chebyshevU

Полиномы Чебышева второго вида

Синтаксис

Описание

пример

chebyshevU(n,x) представляет nПолином Чебышева степени th второго вида в точке x.

Примеры

Сначала пять полиномов Чебышева второго вида

Найдите первые пять Полиномов Чебышева второго вида для переменной x.

syms x
chebyshevU([0, 1, 2, 3, 4], x)
ans =
[ 1, 2*x, 4*x^2 - 1, 8*x^3 - 4*x, 16*x^4 - 12*x^2 + 1]

Полиномы Чебышева для числовых и символьных аргументов

В зависимости от его аргументов, chebyshevU возвращает или точные символьные результаты с плавающей точкой.

Найдите значение Полинома Чебышева пятой степени второго вида в этих точках. Поскольку эти числа не являются символьными объектами, chebyshevU возвращает результаты с плавающей точкой.

chebyshevU(5, [1/6, 1/3, 1/2, 2/3, 4/5])
ans =
    0.8560    0.9465    0.0000   -1.2675   -1.0982

Найдите значение Полинома Чебышева пятой степени второго вида для тех же чисел преобразованным в символьные объекты. Для символьных чисел, chebyshevU возвращает точные символьные результаты.

chebyshevU(5, sym([1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 4/5]))
ans =
[ 208/243, 33/32, 230/243, 0, -308/243, -3432/3125]

Оцените полиномы Чебышева с числами с плавающей запятой

Оценка с плавающей точкой Полиномов Чебышева прямыми вызовами chebyshevU численно устойчиво. Однако сначала вычисление полинома с помощью символьной переменной, и затем заменяя значениями переменной точности в это выражение может быть численно неустойчивым.

Найдите значение Полинома Чебышева 500-й степени второго вида в 1/3 и vpa(1/3). Оценка с плавающей точкой численно устойчива.

chebyshevU(500, 1/3)
chebyshevU(500, vpa(1/3))
ans =
    0.8680
 
ans =
0.86797529488884242798157148968078

Теперь найдите символьный полиномиальный U500 = chebyshevU(500, x), и замените x = vpa(1/3) в результат. Этот подход численно неустойчив.

syms x
U500 = chebyshevU(500, x);
subs(U500, x, vpa(1/3))
ans =
63080680195950160912110845952.0

Аппроксимируйте полиномиальные коэффициенты при помощи vpa, и затем замените x = sym(1/3) в результат. Этот подход также численно неустойчив.

subs(vpa(U500), x, sym(1/3))
ans =
-1878009301399851172833781612544.0

Постройте полиномы Чебышева второго вида

Постройте первые пять Полиномов Чебышева второго вида.

syms x y
fplot(chebyshevU(0:4, x))
axis([-1.5 1.5 -2 2])
grid on

ylabel('U_n(x)')
legend('U_0(x)', 'U_1(x)', 'U_2(x)', 'U_3(x)', 'U_4(x)', 'Location', 'Best')
title('Chebyshev polynomials of the second kind')

Входные параметры

свернуть все

Степень полинома, заданного как неотрицательное целое число, символьная переменная, выражение или функция, или как вектор или матрица чисел, символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Точка оценки, заданная как номер, символьное число, переменная, выражение или функция, или как вектор или матрица чисел, символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Больше о

свернуть все

Полиномы Чебышева второго вида

  • Полиномы Чебышева второго вида определяются следующим образом:

    U(n,x)=sin((n+1)aпотому что(x))sin(aпотому что(x))

    Эти полиномы удовлетворяют формуле рекурсии

    U(0,x)=1,U(1,x)=2 x,U(n,x)=2 xU(n1,x)U(n2,x)

  • Полиномы Чебышева второго вида являются ортогональными на интервале-1 ≤ x ≤ 1 относительно функции веса w(x)=1x2.

    11U(n,x)U(m,x)1x2dx={0если nmπ2 если n=m.

  • Полиномы Чебышева второго вида являются особым случаем полиномов Якоби

    U(n,x)=22nn!(n+1)!(2n+1)!P(n,12,12,x)

    и полиномы Gegenbauer

    U(n,x)=G(n,1,x)

Советы

  • chebyshevU возвращает результаты с плавающей точкой для числовых аргументов, которые не являются символьными объектами.

  • chebyshevU действия, поэлементные на нескалярных входных параметрах.

  • По крайней мере один входной параметр должен быть скаляром, или оба аргумента должны быть векторами или матрицами, одного размера. Если один входной параметр является скаляром, и другой является вектором или матрицей, то chebyshevU расширяет скаляр в вектор или матрицу одного размера с другим аргументом со всеми элементами, равными тому скаляру.

Ссылки

[1] Hochstrasser, U. W. “Ортогональные Полиномы”. Руководство Математических функций с Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. (М. Абрамовиц и я. А. Стегун, редакторы). Нью-Йорк: Дувр, 1972.

Смотрите также

| | | | |

Введенный в R2014b

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте