waldtest

Вальдов тест спецификации модели

Описание

пример

h = waldtest(r,R,EstCov) возвращает логическое значение (h) с решением отклонения от проведения Вальдового теста спецификации модели.

waldtest создает тестовую статистическую величину использование функции ограничения и ее якобиана и значения неограниченного средства оценки ковариации модели, все оцененные в неограниченных оценках параметра (rR, и EstCov, соответственно).

  • Если какой-либо входной параметр является вектором ячейки длины k> 1, то другие входные параметры должны быть массивами ячеек длины k. waldtestRR, EstCov) обработки каждая ячейка как отдельный, независимый тест, и возвращают вектор решений отклонения.

  • Если какой-либо входной параметр является вектором-строкой, то программное обеспечение возвращает выходные аргументы как векторы-строки.

пример

h = waldtest(r,R,EstCov,alpha) возвращает решение отклонения о Вальдовом тесте, проводимом на уровне значения alpha.

пример

[h,pValue] = waldtest(___) возвращает решение отклонения и p - значение (pValue) для теста гипотезы, с помощью любого из входных параметров в предыдущих синтаксисах.

пример

[h,pValue,stat,cValue] = waldtest(___) дополнительно возвращает тестовую статистическую величину (stat) и критическое значение (cValue) для теста гипотезы.

Примеры

свернуть все

Проверяйте на значительные эффекты задержки в модели регрессии временных рядов.

Загрузите американский набор данных GDP.

load Data_GDP

Постройте GDP против времени.

plot(dates,Data)
datetick

Ряд, кажется, увеличивается экспоненциально.

Преобразуйте данные с помощью натурального логарифма.

logGDP = log(Data);

logGDP увеличивается вовремя, поэтому примите, что существует значительная задержка 1 эффект. Чтобы использовать Вальдов тест, чтобы проверять, существует ли значительная задержка 2 эффекта, вам нужно:

  • Предполагаемые коэффициенты неограниченной модели

  • Функция ограничения выполнена в неограниченных значениях коэффициента модели

  • Якобиан функции ограничения оценен в неограниченных значениях коэффициента модели

  • Предполагаемая, неограниченная ковариационная матрица параметра.

Неограниченная модель

yt=β0+β1yt-1+β2yt-2+εt.

Оцените коэффициенты неограниченной модели.

LagLGDP = lagmatrix(logGDP,1:2);
UMdl = fitlm(table(LagLGDP(:,1),LagLGDP(:,2),logGDP));

UMdl подходящий LinearModel модель. Это содержит, среди прочего, подходящие коэффициенты неограниченной модели.

Ограничение β2=0. Поэтому функция ограничения (r) и Jacobian(R):

  • r=β2

  • R=[001]

Задайте r, R, и предполагаемую, неограниченную ковариационную матрицу параметра.

r = UMdl.Coefficients.Estimate(3);
R = [0 0 1];
EstParamCov = UMdl.CoefficientCovariance;

Протестируйте на значительную задержку 2 эффекта с помощью Вальдового теста.

[h,pValue] = waldtest(r,R,EstParamCov)
h = logical
   1

pValue = 1.2521e-07

h = 1 указывает что пустая, ограниченная гипотеза (β2=0) должен быть отклонен в пользу альтернативной, неограниченной гипотезы. pValue вполне мал, который предполагает, что существуют убедительные доказательства для этого результата.

Протестируйте, существуют ли значительные эффекты ДУГИ в симулированном ряду ответа с помощью waldtest.

Предположим, что модель для симулированных данных является AR (1) с ДУГОЙ (1) отклонение. Символически, модель

yt=0.9yt-1+εt,

где

  • εt=wtht

  • ht=1+0.5εt-12

  • wt является Гауссовым со средним значением 0 и отклонением 1.

Задайте модель для симулированных данных.

VarMdl = garch('ARCH',0.5,'Constant',1);
Mdl = arima('Constant',0,'Variance',VarMdl,'AR',0.9);

Mdl полностью заданная модель AR (1) с ДУГОЙ (1) отклонение.

