и p от ваших спецификаций; n и p не являются допускающими оценку. Можно обновить структуру задержки полинома AR после создания модели VAR, но вы не можете изменить n.
varm позволяет вам создать эти типы моделей:
- Модель Fully specified, в которой все параметры, включая коэффициенты и инновационную ковариационную матрицу, являются числовыми значениями. Создайте этот тип модели, когда экономическая теория задает значения всех параметров в модели, или вы хотите экспериментировать с установками параметров. После создания полностью заданной модели можно передать модель всем объектным функциям кроме estimate.
- Model template, в котором n и p являются известными значениями, но все коэффициенты и инновационная ковариационная матрица являются неизвестными, допускающими оценку параметрами. Свойства, соответствующие допускающим оценку параметрам, состоят из NaN значения. Передайте шаблон модели и данные к estimate получить предполагаемое (полностью заданный) модель VAR. Затем можно передать предполагаемую модель любой другой объектной функции.
- Модель Partially specified обрабатывает по шаблону, в котором известны некоторые параметры, и другие являются неизвестными и допускающими оценку. Если вы передаете частично заданную модель и данные к estimate, MATLAB обрабатывает известные значения параметров как ограничения равенства во время оптимизации и оценивает неизвестные значения. Частично заданная модель хорошо подходит для этих задач:
  - Удалите задержки из модели путем обнуления коэффициента.
  - Сопоставьте подмножество предикторов к переменной отклика путем обнуления коэффициентов регрессии предикторов, которые вы не хотите в уравнении ответа.
Для получения дополнительной информации смотрите, Создают Модель VAR.
Для моделей неизвестными, допускающими оценку параметрами подбирайте модель к данным. См. Подбирающие Модели к Данным и estimate.
Найдите соответствующую степень полинома AR путем итерации шагов 2 и 3. Смотрите Избранный Соответствующий Порядок Задержки.
Анализируйте подобранную модель. Этот шаг может включить:
1. Определение, ли серийная Granger-причина ответа другой ряд ответа в системе (см. gctest).
2. Исследование устойчивости подобранной модели.
3. Вычисление импульсных характеристик, которые являются прогнозами на основе принятого изменения во входе к временным рядам.
4. Прогнозирование модели VAR путем получения или минимальных прогнозов среднеквадратичной погрешности или прогнозов Монте-Карло.
5. Сравнение модели предсказывает к данным о затяжке. Для примера смотрите Тематическое исследование Модели VAR.

Ваше приложение не должно вовлекать все шаги в этот рабочий процесс, и можно выполнить итерации некоторых шагов. Например, вы не можете иметь никаких данных, но хотеть симулировать ответы из полностью заданной модели.

Ссылки

[1] Lütkepohl, H. Новое введение в несколько анализ временных рядов. Берлин: Спрингер, 2005.

Документация