Полиномы Чебышева второго вида
chebyshevU(
представляет n
,x
)n
Полином Чебышева степени th второго вида в точке x
.
Найдите первые пять Полиномов Чебышева второго вида для переменной x
.
syms x chebyshevU([0, 1, 2, 3, 4], x)
ans = [ 1, 2*x, 4*x^2 - 1, 8*x^3 - 4*x, 16*x^4 - 12*x^2 + 1]
В зависимости от его аргументов, chebyshevU
возвращает или точные символьные результаты с плавающей точкой.
Найдите значение Полинома Чебышева пятой степени второго вида в этих точках. Поскольку эти числа не являются символьными объектами, chebyshevU
возвращает результаты с плавающей точкой.
chebyshevU(5, [1/6, 1/3, 1/2, 2/3, 4/5])
ans = 0.8560 0.9465 0.0000 -1.2675 -1.0982
Найдите значение Полинома Чебышева пятой степени второго вида для тех же чисел преобразованным в символьные объекты. Для символьных чисел, chebyshevU
возвращает точные символьные результаты.
chebyshevU(5, sym([1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 4/5]))
ans = [ 208/243, 33/32, 230/243, 0, -308/243, -3432/3125]
Оценка с плавающей точкой Полиномов Чебышева прямыми вызовами chebyshevU
численно устойчиво. Однако сначала вычисление полинома с помощью символьной переменной, и затем заменяя значениями переменной точности в это выражение может быть численно неустойчивым.
Найдите значение Полинома Чебышева 500-й степени второго вида в 1/3
и vpa(1/3)
. Оценка с плавающей точкой численно устойчива.
chebyshevU(500, 1/3) chebyshevU(500, vpa(1/3))
ans = 0.8680 ans = 0.86797529488884242798157148968078
Теперь найдите символьный полиномиальный U500 = chebyshevU(500, x)
, и замените x = vpa(1/3)
в результат. Этот подход численно неустойчив.
syms x U500 = chebyshevU(500, x); subs(U500, x, vpa(1/3))
ans = 63080680195950160912110845952.0
Аппроксимируйте полиномиальные коэффициенты при помощи vpa
, и затем замените x = sym(1/3)
в результат. Этот подход также численно неустойчив.
subs(vpa(U500), x, sym(1/3))
ans = -1878009301399851172833781612544.0
Постройте первые пять Полиномов Чебышева второго вида.
syms x y fplot(chebyshevU(0:4, x)) axis([-1.5 1.5 -2 2]) grid on ylabel('U_n(x)') legend('U_0(x)', 'U_1(x)', 'U_2(x)', 'U_3(x)', 'U_4(x)', 'Location', 'Best') title('Chebyshev polynomials of the second kind')
chebyshevU
возвращает результаты с плавающей точкой для числовых аргументов, которые не являются символьными объектами.
chebyshevU
действия, поэлементные на нескалярных входных параметрах.
По крайней мере один входной параметр должен быть скаляром, или оба аргумента должны быть векторами или матрицами, одного размера. Если один входной параметр является скаляром, и другой является вектором или матрицей, то chebyshevU
расширяет скаляр в вектор или матрицу одного размера с другим аргументом со всеми элементами, равными тому скаляру.
[1] Hochstrasser, U. W. “Ортогональные Полиномы”. Руководство Математических функций с Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. (М. Абрамовиц и я. А. Стегун, редакторы). Нью-Йорк: Дувр, 1972.
chebyshevT
| gegenbauerC
| hermiteH
| jacobiP
| laguerreL
| legendreP