gegenbauerC

Синтаксис

Описание

пример

gegenbauerC(n,a,x) представляет nth-степень Gegenbauer (ультрасферический) полином параметром a в точке x.

Примеры

Сначала четыре полинома Gegenbauer

Найдите первые четыре полинома Gegenbauer для параметра a и переменная x.

syms a x
gegenbauerC([0, 1, 2, 3], a, x)
ans =
[ 1, 2*a*x, (2*a^2 + 2*a)*x^2 - a,...
((4*a^3)/3 + 4*a^2 + (8*a)/3)*x^3 + (- 2*a^2 - 2*a)*x]

Полиномы Gegenbauer для числовых и символьных аргументов

В зависимости от его аргументов, gegenbauerC возвращает или точные символьные результаты с плавающей точкой.

Найдите значение пятой степени полиномом Gegenbauer для параметра a = 1/3 в этих точках. Поскольку эти числа не являются символьными объектами, gegenbauerC возвращает результаты с плавающей точкой.

gegenbauerC(5, 1/3, [1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4])
ans =
    0.1520    0.1911    0.1914    0.0672   -0.1483   -0.2188

Найдите значение пятой степени полиномом Gegenbauer для тех же чисел преобразованный в символьные объекты. Для символьных чисел, gegenbauerC возвращает точные символьные результаты.

gegenbauerC(5, 1/3, sym([1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4]))
ans =
[ 26929/177147, 4459/23328, 33908/177147, 49/729, -26264/177147, -7/32]

Оцените полиномы Чебышева с числами с плавающей запятой

Оценка с плавающей точкой полиномов Gegenbauer прямыми вызовами gegenbauerC численно устойчиво. Однако сначала вычисление полинома с помощью символьной переменной, и затем заменяя значениями переменной точности в это выражение может быть численно неустойчивым.

Найдите значение 500-й степени полиномом Gegenbauer для параметра 4 в 1/3 и vpa(1/3). Оценка с плавающей точкой численно устойчива.

gegenbauerC(500, 4, 1/3)
gegenbauerC(500, 4, vpa(1/3))
ans =
  -1.9161e+05
 
ans =
-191609.10250897532784888518393655

Теперь найдите символьный полиномиальный C500 = gegenbauerC(500, 4, x), и замените x = vpa(1/3) в результат. Этот подход численно неустойчив.

syms x
C500 = gegenbauerC(500, 4, x);
subs(C500, x, vpa(1/3))
ans =
-8.0178726380235741521208852037291e+35

Аппроксимируйте полиномиальные коэффициенты при помощи vpa, и затем замените x = sym(1/3) в результат. Этот подход также численно неустойчив.

subs(vpa(C500), x, sym(1/3))
ans =
-8.1125412405858470246887213923167e+36

Постройте полиномы Gegenbauer

Постройте первые пять полиномов Gegenbauer для параметра a = 3.

syms x y
fplot(gegenbauerC(0:4,3,x))
axis([-1 1 -10 10])
grid on

ylabel('G_n^3(x)')
title('Gegenbauer polynomials')
legend('G_0^3(x)', 'G_1^3(x)', 'G_2^3(x)', 'G_3^3(x)', 'G_4^3(x)',...
                                               'Location', 'Best')

Входные параметры

свернуть все

Степень полинома, заданного как неотрицательное целое число, символьная переменная, выражение или функция, или как вектор или матрица чисел, символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Параметр, заданный как неотрицательное целое число, символьная переменная, выражение или функция, или как вектор или матрица чисел, символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Точка оценки, заданная как номер, символьное число, переменная, выражение или функция, или как вектор или матрица чисел, символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Больше о

свернуть все

Полиномы Gegenbauer

  • Полиномы Gegenbauer заданы этой формулой рекурсии.

    G(0,a,x)=1,G(1,a,x)=2ax,G(n,a,x)=2x(n+a1)nG(n1,a,x)n+2a2nG(n2,a,x)

  • Для всего действительного a > -1/2, полиномы Gegenbauer являются ортогональными на интервале-1 ≤ x ≤ 1 относительно функции веса w(x)=(1x2)a12.

    11G(n,a,x)G(m,a,x)(1x2)a1/2dx={0если nmπ 212aΓ(n+2a)n!(n+a)(Γ(a))2 если n=m.

  • Полиномы Чебышева первых и вторых видов являются особым случаем полиномов Gegenbauer.

    T(n,x)=n2G(n,0,x)

    U(n,x)=G(n,1,x)

  • Полиномы лежандра являются также особым случаем полиномов Gegenbauer.

    P(n,x)=G(n,12,x)

Советы

  • gegenbauerC возвращает результаты с плавающей точкой для числовых аргументов, которые не являются символьными объектами.

  • gegenbauerC действия, поэлементные на нескалярных входных параметрах.

  • Все нескалярные аргументы должны иметь тот же размер. Если один или два входных параметра являются нескалярными, то gegenbauerC расширяет скаляры в векторы или матрицы одного размера с нескалярными аргументами, со всеми элементами, равными соответствующему скаляру.

Ссылки

[1] Hochstrasser, U. W. “Ортогональные Полиномы”. Руководство Математических функций с Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. (М. Абрамовиц и я. А. Стегун, редакторы). Нью-Йорк: Дувр, 1972.

Смотрите также

| | | | |

Введенный в R2014b

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте