Симулируйте стационарные процессы

Симулируйте процесс AR

В этом примере показано, как симулировать демонстрационные пути от стационарного AR (2) процесс, не задавая преддемонстрационные наблюдения.

Шаг 1. Задайте модель.

Задайте модель AR (2)

$y_{t} = 0.5 + 0.7 y_{t - 1} + 0 . 25 y_{t - 2} + ε_{t},$

где инновационный процесс является Гауссовым с отклонением 0.1.

model = arima('Constant',0.5,'AR',{0.7,0.25},'Variance',.1);

Шаг 2. Сгенерируйте один демонстрационный путь.

Сгенерируйте один демонстрационный путь (с 50 наблюдениями) из заданной модели и графика.

rng('default')
Y = simulate(model,50);

figure
plot(Y)
xlim([0,50])
title('Simulated AR(2) Process')

Поскольку преддемонстрационные данные не были заданы, simulate устанавливает два необходимых преддемонстрационных наблюдения, равные безусловному среднему значению процесса,

$\frac{c}{(1 - ϕ_{1} - ϕ_{2})} = \frac{0.5}{(1 - 0.7 - 0 . 25)} = 10 .$

Шаг 3. Сгенерируйте много демонстрационных путей.

Сгенерируйте 1 000 демонстрационных путей, каждого с 50 наблюдениями.

rng('default')
Y = simulate(model,50,'NumPaths',1000);

figure
subplot(2,1,1)
plot(Y,'Color',[.85,.85,.85])
title('Simulated AR(2) Process')
hold on
h=plot(mean(Y,2),'k','LineWidth',2);
legend(h,'Simulation Mean','Location','NorthWest')
hold off
subplot(2,1,2)
plot(var(Y,0,2),'r','LineWidth',2)
title('Process Variance')
hold on
plot(1:50,.83*ones(50,1),'k--','LineWidth',1.5)
legend('Simulation','Theoretical',...
       'Location','SouthEast')
hold off

Среднее значение симуляции является постоянным в зависимости от времени. Это сопоставимо с определением стационарного процесса. Отклонение процесса не является постоянным в зависимости от времени, как бы то ни было. Существуют переходные эффекты в начале симуляции из-за отсутствия преддемонстрационных данных.

Симулированное отклонение приближается к теоретическому отклонению,

$\frac{(1 - ϕ_{2})}{(1 + ϕ_{2})} \frac{σ_{ε}^{2}}{{(1 - ϕ_{2})}^{2} - ϕ_{1}^{2}} = \frac{(1 - . 25)}{(1 + . 25)} \frac{0.1}{{(1 - . 25)}^{2} - {0.7}^{2}} = 0 . 83,$

приблизительно 50-м наблюдением.

Шаг 4. Сверхдискретизируйте процесс.

Чтобы уменьшать переходные эффекты, одна опция должна сверхдискретизировать процесс. Например, чтобы произвести 50 наблюдений, можно сгенерировать пути больше чем с 50 наблюдениями и отбросить все кроме последних 50 наблюдений как выжигание дефектов. Здесь, симулируйте пути длины 150 и отбросьте первые 100 наблюдений.

rng('default')
Y = simulate(model,150,'NumPaths',1000);
Y = Y(101:end,:);

figure
subplot(2,1,1)
plot(Y,'Color',[.85,.85,.85])
title('Simulated AR(2) Process')
hold on
h=plot(mean(Y,2),'k','LineWidth',2);
legend(h,'Simulation Mean','Location','NorthWest')
hold off
subplot(2,1,2)
plot(var(Y,0,2),'r','LineWidth',2)
xlim([0,50])
title('Process Variance')
hold on
plot(1:50,.83*ones(50,1),'k--','LineWidth',1.5)
legend('Simulation','Theoretical',...
       'Location','SouthEast')
hold off

Реализация теперь похожа, чертит от стационарного стохастического процесса. Отклонение симуляции колеблется (из-за ошибки Монте-Карло) вокруг теоретического отклонения.

Симулируйте процесс MA

Скрипт Open Live Script

В этом примере показано, как симулировать демонстрационные пути от стационарного MA (12) процесс, не задавая преддемонстрационные наблюдения.

Шаг 1. Задайте модель.

Задайте модель MA (12)

$y_{t} = 0.5 + ε_{t} + 0.8 ε_{t - 1} + 0.2 ε_{t - 12},$

где инновационное распределение является Гауссовым с отклонением 0.2.

model = arima('Constant',0.5,'MA',{0.8,0.2},...
              'MALags',[1,12],'Variance',0.2);

Шаг 2. Сгенерируйте демонстрационные пути.

Сгенерируйте 200 демонстрационных путей, каждого с 60 наблюдениями.

rng('default')
Y = simulate(model,60,'NumPaths',200);

figure
plot(Y,'Color',[.85,.85,.85])
hold on
h = plot(mean(Y,2),'k','LineWidth',2)

h = 
  Line with properties:

              Color: [0 0 0]
          LineStyle: '-'
          LineWidth: 2
             Marker: 'none'
         MarkerSize: 6
    MarkerFaceColor: 'none'
              XData: [1x60 double]
              YData: [1x60 double]
              ZData: [1x0 double]

  Show all properties

legend(h,'Simulation Mean','Location','NorthWest')
title('MA(12) Process')
hold off

Для процесса MA постоянный термин является безусловным средним значением. Среднее значение симуляции - приблизительно 0,5, как ожидалось.

Шаг 3. Постройте отклонение симуляции.

Безусловное отклонение для модели

$(1 + θ_{1}^{2} + θ_{12}^{2}) σ_{ε}^{2} = (1 + 0 . 8^{2} + 0 . 2^{2}) \times 0.2 = 0 . 336 .$

Поскольку модель является стационарной, безусловное отклонение должно быть постоянным через все случаи. Постройте отклонение симуляции и сравните его с теоретическим отклонением.

figure
plot(var(Y,0,2),'Color',[.75,.75,.75],'LineWidth',1.5)
xlim([0,60])
title('Unconditional Variance')
hold on
plot(1:60,.336*ones(60,1),'k--','LineWidth',2)
legend('Simulation','Theoretical',...
       'Location','SouthEast')
hold off

Кажется, существует короткая электротермотренировка в начале симуляции. В это время отклонение симуляции ниже, чем ожидалось. Впоследствии, отклонение симуляции колеблется вокруг теоретического отклонения.

Шаг 4. Сгенерируйте более демонстрационные пути.

Симулируйте 10 000 путей из модели, каждого с длиной 1000. Посмотрите на отклонение симуляции.

rng('default')
YM = simulate(model,1000,'NumPaths',10000);
figure
plot(var(YM,0,2),'Color',[.75,.75,.75],'LineWidth',1.5)
ylim([0.3,0.36])
title('Unconditional Variance')
hold on
plot(1:1000,.336*ones(1000,1),'k--','LineWidth',2)
legend('Simulation','Theoretical',...
       'Location','SouthEast')
hold off

Ошибка Монте-Карло уменьшается, когда больше реализации сгенерировано. В отклонении симуляции существует намного меньше изменчивости, которое плотно колеблется вокруг теоретического отклонения.

Смотрите также

arima | simulate

Документация