Симулируйте преддемонстрационные и эффективные демонстрационные ответы от Mdl.

T = 100;
rng(1);  % For reproducibility
n = 2;   % Number of presample observations required for the Jacobian
[y,epsilon,condVariance] = simulate(Mdl,T + n);

psI = 1:n;             % Presample indices
esI = (n + 1):(T + n); % Estimation sample indices

epsilon случайный путь инноваций от VarMdl. Программное обеспечение фильтрует epsilon через Mdl давать случайный путь к ответу y.

Задайте неограниченную модель, принимающую, что условная средняя модель

yt=c+ϕ1yt-1+εt,

где ht=α0+α1εt-12. Соответствуйте симулированным данным (y) к неограниченной модели с помощью преддемонстрационных наблюдений.

UVarMdl = garch(0,1);
UMdl = arima('ARLags',1,'Variance',UVarMdl);
[UEstMdl,UEstParamCov] = estimate(UMdl,y(esI),'Y0',y(psI),...
    'E0',epsilon(psI),'V0',condVariance(psI),'Display','off');

UEstMdl подходящая, неограниченная модель и UEstParamCov предполагаемая ковариация параметра неограниченных параметров модели.

Нулевая гипотеза - это α1=0, т.е. ограниченная модель является AR (1) с Гауссовыми инновациями, которые имеют среднее значение 0 и постоянное отклонение. Поэтому функция ограничения r(θ)=α1, где θ=[c,ϕ1,α0,α1]. Компоненты Вальдового теста:

  • Функция ограничения, выполненная в неограниченных оценках параметра, r=αˆ1.

  • Якобиан r, оцененного в неограниченных параметрах модели, R=[0001].

  • Неограниченная модель оценила, что ковариационной матрицей параметра является UEstParamCov.

Задайте r и R.

r = UEstMdl.Variance.ARCH{1};
R = [0, 0, 0, 1];

Протестируйте нулевую гипотезу это α1=0 на 1%-м уровне значения с помощью waldtest.

[h,pValue,stat,cValue] = waldtest(r,R,UEstParamCov,0.01)
h = logical
   0

pValue = 0.0549
stat = 3.6846
cValue = 6.6349

h = 0 указывает, что пустая, ограниченная модель не должна быть отклонена в пользу альтернативной, неограниченной модели. Этот результат сопоставим с моделью для симулированных данных.

Оцените спецификации модели путем тестирования вниз среди нескольких ограниченных моделей с помощью симулированных данных. Истинная модель является ARMA (2,1)

yt=3+0.9yt-1-0.5yt-2+εt+0.7εt-1,

где εt является Гауссовым со средним значением 0 и отклонением 1.

Задайте истинную модель ARMA(2,1) и симулируйте 100 значений ответа.

TrueMdl = arima('AR',{0.9,-0.5},'MA',0.7,...
    'Constant',3,'Variance',1);
T = 100;
rng(1); % For reproducibility 
y = simulate(TrueMdl,T);

Задайте неограниченную модель и имена моделей кандидата для тестирования вниз.

UMdl = arima(2,0,2);
RMdlNames = {'ARMA(2,1)','AR(2)','ARMA(1,2)','ARMA(1,1)',...
    'AR(1)','MA(2)','MA(1)'};

UMdl неограниченная, модель ARMA(2,2). RMdlNames массив ячеек строк, содержащих имена ограниченных моделей.

Подбирайте неограниченную модель к симулированным данным.

[UEstMdl,UEstParamCov] = estimate(UMdl,y,'Display','off');

UEstMdl подходящая, неограниченная модель и UEstParamCov предполагаемая ковариационная матрица параметра.

Неограниченная модель имеет шесть параметров. Чтобы создать ограничение функционируют и его якобиан, необходимо знать порядок параметров в UEstParamCov. Для этого arima модель, порядок [c,ϕ1,ϕ2,θ1θ2,σ2].

Каждая модель кандидата соответствует функции ограничения. Поместите векторы функции ограничения в отдельные ячейки вектора ячейки.

rf1 = UEstMdl.MA{2};                          % ARMA(2,1)
rf2 = cell2mat(UEstMdl.MA)';                  % AR(2)
rf3 = UEstMdl.AR{2};                          % ARMA(1,2)
rf4 = [UEstMdl.AR{2};UEstMdl.MA{2}]';         % ARMA(1,1)
rf5 = [UEstMdl.AR{2};cell2mat(UEstMdl.MA)'];  % AR(1)
rf6 = cell2mat(UEstMdl.AR)';                  % MA(2)
rf7 = [cell2mat(UEstMdl.AR)';UEstMdl.MA{2}];  % MA(1)
r = {rf1;rf2;rf3;rf4;rf5;rf6;rf7};

r 7 1 вектор ячейки векторов, соответствующих функции ограничения для моделей кандидата.

Поместите якобиан каждой функции ограничения в отдельные, соответствующие ячейки вектора ячейки. Порядок элементов в якобиане должен соответствовать порядку элементов в UEstParamCov.

J1 = [0 0 0 0 1 0];                           % ARMA(2,1)   
J2 = [0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0];              % AR(2)      
J3 = [0 1 0 0 0 0];                           % ARMA(1,2)  
J4 = [0 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 1 0];              % ARMA(1,1)  
J5 = [0 1 0 0 0 0; 0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0]; % AR(1)      
J6 = [1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0];              % MA(2)      
J7 = [1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 1 0]; % MA(1)      
R = {J1;J2;J3;J4;J5;J6;J7};

R 7 1 вектор ячейки векторов, соответствующих функции ограничения для моделей кандидата.

Поместите предполагаемую ковариационную матрицу параметра в каждую ячейку 7 1 вектор ячейки.

EstCov = cell(7,1); % Preallocate
for j = 1:length(EstCov)
    EstCov{j} = UEstParamCov;
end

Примените Вальдов тест на 1%-м уровне значения, чтобы найти соответствующее, ограничил спецификации модели.

alpha = .01;
h = waldtest(r,R,EstCov,alpha);
RestrictedModels = RMdlNames(~h)
RestrictedModels = 1x5 cell array
    {'ARMA(2,1)'}    {'ARMA(1,2)'}    {'ARMA(1,1)'}    {'MA(2)'}    {'MA(1)'}

RestrictedModels перечисляет самые соответствующие ограниченные модели.

Можно протестировать вниз снова, но использовать ARMA (2,1) в качестве неограниченной модели. В этом случае необходимо удалить MA (2) из возможных ограниченных моделей.

Протестируйте, имеют ли параметры вложенной модели нелинейное отношение.

Загрузите Дойчмарку/Британский фунт двусторонний набор данных текущего обменного курса.

load Data_MarkPound

Набор данных (Data) содержит временные ряды цен.

Преобразуйте цены в возвраты и постройте ряд возврата.

returns = price2ret(Data);

figure
plot(returns)
axis tight
ylabel('Returns')
xlabel('Days, 02Jan1984 - 31Dec1991')
title('{\bf Deutschmark/British Pound Bilateral Spot Exchange Rate}')

Ряд возвратов показывает знаки heteroscedasticity.

Предположим, что модель GARCH(1,1) является соответствующей моделью для данных. Подбирайте модель GARCH(1,1) к данным включая константу.

Mdl = garch(1,1);
[EstMdl,EstParamCov] = estimate(Mdl,returns);
 
    GARCH(1,1) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution):
 
                  Value       StandardError    TStatistic      PValue  
                __________    _____________    __________    __________

    Constant    1.0534e-06     3.5047e-07        3.0056       0.0026508
    GARCH{1}       0.80659       0.012908        62.486               0
    ARCH{1}        0.15435       0.011574        13.336      1.4286e-40
g1 = EstMdl.GARCH{1};
a1 = EstMdl.ARCH{1};

g1 предполагаемый эффект GARCH и a1 предполагаемый эффект ДУГИ.

Следующее может представлять отношения между коэффициентами ДУГИ и GARCH:

  • γ1α1=1

  • γ1+α1=1

где γ1 эффект GARCH и α1 эффект ДУГИ. Задайте эти отношения как функцию ограничения r(θ)=0, оцененный в неограниченных оценках параметра модели. Эта спецификация задает вложенную, ограниченную модель.

r = [g1*a1; g1+a1] - 1;

Задайте якобиан вектора функции ограничения.

R = [0, a1, g1;0, 1, 1];

Проведите Вальдов тест, чтобы оценить, существуют ли достаточные доказательства, чтобы отклонить ограниченную модель.

[h,pValue,stat,cValue] = waldtest(r,R,EstParamCov)
h = logical
   1

pValue = 0
stat = 1.4596e+04
cValue = 5.9915

h = 1 указывает, что существуют достаточные доказательства, чтобы отклонить ограниченную модель в пользу неограниченной модели. pValue = 0 указывает, что доказательство для отклонения ограниченной модели сильно.

Входные параметры

свернуть все

Функции ограничения, соответствующие ограниченным моделям, заданным как скаляр, вектор, или вектор ячейки скаляров или векторы.

  • Если r q - вектор или одноэлементный массив ячеек, содержащий q - вектор, затем программное обеспечение проводит один Вальдов тест. q должен быть меньше количества неограниченных параметров модели.

  • Если r вектор ячейки длины k> 1, и ячейка j содержит qj - вектор, j = 1..., k, затем программное обеспечение проводит k независимые Вальдовы тесты. Каждый qj должен быть меньше количества неограниченных параметров модели.

Типы данных: double | cell

Якобианы функции ограничения, заданные как вектор-строка, матрица или вектор ячейки векторов-строк или матриц.

  • Предположим r 1..., rq является функциями ограничения q, и неограниченными параметрами модели является θ 1..., θp. Затем якобиан функции ограничения

    R=(r1θ1r1θprqθ1rqθp).

  • Если R q-by-p матрица или одноэлементный массив ячеек, содержащий q-by-p матрица, затем программное обеспечение проводит один Вальдов тест. q должен быть меньше p, который является количеством неограниченных параметров модели.

  • Если R вектор ячейки длины k> 1, и ячейка j содержит qj-by-pj матрица, j = 1..., k, затем программное обеспечение проводит k независимые Вальдовы тесты. Каждый qj должен быть меньше pj, который является количеством неограниченных параметров в модели j.

Типы данных: double | cell

Неограниченные оценки ковариации параметра модели, заданные как матрица или вектор ячейки матриц.

  • Если EstCov p-by-p матрица или одноэлементный массив ячеек, содержащий p-by-p матрица, затем программное обеспечение проводит один Вальдов тест. p является количеством неограниченных параметров модели.

  • Если EstCov вектор ячейки длины k> 1, и ячейка j содержит pj-by-pj матрица, j = 1..., k, затем программное обеспечение проводит k независимые Вальдовы тесты. Каждый pj является количеством неограниченных параметров в модели j.

Типы данных: double | cell

Номинальные уровни значения для тестов гипотезы, заданных как скаляр или вектор.

Каждый элемент alpha должен быть больше 0 и меньше чем 1.

При проведении k> 1 тест,

  • Если alpha скаляр, затем программное обеспечение расширяет его до k-by-1 вектор.

  • Если alpha вектор, затем он должен иметь длину k.

Типы данных: double

Выходные аргументы

свернуть все

Протестируйте решения отклонения, возвращенные как логическое значение или вектор логических значений с длиной, равной количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

  • h = 1 указывает на отклонение пустой, ограниченной модели в пользу альтернативной, неограниченной модели.

  • h = 0 указывает на отказ отклонить пустую, ограниченную модель.

Протестируйте статистический p - значения, возвращенные как скаляр или вектор с длиной, равной количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

Протестируйте статистику, возвращенную как скаляр или вектор с длиной, равной количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

Критические значения определяются alpha, возвращенный, когда скаляр или вектор с длиной равняются количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

Больше о

свернуть все

Вальдов тест

Wald test сравнивает спецификации вложенных моделей путем оценки значения ограничений параметра q на расширенную модель с p неограниченные параметры.

Тестовая статистическая величина

W=r(RΣθ^R)1r,

где

  • r является функцией ограничения, которая задает ограничения формы r (θ) = 0 на параметрах θ в неограниченной модели, оцененной в неограниченных оценках параметра модели. Другими словами, r сопоставляет p - размерное пространство параметров к q - размерный пробел ограничения.

    На практике r является q-by-1 вектор, где q <p.

    Обычно, r=θ^θ0, где θ^ неограниченные оценки параметра модели для ограниченных параметров, и θ 0 содержит значения ограниченных параметров модели по нулевой гипотезе.

  • R является якобианом функции ограничения, оцененным в неограниченных оценках параметра модели.

  • Σ^θ^ неограниченное средство оценки ковариации параметра модели, оцененное в неограниченных оценках параметра модели.

  • W имеет асимптотическое распределение хи-квадрат со степенями свободы q.

Когда W превышает критическое значение в своем асимптотическом распределении, тест отклоняет пустую, ограниченную гипотезу в пользу альтернативной, неограниченной гипотезы. Номинальный уровень значения (α) определяет критическое значение.

Примечание

Вальдовы тесты зависят от алгебраической формы ограничений. Например, можно выразить ограничение ab = 1 как a – 1/b = 0, или b – 1/a = 0, или ab – 1 = 0. Каждая формулировка приводит к различной тестовой статистике.

Советы

  • Оцените неограниченные одномерные линейные модели временных рядов, такие как arima или garch, или модели регрессии временных рядов (regARIMA) использование estimate. Оцените неограниченные многомерные линейные модели временных рядов, такие как varm или vecm, использование estimate.

    estimate возвращает оценки параметра и их оценки ковариации, которые можно обработать и использовать в качестве входных параметров к waldtest.

  • Если вы не можете легко вычислить ограниченные оценки параметра, то используйте waldtest. Для сравнения:

    • lratiotest требует и ограниченных и неограниченных оценок параметра.

    • lmtest требует ограниченных оценок параметра.

Алгоритмы

  • waldtest выполняет несколько, независимые тесты, когда ограничение функционирует вектор, его якобиан и неограниченная ковариационная матрица параметра модели (rR, и EstCov, соответственно), векторы ячейки равной длины.

    • Если EstCov то же самое для всех тестов, но r варьируется, затем waldtest “тесты вниз” против нескольких ограниченных моделей.

    • Если EstCov варьируется среди тестов, но r не делает, затем waldtest “тесты” против нескольких неограниченных моделей.

    • В противном случае, waldtest сравнивает спецификации модели попарно.

  • alpha номинально в этом, это задает вероятность отклонения в асимптотическом распределении. Фактическая вероятность отклонения обычно больше номинального значения.

  • Вальдова тестовая ошибка отклонения обычно больше отношения правдоподобия и тестовых ошибок отклонения множителя Лагранжа.

Ссылки

[1] Дэвидсон, R. и Дж. Г. Маккиннон. Эконометрическая теория и методы. Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета, 2004.

[2] Годфри, тесты Л. Г. Мисспекификэйшна в эконометрике. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, 1997.

[3] Грин, В. Х. Эконометрик Анэлизис. 6-й редактор Верхний Сэддл-Ривер, NJ: Пирсон Prentice Hall, 2008.

[4] Гамильтон, J. D. Анализ Временных Рядов. Принстон, NJ: Издательство Принстонского университета, 1994.

Представленный в R2009a

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте