Рассмотрите временные ряды
где . Здесь, zt является независимой и тождественно распределенной серией стандартизированных случайных переменных. Поддержки Econometrics Toolbox™ стандартизировали инновационные распределения t Гауссова и стандартизированного Студента. Постоянный термин, , среднее смещение.
conditional variance model задает динамическую эволюцию инновационного отклонения,
где H t –1 является историей процесса. История включает:
Прошлые отклонения,
Прошлые инновации,
Условные модели отклонения подходят для временных рядов, которые не показывают значительную автокорреляцию, но последовательно зависят. Инновационный ряд является некоррелированым, потому что:
E (εt) = 0.
E (εt εt–h) = 0 для всего t и
Однако, если зависит от , например, затем εt зависит от εt–1, даже при том, что они являются некоррелироваными. Этот вид зависимости показывает себя как автокорреляция в инновационном ряду в квадрате,
Для моделирования временных рядов, которые и автокоррелируются и последовательно зависимый, можно рассмотреть использование составного условного среднего значения и модели отклонения.
Две характеристики финансовых временных рядов, к которым обращаются условные модели отклонения:
Volatility clustering. Энергозависимость является условным стандартным отклонением временных рядов. Автокорреляция в условном процессе отклонения приводит к кластеризации энергозависимости. Модель GARCH и ее авторегрессия модели вариантов в ряду отклонения.
Leverage effects. Энергозависимость некоторых временных рядов больше отвечает на значительные сокращения, чем к значительным увеличениям. Это асимметричное поведение кластеризации известно как эффект рычагов. Модели EGARCH и GJR имеют условия рычагов, чтобы смоделировать эту асимметрию.
Обобщенное авторегрессивное условное выражение heteroscedastic модель (GARCH) является расширением модели ARCH Энгла для отклонения heteroscedasticity [1]. Если ряд показывает кластеризацию энергозависимости, это предполагает, что прошлые отклонения могут быть прогнозирующими из текущего отклонения.
GARCH (P, Q) модель является авторегрессивной моделью скользящего среднего значения для условных отклонений с P коэффициенты GARCH, сопоставленные с изолированными отклонениями и коэффициентами ДУГИ Q, сопоставленными с изолированными инновациями в квадрате. Форма GARCH (P, Q) модель в Econometrics Toolbox
где и
Constant
свойство garch
модель соответствует κ и Offset
свойство соответствует μ.
Для стационарности и положительности, модель GARCH имеет следующие ограничения:
Чтобы задать исходную модель ARCH (Q) Энгла, используйте эквивалентный GARCH (0, Q) спецификация.
Экспоненциальная модель GARCH (EGARCH) является вариантом GARCH, который моделирует логарифм условного процесса отклонения. В дополнение к моделированию логарифма модель EGARCH имеет дополнительные условия рычагов, чтобы получить асимметрию в кластеризации энергозависимости.
EGARCH (P, Q) модель имеет P коэффициенты GARCH, сопоставленные с изолированными логарифмическими условиями отклонения, коэффициенты ДУГИ Q, сопоставленные с величиной изолированных стандартизированных инноваций, и коэффициенты рычагов Q, сопоставленные с со знаком, изолировали стандартизированные инновации. Форма EGARCH (P, Q) модель в Econometrics Toolbox
где и
Constant
свойство egarch
модель соответствует κ и Offset
свойство соответствует μ.
Форма условий ожидаемого значения, сопоставленных с коэффициентами ДУГИ в уравнении EGARCH, зависит от распределения zt:
Если инновационное распределение является Гауссовым, то
Если инновационным распределением является t Студента с ν> 2 степени свободы, то
Тулбокс обрабатывает EGARCH (P, Q) модель как модель ARMA для Таким образом, чтобы гарантировать стационарность, все корни содействующего полинома GARCH,, должен лечь вне модульного круга.
Модель EGARCH уникальна из моделей GARCH и GJR, потому что она моделирует логарифм отклонения. Путем моделирования логарифма ослабляются ограничения положительности на параметры модели. Однако прогнозы условных отклонений из модели EGARCH смещаются, потому что неравенством Иенсена,
EGARCH (1,1) спецификация будет достаточно комплексным для большинства приложений. Для модели EGARCH(1,1) GARCH и коэффициенты ДУГИ, как ожидают, будут положительны, и коэффициент рычагов, как ожидают, будет отрицателен; большие непредвиденные нисходящие шоки должны увеличить отклонение. Если вы получаете знаки напротив ожидаемых, вы можете столкнуться с трудностями, выводящими последовательности энергозависимости, и предсказывающий (отрицательный коэффициент ДУГИ может быть особенно проблематичным). В этом случае модель EGARCH не может быть лучшим выбором для вашего приложения.
Модель GJR является вариантом GARCH, который включает условия рычагов для моделирования асимметричной кластеризации энергозависимости. В формулировке GJR большие отрицательные изменения, более вероятно, будут кластеризироваться, чем положительные изменения. Модель GJR названа по имени Glosten, Jagannathan и Runkle [2]. Закройтесь общие черты существуют между моделью GJR и пороговой моделью GARCH (TGARCH) — модель GJR является рекурсивным уравнением для процесса отклонения, и TGARCH является той же рекурсией, применился к процессу стандартного отклонения.
GJR (P, Q) модель имеет P коэффициенты GARCH, сопоставленные с изолированными отклонениями, коэффициенты ДУГИ Q, сопоставленные с изолированными инновациями в квадрате и коэффициентами рычагов Q, сопоставленными с квадратом отрицательных изолированных инноваций. Форма GJR (P, Q) модель в Econometrics Toolbox
где и
Функция индикатора равняется 1 если , и 0 в противном случае. Таким образом коэффициенты рычагов применяются к отрицательным инновациям, давая отрицательным изменениям дополнительный вес.
Constant
свойство gjr
модель соответствует κ и Offset
свойство соответствует μ.
Для стационарности и положительности, модель GJR имеет следующие ограничения:
Модель GARCH вкладывается в модели GJR. Если все коэффициенты рычагов являются нулем, то модель GJR уменьшает до модели GARCH. Это означает, что можно протестировать модель GARCH против модели GJR с помощью теста отношения правдоподобия.
[1] Энгл, Роберт Ф. “Авторегрессивный Условный Heteroskedasticity с Оценками Отклонения Инфляции Соединенного Королевства”. Econometrica. Издание 50, 1982, стр 987–1007.
[2] Glosten, L. R. Р. Джейгэннэзэн и Д. Э. Ранкл. “На Отношении между Ожидаемым значением и Энергозависимостью Номинального Избыточного Возврата на Запасах”. Журнал Финансов. Издание 48, № 5, 1993, стр 1779–1801.