Собственные значения

Разложение собственного значения

Собственное значение и собственный вектор квадратной матрицы, A является, соответственно, скалярный λ и ненулевой векторный υ, которые удовлетворяют

Aυ = λυ.

С собственными значениями на диагонали диагональной матрицы Λ и соответствующие собственные вектора, формирующие столбцы матричного V, вы имеете

AV = VΛ.

Если V несингулярен, это становится разложением собственного значения

A = VΛV ^–1.

Хорошим примером является матрица коэффициентов дифференциального уравнения dx/dt = A x:

A =
     0    -6    -1
     6     2   -16
    -5    20   -10

Решение этого уравнения выражается в терминах матричного экспоненциального x (t) = e ^{t A} x (0). Оператор

lambda = eig(A)

производит вектор-столбец, содержащий собственные значения A. Для этой матрицы собственные значения являются комплексными:

lambda =
     -3.0710         
     -2.4645+17.6008i
     -2.4645-17.6008i

Действительная часть каждого из собственных значений отрицательна, таким образом, e ^λнуль подходов ^t как t увеличивается. Ненулевая мнимая часть двух из собственных значений, ±ω, вносит колебательный компонент, sin (ω t), к решению дифференциального уравнения.

С двумя выходными аргументами, eig вычисляет собственные вектора и хранит собственные значения в диагональной матрице:

[V,D] = eig(A)

V =
  -0.8326         0.2003 - 0.1394i   0.2003 + 0.1394i
  -0.3553        -0.2110 - 0.6447i  -0.2110 + 0.6447i
  -0.4248        -0.6930            -0.6930          

D =
  -3.0710                 0                 0         
        0           -2.4645+17.6008i        0         
        0                 0           -2.4645-17.6008i

Первый собственный вектор действителен, и другие два вектора являются сопряженными комплексными числами друг друга. Все три вектора нормированы, чтобы иметь Евклидову длину, norm(v,2), равняйтесь одному.

matrix V*D*inv(V), который может быть записан более кратко как V*D/V, в ошибке округления A. И, inv(V)*A*V, или V\A*V, в ошибке округления of D.

Несколько собственных значений

Некоторые матрицы не имеют разложения собственного вектора. Эти матрицы не являются диагонализируемыми. Например:

A = [ 1    -2    1 
      0     1    4 
      0     0    3 ]

Для этой матрицы

[V,D] = eig(A)

производит

V =

    1.0000    1.0000   -0.5571
         0    0.0000    0.7428
         0         0    0.3714


D =

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     3

Существует двойное собственное значение в λ = 1. Первые и вторые столбцы V то же самое. Для этой матрицы не существует полный набор линейно независимых собственных векторов.

Разложение Шура

Много усовершенствованных матричных расчетов не требуют разложений собственного значения. Они базируются, вместо этого, на разложении Шура

A = U S U ′,

где U является ортогональной матрицей, и S является верхней треугольной матрицей блока с блоками 2 на 2 и 1 на 1 на диагонали. Собственные значения показаны диагональными элементами и блоками S, в то время как столбцы U обеспечивают ортогональное основание, которое имеет намного лучшие числовые свойства, чем набор собственных векторов.

Например, сравните собственное значение и разложения Шура этой дефектной матрицы:

A = [ 6    12    19 
     -9   -20   -33 
      4     9    15 ];

[V,D] = eig(A)

V =

  -0.4741 + 0.0000i  -0.4082 - 0.0000i  -0.4082 + 0.0000i
   0.8127 + 0.0000i   0.8165 + 0.0000i   0.8165 + 0.0000i
  -0.3386 + 0.0000i  -0.4082 + 0.0000i  -0.4082 - 0.0000i


D =

  -1.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   1.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   1.0000 - 0.0000i

[U,S] = schur(A)

U =

   -0.4741    0.6648    0.5774
    0.8127    0.0782    0.5774
   -0.3386   -0.7430    0.5774


S =

   -1.0000   20.7846  -44.6948
         0    1.0000   -0.6096
         0    0.0000    1.0000

Матричный A является дефектным, поскольку это не имеет полного набора линейно независимых собственных векторов (вторые и третьи столбцы V то же самое). С тех пор не все столбцы V линейно независимы, это имеет большое число обусловленности приблизительно ~1e8. Однако schur может вычислить три различных базисных вектора в U. Начиная с U является ортогональным, cond(U) = 1.

Матричный S имеет действительное собственное значение как первую запись на диагонали и повторном собственном значении, представленном нижним правым блоком 2 на 2. Собственные значения блока 2 на 2 являются также собственными значениями A:

eig(S(2:3,2:3))

ans =

   1.0000 + 0.0000i
   1.0000 - 0.0000i

Смотрите также

eig | schur

Документация