Найдите точки во Множестве Парето
x = paretosearch(fun,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x, так, чтобы x всегда находится в области значений lb ≤ x ≤ ub. Если никакие линейные равенства не существуют, устанавливают Aeq = [] и beq = []. Если x(i) не имеет никакой нижней границы, установите lb(i) = -Inf. Если x(i) не имеет никакой верхней границы, установите ub(i) = Inf.
x = paretosearch(fun,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)c(x) заданный в nonlcon. paretosearch функция находит точки, над которыми не доминируют, таким образом что c(x) ≤ 0. Если никакие границы не существуют, устанавливают lb = [], ub = [], или оба.
В настоящее время, paretosearch не поддерживает нелинейные ограничения равенства ceq(x) = 0.
Найдите точки на передней стороне Парето 2D целевой функции двумерной переменной.
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; rng default % For reproducibility x = paretosearch(fun,2);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Постройте решение как график рассеивания.
plot(x(:,1),x(:,2),'m*') xlabel('x(1)') ylabel('x(2)')
Теоретически, решение этой проблемы является прямой линией от [-2,-1] к [1,2]. paretosearch возвращает равномерно разнесенные точки близко к этой линии.
Создайте переднюю сторону Парето для 2D объективной проблемы, в двух измерениях подвергают линейному ограничению x(1) + x(2) <= 1.
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; A = [1,1]; b = 1; rng default % For reproducibility x = paretosearch(fun,2,A,b);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Постройте решение как график рассеивания.
plot(x(:,1),x(:,2),'m*') xlabel('x(1)') ylabel('x(2)')
Теоретически, решение этой проблемы является прямой линией от [-2,-1] к [0,1]. paretosearch возвращает равномерно разнесенные точки близко к этой линии.
Создайте переднюю сторону Парето для 2D объективной проблемы, в двух измерениях подвергают границам x(1) >= 0 и x(2) <= 1.
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; lb = [0,-Inf]; % x(1) >= 0 ub = [Inf,1]; % x(2) <= 1 rng default % For reproducibility x = paretosearch(fun,2,[],[],[],[],lb,ub);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Постройте решение как график рассеивания.
plot(x(:,1),x(:,2),'m*') xlabel('x(1)') ylabel('x(2)')
Все точки решения находятся на границах ограничений x(1) = 0 или x(2) = 1.
Создайте переднюю сторону Парето для 2D объективной проблемы, в двух измерениях подвергают границам -1.1 <= x(i) <= 1.1 и нелинейное ограничение norm(x)^2 <= 1.2. Нелинейная ограничительная функция появляется в конце этого примера и работает, если вы запускаете этот пример как live скрипт. Чтобы запустить этот пример в противном случае, включайте нелинейную ограничительную функцию как файл на вашем пути MATLAB®.
Чтобы лучше видеть эффект нелинейного ограничения, установите опции использовать большой размер Множества Парето.
rng default % For reproducibility fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; lb = [-1.1,-1.1]; ub = [1.1,1.1]; options = optimoptions('paretosearch','ParetoSetSize',200); x = paretosearch(fun,2,[],[],[],[],lb,ub,@circlecons,options);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Постройте решение как график рассеивания. Включайте график круговой границы ограничений.
figure plot(x(:,1),x(:,2),'k*') xlabel('x(1)') ylabel('x(2)') hold on rectangle('Position',[-1.2 -1.2 2.4 2.4],'Curvature',1,'EdgeColor','r') xlim([-1.2,0.5]) ylim([-0.5,1.2]) axis square hold off
Точки решения, которые имеют положительный x(1) значения или отрицательный x(2) значения близко к нелинейной границе ограничений.
function [c,ceq] = circlecons(x) ceq = []; c = norm(x)^2 - 1.2; end
Контролировать прогресс paretosearch, задайте 'psplotparetof' функция plot.
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; options = optimoptions('paretosearch','PlotFcn','psplotparetof'); lb = [-4,-4]; ub = -lb; x = paretosearch(fun,2,[],[],[],[],lb,ub,[],options);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Решение похоже на круговую четвертью дугу с радиусом 18, который, как могут показывать, является аналитическим решением.
Получите переднюю сторону Парето и в функциональном пространстве и в пространстве параметров путем вызова paretosearch с обоими x и fval выходные параметры . Установите опции строить Множество Парето и в функциональном пространстве и в пространстве параметров.
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; lb = [-4,-4]; ub = -lb; options = optimoptions('paretosearch','PlotFcn',{'psplotparetof' 'psplotparetox'}); rng default % For reproducibility [x,fval] = paretosearch(fun,2,[],[],[],[],lb,ub,[],options);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Аналитическое решение на пробеле целевой функции является круговой четвертью дугой радиуса 18. В пространстве параметров аналитическое решение является прямой линией от [-2,-1] к [1,2]. Точки решения близко к аналитическим кривым.
Установите опции контролировать процесс решения для Множества Парето. Кроме того, получите больше выходных параметров из paretosearch позволять вам изучить процесс решения.
options = optimoptions('paretosearch','Display','iter',... 'PlotFcn',{'psplotparetof' 'psplotparetox'}); fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; lb = [-4,-4]; ub = -lb; rng default % For reproducibility [x,fval,exitflag,output] = paretosearch(fun,2,[],[],[],[],lb,ub,[],options);
Iter F-count NumSolutions Spread Volume 0 60 11 - 3.7872e+02 1 386 12 - 3.4654e+02 2 702 27 9.4324e-01 2.9452e+02 3 1029 27 - 2.9904e+02 4 1357 40 0.0000e+00 3.0154e+02 5 1697 60 1.4903e-01 3.0369e+02 6 1841 60 1.4515e-01 3.0439e+02 7 1961 60 1.7716e-01 3.0465e+02 8 2075 60 1.6123e-01 3.0475e+02 9 2189 60 1.7419e-01 3.0449e+02 Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Исследуйте дополнительные выходные параметры.
fprintf('Exit flag %d.\n',exitflag)Exit flag 1.
disp(output)
iterations: 10
funccount: 2189
volume: 304.4256
averagedistance: 0.0215
spread: 0.1742
maxconstraint: 0
message: 'Pareto set found that satisfies the constraints. ...'
rngstate: [1x1 struct]
Получите и исследуйте передние ограничительные остаточные значения Парето. Создайте проблему с линейным ограничением неравенства sum(x) <= -1/2 и нелинейное ограничение неравенства norm(x)^2 <= 1.2. Для улучшенной точности используйте 200 точек на передней стороне Парето и ParetoSetChangeTolerance из 1e-7, и дайте естественным границам -1.2 <= x(i) <= 1.2.
Нелинейная ограничительная функция появляется в конце этого примера и работает, если вы запускаете этот пример как live скрипт. Чтобы запустить этот пример в противном случае, включайте нелинейную ограничительную функцию как файл на вашем пути MATLAB®.
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; A = [1,1]; b = -1/2; lb = [-1.2,-1.2]; ub = -lb; nonlcon = @circlecons; rng default % For reproducibility options = optimoptions('paretosearch','ParetoSetChangeTolerance',1e-7,... 'PlotFcn',{'psplotparetof' 'psplotparetox'},'ParetoSetSize',200);
Вызовите paretosearch использование всех выходных параметров.
[x,fval,exitflag,output,residuals] = paretosearch(fun,2,A,b,[],[],lb,ub,nonlcon,options);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Ограничения неравенства уменьшают размер Множества Парето по сравнению с неограниченным набором. Исследуйте возвращенные остаточные значения.
fprintf('The maximum linear inequality constraint residual is %f.\n',max(residuals.ineqlin))The maximum linear inequality constraint residual is 0.000000.
fprintf('The maximum nonlinear inequality constraint residual is %f.\n',max(residuals.ineqnonlin))The maximum nonlinear inequality constraint residual is -0.000244.
Максимальные возвращенные остаточные значения отрицательны, означая, что все возвращенные точки выполнимы. Максимальные возвращенные остаточные значения близко к нулю, означая, что каждое ограничение активно для некоторых точек.
function [c,ceq] = circlecons(x) ceq = []; c = norm(x)^2 - 1.2; end
paretosearch использует поиск шаблона, чтобы искать точки на передней стороне Парето. Для получения дополнительной информации см. paretosearch Алгоритм.