Создайте 3х3 квадратную матрицу, A.

A = [1 -2 4; -5 2 0; 1 0 3]

A = 3×3

     1    -2     4
    -5     2     0
     1     0     3

Вычислим определитель A.

d = det(A)

d = -32

Исследуйте, почему определитель не является точной мерой сингулярности.

Создайте 10 10 матрица путем умножения единичной матрицы, eye(10), небольшим числом.

A = eye(10)*0.0001;

Матричный A имеет очень маленькие записи по основной диагонали. Однако A не сингулярно, потому что это является кратным единичной матрице.

Вычислим определитель A.

d = det(A)

d = 1.0000e-40

Определитель чрезвычайно мал. Тест допуска формы abs(det(A)) < tol вероятно, отметит эту матрицу как сингулярную. Несмотря на то, что определитель матрицы близко к нулю, A на самом деле плохо не обусловливается. Поэтому A не близко к тому, чтобы быть сингулярным. Определитель матрицы может быть произвольно близко к нулю, не сообщая о сингулярности.

Заниматься расследованиями если A сингулярно, используйте любого cond или rcond функции.

Вычислим число обусловленности A.

c = cond(A)

c = 1

Результат подтверждает тот A плохо не обусловливается.

Исследуйте, как вычислить определитель обратной матрицы A^(-1), для плохо обусловленного матричного A, явным образом не вычисляя A^(-1).

Создадим матрицу Гильберта A размером 10x10.

A = hilb(10);

Найдите число обусловленности A.

c = cond(A)

c = 1.6025e+13

Большое число обусловленности предлагает тот A близко к тому, чтобы быть сингулярным, настолько вычисляющий inv(A) может привести к неточным результатам. Поэтому вычисление определителя обратной матрицы det(inv(A)) также неточно.

Вычислите определитель инверсии A путем использования факта это

d1 = 1/det(A)

d1 = 4.6202e+52

Этот метод старается не вычислять инверсию матрицы, A.

Вычислите определитель точной инверсии Гильбертовой матрицы, A, использование invhilb. Сравните результат с d1 найти относительную погрешность d1.

d = det(invhilb(10));
relError = abs(d1-d)/abs(d)

relError = 1.0443e-04

Относительная погрешность d1 обоснованно мал. Предотвращение явного расчета инверсии A минимизирует его.

Для сравнения также вычислите определитель инверсии A путем явного вычисления инверсии. Сравните результат с d видеть относительную погрешность.

d2 = det(inv(A));
relError2 = abs(d2-d)/abs(d)

relError2 = 2.2039e-05

Относительная погрешность вычисления d2 на много порядков больше, чем тот из d1.

Рассмотрим матрицу, которая точно является сингулярной, но имеет большой ненулевой определитель. В теории определитель любой сингулярной матрицы равен нулю, но из-за особенностей вычислений с плавающей точкой, этот идеал не всегда достижим.

Создайте 13 13 по диагонали доминирующий сингулярный матричный A и просмотрите расположение ненулевых элементов.

A = diag([24 46 64 78 88 94 96 94 88 78 64 46 24]);
S = diag([-13 -24 -33 -40 -45 -48 -49 -48 -45 -40 -33 -24],1);
A = A + S + rot90(S,2);
spy(A)

A сингулярно, потому что строки линейно зависимы. Например, sum(A) дает нулевой вектор.

Вычислим определитель A.

d = det(A)

d = 1.0597e+05

Определитель A является довольно большим несмотря на то, что A сингулярно. На самом деле, определитель A должно быть точно нулевым! Погрешность d происходит из-за накопления ошибок округления в реализации MATLAB® LU-разложения, который det использование, чтобы вычислить определитель. Этот результат демонстрирует несколько важных аспектов вычисления числовых определителей. Дополнительную информацию см. в разделе Limitations.