Нелинейные ограничения

Несколько решателей оптимизации принимают нелинейные ограничения, включая fmincon, fseminf, fgoalattain, fminimax, и решатели Global Optimization Toolbox ga, gamultiobj, patternsearch, paretosearch, GlobalSearch, и MultiStart. Нелинейные ограничения позволяют вам ограничивать решение любой области, которая может быть описана в терминах сглаженных функций.

Нелинейные ограничения неравенства имеют форму c (x) ≤ 0, где c является вектором ограничений, одного компонента для каждого ограничения. Точно так же нелинейные ограничения равенства имеют форму ceq (x) = 0.

Примечание

Нелинейные ограничительные функции должны возвратить оба c и ceq, функции ограничения неравенства и ограничения равенства, даже если они оба не существуют. Возвратите пустую запись [] для несуществующего ограничения.

Например, предположите, что у вас есть следующие неравенства как ограничения:

$\begin{matrix} \frac{x_{}^{12}}{9} + \frac{x_{}^{22}}{4} \leq 1, \\ x_{2} \geq x_{}^{12} - 1. \end{matrix}$

Напишите эти ограничения в файле функции можно следующим образом:

function [c,ceq]=ellipseparabola(x)
c(1) = (x(1)^2)/9 + (x(2)^2)/4 - 1;
c(2) = x(1)^2 - x(2) - 1;
ceq = [];
end

ellipseparabola возвращает пустую запись [] для ceq, нелинейная функция ограничения равенства. Кроме того, второе неравенство переписано к ≤ 0 форм.

Минимизируйте функциональный exp(x(1) + 2*x(2)) подвергните ellipseparabola ограничения.

fun = @(x)exp(x(1) + 2*x(2));
nonlcon = @ellipseparabola;
x0 = [0 0];
A = []; % No other constraints
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
lb = [];
ub = [];
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x =

   -0.2500   -0.9375

Включая градиенты в ограничительных функциях

Если вы обеспечиваете градиенты для c и ceq, решатель может запуститься быстрее и дать более надежные результаты.

Обеспечение градиента имеет преимущество. Решатель может достигнуть точки x таким образом, что x выполнимые, но конечные разности вокруг x всегда приводите к неосуществимой точке. В этом случае решатель может перестать работать или остановиться преждевременно. Обеспечение градиента позволяет решателю продолжать.

Чтобы включать информацию о градиенте, запишите функцию conditionalized можно следующим образом:

function [c,ceq,gradc,gradceq]=ellipseparabola(x)
c(1) = x(1)^2/9 + x(2)^2/4 - 1;
c(2) = x(1)^2 - x(2) - 1;
ceq = [];

if nargout > 2
    gradc = [2*x(1)/9, 2*x(1); ...
             x(2)/2, -1];
    gradceq = [];
end

Смотрите Пишущие Скалярные Целевые функции для получения информации о функциях conditionalized. Матрица градиента имеет форму

gradc_{i, j} = [∂c(j) / ∂_xi].

Первый столбец матрицы градиента сопоставлен с c(1), и второй столбец сопоставлен с c(2). Эта производная форма является транспонированием формы Якобианов.

Чтобы иметь использование решателя градиенты нелинейных ограничений, укажите, что они существуют при помощи optimoptions:

options = optimoptions(@fmincon,'SpecifyConstraintGradient',true);

Убедитесь, что передали структуру опций решателю:

[x,fval] = fmincon(@myobj,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub, ...
           @ellipseparabola,options)

Если у вас есть лицензия Symbolic Math Toolbox™, можно вычислить градиенты и Гессианы автоматически, как описано в Symbolic Math Toolbox Вычисляет Градиенты и Гессианы.

Анонимные нелинейные ограничительные функции

Нелинейные ограничительные функции должны возвратить два выходных параметра. Первый выход соответствует нелинейным неравенствам, и второе соответствует нелинейным равенствам.

Анонимные функции возвращают всего один выходной параметр. Таким образом, как можно записать анонимную функцию как нелинейное ограничение?

deal функция распределяет несколько выходных параметров. Например, предположите, что у вас есть нелинейные неравенства

$\begin{matrix} \frac{x_{}^{12}}{9} + \frac{x_{}^{22}}{4} \leq 1, \\ x_{2} \geq x_{}^{12} - 1. \end{matrix}$

Предположим, что у вас есть нелинейное равенство

x ₂ = tanh (x ₁).

Запишите нелинейную ограничительную функцию можно следующим образом:

c = @(x)[x(1)^2/9 + x(2)^2/4 - 1;
        x(1)^2 - x(2) - 1];
ceq = @(x)tanh(x(1)) - x(2);
nonlinfcn = @(x)deal(c(x),ceq(x));

Чтобы минимизировать функциональную дубинку (x ₁) + sinh (x ₂) подвергают ограничениям в nonlinfcn, используйте fmincon:

obj = @(x)cosh(x(1))+sinh(x(2));
opts = optimoptions(@fmincon,'Algorithm','sqp');
z = fmincon(obj,[0;0],[],[],[],[],[],[],nonlinfcn,opts)

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is 
non-decreasing in feasible directions, to within the default 
value of the function tolerance, and constraints are satisfied 
to within the default value of the constraint tolerance.

z =
   -0.6530
   -0.5737

Проверять как хорошо получившаяся точка z удовлетворяет ограничениям, используйте nonlinfcn:

[cout,ceqout] = nonlinfcn(z)

cout =
   -0.8704
         0

ceqout =
     0

z удовлетворяет всем ограничениям к в значении по умолчанию допуска ограничения ConstraintTolerance, 1e-6.

Для получения информации об анонимных целевых функциях смотрите Цели Анонимной функции.

Документация