quadprog

Квадратичное программирование

свернуть все на странице

Синтаксис

x = quadprog(H,f)

x = quadprog(H,f,A,b)

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

x = quadprog(problem)

[x,fval]
= quadprog(___)

[x,fval,exitflag,output]
= quadprog(___)

[x,fval,exitflag,output,lambda]
= quadprog(___)

Описание

Решатель для квадратичных целевых функций с линейными ограничениями.

quadprog находит минимум для проблемы заданным

$\min_{x} \frac{1}{2} x^{T} H x + f^{T} x таким образом , что {\begin{matrix} A \cdot x \leq b, \\ A e q \cdot x = b e q, \\ l b \leq x \leq u b . \end{matrix}$

H, A и Aeq являются матрицами, и f, b, beq, lb, ub, и x является векторами.

Можно передать f, lb и ub как векторы или матрицы; смотрите Матричные аргументы.

Примечание

quadprog применяется только к основанному на решателе подходу. Для обсуждения двух подходов оптимизации смотрите, Сначала Выбирают Problem-Based or Solver-Based Approach.

x = quadprog(H,f) возвращает векторный x это минимизирует 1/2*x'*H*x + f'*x. Вход H должен быть положителен определенный для проблемы иметь конечный минимум. Если H положителен определенный, затем решение x = H\(-f).

пример

x = quadprog(H,f,A,b) минимизирует 1/2*x'*H*x + f'*x подвергните ограничениям A*x ≤ b. Вход A матрица, удваивается, и b вектор, удваивается.

пример

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) решает предыдущую задачу, удовлетворяющую дополнительным ограничениям Aeq*x = beq. Aeq матрица, удваивается, и beq вектор, удваивается. Если никакие неравенства не существуют, устанавливают A = [] и b = [].

пример

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) решает предыдущую задачу, удовлетворяющую дополнительным ограничениям lb ≤ x ≤ ub. Входные параметры lb и ub векторы, удваивается, и ограничения содержат для каждого x компонент. Если никакие равенства не существуют, устанавливают Aeq = [] и beq = [].

Примечание

Если заданные входные границы для проблемы противоречивы, выход x x0 и выход fval [].

quadprog компоненты сброса x0 это нарушает границы lb ≤ x ≤ ub к внутренней части поля, заданного границами. quadprog не изменяет компоненты, которые уважают границы.

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) решает предыдущую задачу, начинающую с векторного x0. Если никакие границы не существуют, устанавливают lb = [] и ub = []. Некоторый quadprog алгоритмы игнорируют x0; смотрите x0.

Примечание

x0 обязательный аргумент для 'active-set' алгоритм.

пример

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) решает предыдущую задачу с помощью опций оптимизации, заданных в options. Используйте optimoptions создать options. Если вы не хотите давать начальную точку, установите x0 = [].

пример

x = quadprog(problem) возвращает минимум для problem, где problem структура, описанная в Описании. Создайте problem путем экспорта проблемы с помощью приложения Оптимизации; смотрите Экспорт Вашей работы. В качестве альтернативы создайте problem структура от OptimizationProblem объект при помощи prob2struct.

пример

[x,fval] = quadprog(___), для любых входных переменных, также возвращает fval, значение целевой функции при x:

fval = 0.5*x'*H*x + f'*x

пример

[x,fval,exitflag,output] = quadprog(___) также возвращает exitflag, целое число, которое описывает выходное условие quadprog, и output, структура, которая содержит информацию об оптимизации.

пример

[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(___) также возвращает lambda, структура, поля которой содержат множители Лагранжа в решении x.

Примеры

свернуть все

Квадратичная программа с линейными ограничениями

Попробовать в MATLAB

Найдите минимум

$f (x) = \frac{1}{2} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} - 2 x_{1} - 6 x_{2}$

удовлетворяющее ограничениям

$\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} \leq 2 \\ - x_{1} + 2 x_{2} \leq 2 \\ 2 x_{1} + x_{2} \leq 3 . \end{array}$

В quadprog синтаксис, эта проблема состоит в том, чтобы минимизировать

$f (x) = \frac{1}{2} x^{T} H x + f^{T} x$ ,

где

$\begin{array}{l} H = [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}] \\ f = [\begin{matrix} - 2 \\ - 6 \end{matrix}], \end{array}$

подвергните линейным ограничениям.

Чтобы решить эту задачу, сначала введите содействующие матрицы.

H = [1 -1; -1 2]; 
f = [-2; -6];
A = [1 1; -1 2; 2 1];
b = [2; 2; 3];

Вызовите quadprog.

[x,fval,exitflag,output,lambda] = ...
   quadprog(H,f,A,b);

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

Исследуйте конечную точку, значение функции и выходной флаг.

x,fval,exitflag

fval = -8.2222

exitflag = 1

Выходной флаг 1 означает, что результатом является локальный минимум. Поскольку H положительная определенная матрица, эта проблема выпукла, таким образом, минимум является глобальным минимумом.

Подтвердите тот H положителен определенный путем проверки его собственных значений.

eig(H)

ans = 2×1

    0.3820
    2.6180

Квадратичная программа с линейным ограничением равенства

Попробовать в MATLAB

Найдите минимум

$f (x) = \frac{1}{2} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} - 2 x_{1} - 6 x_{2}$

подвергните ограничению

$x_{1} + x_{2} = 0 .$

В quadprog синтаксис, эта проблема состоит в том, чтобы минимизировать

$f (x) = \frac{1}{2} x^{T} H x + f^{T} x$ ,

где

$\begin{array}{l} H = [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}] \\ f = [\begin{matrix} - 2 \\ - 6 \end{matrix}], \end{array}$

подвергните линейному ограничению.

Чтобы решить эту задачу, сначала введите содействующие матрицы.

H = [1 -1; -1 2]; 
f = [-2; -6];
Aeq = [1 1];
beq = 0;

Вызовите quadprog, ввод [] для входных параметров A и b.

[x,fval,exitflag,output,lambda] = ...
   quadprog(H,f,[],[],Aeq,beq);

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

Исследуйте конечную точку, значение функции и выходной флаг.

x,fval,exitflag

fval = -1.6000

exitflag = 1

Подтвердите тот H положителен определенный путем проверки его собственных значений.

eig(H)

ans = 2×1

    0.3820
    2.6180

Квадратичная минимизация с линейными ограничениями и границами

Попробовать в MATLAB

Найдите x, который минимизирует квадратичное выражение

$\frac{1}{2} x^{T} H x + f^{T} x$

где

$H = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 2 \\ 1 & - 2 & 4 \end{matrix}]$ , $f = [\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{matrix}]$ ,

удовлетворяющее ограничениям

$0 \leq x \leq 1$ , $\sum x = 1 / 2$ .

Чтобы решить эту задачу, сначала введите коэффициенты.

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [2;-3;1];
lb = zeros(3,1);
ub = ones(size(lb));
Aeq = ones(1,3);
beq = 1/2;

Вызовите quadprog, ввод [] для входных параметров A и b.

x = quadprog(H,f,[],[],Aeq,beq,lb,ub)

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

Квадратичная минимизация с опциями не по умолчанию

Попробовать в MATLAB

Установите опции контролировать прогресс quadprog.

options = optimoptions('quadprog','Display','iter');

Опишите задачу с квадратичные объективные и линейные ограничения неравенства.

H = [1 -1; -1 2]; 
f = [-2; -6];
A = [1 1; -1 2; 2 1];
b = [2; 2; 3];

Помочь записать quadprog вызов функции, набор ненужные входные параметры к [].

Aeq = [];
beq = [];
lb = [];
ub = [];
x0 = [];

Вызовите quadprog решать задачу.

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

 Iter            Fval  Primal Infeas    Dual Infeas  Complementarity  
    0   -8.884885e+00   3.214286e+00   1.071429e-01     1.000000e+00  
    1   -8.331868e+00   1.321041e-01   4.403472e-03     1.910489e-01  
    2   -8.212804e+00   1.676295e-03   5.587652e-05     1.009601e-02  
    3   -8.222204e+00   8.381476e-07   2.793826e-08     1.809485e-05  
    4   -8.222222e+00   3.064216e-14   1.352696e-12     7.525735e-13  

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

Квадратичная проблема от `prob2struct`

Попробовать в MATLAB

Создайте problem структура с помощью Основанного на проблеме Рабочего процесса Оптимизации. Создайте задачу оптимизации, эквивалентную Квадратичной Программе с Линейными Ограничениями.

x = optimvar('x',2);
objec = x(1)^2/2 + x(2)^2 - x(1)*x(2) - 2*x(1) - 6*x(2);
prob = optimproblem('Objective',objec);
prob.Constraints.cons1 = sum(x) <= 2;
prob.Constraints.cons2 = -x(1) + 2*x(2) <= 2;
prob.Constraints.cons3 = 2*x(1) + x(2) <= 3;

Преобразуйте prob к problem структура.

problem = prob2struct(prob);

Решите задачу с помощью quadprog.

[x,fval] = quadprog(problem)

Warning: Your Hessian is not symmetric. Resetting H=(H+H')/2.

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

fval = -8.2222

Возвратите `quadprog` Значение целевой функции

Попробовать в MATLAB

Решите квадратичную программу и возвратите и решение и значение целевой функции.

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [-7;-12;-15];
A = [1,1,1];
b = 3;
[x,fval] = quadprog(H,f,A,b)

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

fval = -47.1786

Проверяйте, что возвращенное значение целевой функции совпадает со значением, вычисленным из quadprog определение целевой функции.

fval2 = 1/2*x'*H*x + f'*x

fval2 = -47.1786

Исследуйте `quadprog` Процесс оптимизации

Попробовать в MATLAB

Видеть процесс оптимизации для quadprog, установите опции показывать итеративное отображение и возвращать четыре выходных параметра. Проблема состоит в том, чтобы минимизировать

$\frac{1}{2} x^{T} H x + f^{T} x$

при ограничениях

$0 \leq x \leq 1$ ,

где

$H = [\begin{matrix} 2 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & \frac{1}{2} \\ - 1 & \frac{1}{2} & 5 \end{matrix}]$ , $f = [\begin{matrix} 4 \\ - 7 \\ 12 \end{matrix}]$ .

Введите проблемные коэффициенты.

H = [2 1 -1
    1 3 1/2
    -1 1/2 5];
f = [4;-7;12];
lb = zeros(3,1);
ub = ones(3,1);

Установите опции отображать итеративный прогресс решателя.

options = optimoptions('quadprog','Display','iter');

Вызовите quadprog с четырьмя выходными параметрами.

[x fval,exitflag,output] = quadprog(H,f,[],[],[],[],lb,ub,[],options)

 Iter            Fval  Primal Infeas    Dual Infeas  Complementarity  
    0    2.691769e+01   1.582123e+00   1.712849e+01     1.680447e+00  
    1   -3.889430e+00   0.000000e+00   8.564246e-03     9.971731e-01  
    2   -5.451769e+00   0.000000e+00   4.282123e-06     2.710131e-02  
    3   -5.499997e+00   0.000000e+00   1.221903e-10     6.939689e-07  
    4   -5.500000e+00   0.000000e+00   5.842173e-14     3.469847e-10  

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

fval = -5.5000

exitflag = 1

output = struct with fields:
            message: '...'
          algorithm: 'interior-point-convex'
      firstorderopt: 1.5921e-09
    constrviolation: 0
         iterations: 4
       linearsolver: 'dense'
       cgiterations: []

Возвратите `quadprog` Множители Лагранжа

Попробовать в MATLAB

Решите задачу квадратичного программирования и возвратите множители Лагранжа.

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [-7;-12;-15];
A = [1,1,1];
b = 3;
lb = zeros(3,1);
[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[],[],lb);

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

Исследуйте структуру множителя Лагранжа lambda.

disp(lambda)

    ineqlin: 12.0000
      eqlin: [0x1 double]
      lower: [3x1 double]
      upper: [3x1 double]

Линейное ограничение неравенства имеет связанный множитель Лагранжа 12.

Отобразите множители, сопоставленные с нижней границей.

disp(lambda.lower)

    5.0000
    0.0000
    0.0000

Только первый компонент lambda.lower имеет ненулевой множитель. Это обычно означает что только первый компонент x в нижней границе нуля. Подтвердите путем отображения компонентов x.

disp(x)

    0.0000
    1.5000
    1.5000

Входные параметры

свернуть все

`H` — Квадратичный объективный термин
симметричная действительная матрица

Квадратичный объективный термин в виде симметричной действительной матрицы. H представляет квадратичное в выражении 1/2*x'*H*x + f'*x. Если H не симметрично, quadprog выдает предупреждение и использует симметрированную версию (H + H')/2 вместо этого.

Если квадратичный матричный H разреженно, затем по умолчанию, 'interior-point-convex' алгоритм использует немного отличающийся алгоритм чем тогда, когда H является плотным. Обычно разреженный алгоритм быстрее на больших, разреженных проблемах, и плотный алгоритм быстрее на плотных или небольших проблемах. Для получения дополнительной информации смотрите LinearSolver описание опции и выпуклый внутренней точкой quadprog Алгоритм.

Пример: [2,1;1,3]

Типы данных: double

`f` — Линейный объективный термин
вектор действительных чисел

Линейный объективный термин в виде вектора действительных чисел. f представляет линейный член в выражении 1/2*x'*H*x + f'*x.

Пример: [1;3;2]

Типы данных: double

`A` — Линейные ограничения неравенства
действительная матрица

Линейные ограничения неравенства в виде действительной матрицы. A M- N матрица, где M количество неравенств и N количество переменных (число элементов в x0). Для больших проблем передайте A как разреженная матрица.

A кодирует M линейные неравенства

A*x <= b,

где x вектор-столбец N переменные x(:), и b вектор-столбец с M элементы.

Например, чтобы задать

x ₁ + 2x2 ≤ 10
3x1 + 4x2 ≤ 20
5x1 + 6x2 ≤ 30,

введите эти ограничения:

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

Пример: Чтобы указать что x сумма компонентов к 1 или меньше, используйте A = ones(1,N) и b = 1.

Типы данных: double

`b` — Линейные ограничения неравенства
вектор действительных чисел

Линейные ограничения неравенства в виде вектора действительных чисел. b M- вектор элемента связан с A матрица. Если вы передаете b как вектор-строка, решатели внутренне преобразуют b к вектор-столбцу b(:). Для больших проблем передайте b как разреженный вектор.

b кодирует M линейные неравенства

A*x <= b,

где x вектор-столбец N переменные x(:), и A матрица размера M- N.

Например, чтобы задать

x ₁ + 2x2 ≤ 10
3x1 + 4x2 ≤ 20
5x1 + 6x2 ≤ 30,

введите эти ограничения:

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

Пример: Чтобы указать что x сумма компонентов к 1 или меньше, используйте A = ones(1,N) и b = 1.

Типы данных: double

`Aeq` — Линейные ограничения равенства
действительная матрица

Линейные ограничения равенства в виде действительной матрицы. Aeq Me- N матрица, где Me количество равенств и N количество переменных (число элементов в x0). Для больших проблем передайте Aeq как разреженная матрица.

Aeq кодирует Me линейные равенства

Aeq*x = beq,

где x вектор-столбец N переменные x(:), и beq вектор-столбец с Me элементы.

Например, чтобы задать

x ₁ + 2x2 + 3x3 = 10
2x1 + 4x2 + x ₃ = 20,

введите эти ограничения:

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

Пример: Чтобы указать что x сумма компонентов к 1, используйте Aeq = ones(1,N) и beq = 1.

Типы данных: double

`beq` — Линейные ограничения равенства
вектор действительных чисел

Линейные ограничения равенства в виде вектора действительных чисел. beq Me- вектор элемента связан с Aeq матрица. Если вы передаете beq как вектор-строка, решатели внутренне преобразуют beq к вектор-столбцу beq(:). Для больших проблем передайте beq как разреженный вектор.

beq кодирует Me линейные равенства

Aeq*x = beq,

где x вектор-столбец N переменные x(:), и Aeq матрица размера Me- N.

Например, чтобы задать

x ₁ + 2x2 + 3x3 = 10
2x1 + 4x2 + x ₃ = 20,

введите эти ограничения:

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

Пример: Чтобы указать что x сумма компонентов к 1, используйте Aeq = ones(1,N) и beq = 1.

Типы данных: double

`lb` — Нижние границы
вектор действительных чисел | действительный массив

Нижние границы в виде вектора действительных чисел или действительного массива. Если число элементов в x0 равно числу элементов в lb, затем lb задает это

x(i) >= lb(i) для всех i.

Если numel(lb) < numel(x0), затем lb задает это

x(i) >= lb(i) для 1 <= i <= numel(lb).

Если существует меньше элементов в lb чем в x0, решатели выдают предупреждение.

Пример: Чтобы указать, что все x компоненты положительны, используйте lb = zeros(size(x0)).

Типы данных: double

`ub` — Верхние границы
вектор действительных чисел | действительный массив

Верхние границы в виде вектора действительных чисел или действительного массива. Если число элементов в x0 равно числу элементов в ub, затем ub задает это

x(i) <= ub(i) для всех i.

Если numel(ub) < numel(x0), затем ub задает это

x(i) <= ub(i) для 1 <= i <= numel(ub).

Если существует меньше элементов в ub чем в x0, решатели выдают предупреждение.

Пример: Чтобы указать, что все x компоненты меньше 1, используйте ub = ones(size(x0)).

Типы данных: double

`x0` — Начальная точка
вектор действительных чисел

Начальная точка в виде вектора действительных чисел. Длина x0 количество строк или столбцы H.

x0 применяется к 'trust-region-reflective' алгоритм, когда проблема только связала ограничения. x0 также применяется к 'active-set' алгоритм.

Примечание

x0 обязательный аргумент для 'active-set' алгоритм.

Если вы не задаете x0, quadprog наборы все компоненты x0 к точке во внутренней части поля, заданного границами. quadprog игнорирует x0 для 'interior-point-convex' алгоритм и для 'trust-region-reflective' алгоритм с ограничениями равенства.

Пример: [1;2;1]

Типы данных: double

`options` — Опции оптимизации
выход `optimoptions` | структура, такая как `optimset` возвращается

Опции оптимизации в виде выхода optimoptions или структура, такая как optimset возвращается.

Некоторые опции отсутствуют в optimoptions отображение. Эти опции появляются курсивом в следующей таблице. Для получения дополнительной информации, Опции вида на море.

Все алгоритмы

`Algorithm`	Выберите алгоритм: `'interior-point-convex'` (значение по умолчанию) `'trust-region-reflective'` `'active-set'` `'interior-point-convex'` алгоритм решает только выпуклые проблемы. `'trust-region-reflective'` алгоритм решает проблемы только с границами или только линейными ограничениями равенства, но не обоими. `'active-set'` алгоритм решает неопределенные проблемы при условии, что проекция `H` на nullspace `Aeq` положителен полуопределенный. Для получения дополнительной информации смотрите Выбор Algorithm.
Диагностика	Отобразите диагностическую информацию о функции, которая будет минимизирована или решена. Выбором является `'on'` или `'off'` (значение по умолчанию).
`Display`	Level of display (см. Итеративное Отображение): `'off'` или `'none'` не отображает вывода. `'final'` отображения только окончательный результат (значение по умолчанию). `'interior-point-convex'` и `'active-set'` алгоритмы позволяют дополнительные значения: `'iter'` задает итеративное отображение. `'iter-detailed'` задает итеративное отображение с подробным выходным сообщением. `'final-detailed'` отображает только окончательный вывод с подробным выходным сообщением.
`MaxIterations`	Максимальное количество итераций позволено; положительное целое число. Для `'trust-region-reflective'` ограниченная равенством проблема, значением по умолчанию является `2(numberOfVariables – numberOfEqualities)`. `'active-set'` имеет значение по умолчанию `10(numberOfVariables + numberOfConstraints)`. Для всех других алгоритмов и проблем, значением по умолчанию является `200`. Для `optimset`, именем опции является `MaxIter`. См. текущие и устаревшие таблицы имени опции.
`OptimalityTolerance`	Допуск завершения на оптимальности первого порядка; положительная скалярная величина. Для `'trust-region-reflective'` ограниченная равенством проблема, значением по умолчанию является `1e-6`. Для `'trust-region-reflective'` связано ограниченная проблема, значением по умолчанию является `100*eps`, о `2.2204e-14`. Для `'interior-point-convex'` и `'active-set'` алгоритмы, значением по умолчанию является `1e-8`. Смотрите допуски и критерий остановки. Для `optimset`, именем опции является `TolFun`. См. текущие и устаревшие таблицы имени опции.
`StepTolerance`	Допуск завершения на `x`; положительная скалярная величина. Для `'trust-region-reflective'`, значением по умолчанию является `100*eps`, о `2.2204e-14`. Для `'interior-point-convex'`, значением по умолчанию является `1e-12`. Для `'active-set'`, значением по умолчанию является `1e-8`. Для `optimset`, именем опции является `TolX`. См. текущие и устаревшие таблицы имени опции.

'trust-region-reflective' Алгоритм только

`FunctionTolerance`	Допуск завершения на значении функции; положительная скалярная величина. Значение по умолчанию зависит от проблемного типа: связано ограниченные проблемы используют `100*eps`, и линейные ограниченные равенством проблемы используют `1e-6`. Смотрите допуски и критерий остановки. Для `optimset`, именем опции является `TolFun`. См. текущие и устаревшие таблицы имени опции.
`HessianMultiplyFcn`	Функция умножения Гессиана в виде указателя на функцию. Для крупномасштабных структурированных проблем эта функция вычисляет матричное произведение Гессиана `HY` на самом деле не формируя `H`. Функция имеет форму W = hmfun(Hinfo,Y) где `Hinfo` (и потенциально некоторые дополнительные параметры), содержат матрицы, использованные для расчета `HY`. Смотрите Квадратичную Минимизацию с Плотным, Структурированным Гессианом для примера, который использует эту опцию. Для `optimset`, именем опции является `HessMult`. См. текущие и устаревшие таблицы имени опции.
MaxPCGIter	Максимальное количество PCG (предобусловленный метод сопряженных градиентов) итерации; положительная скалярная величина. Значением по умолчанию является `max(1,floor(numberOfVariables/2))` для связано ограниченных проблем. Для ограниченных равенством проблем, `quadprog` игнорирует `MaxPCGIter` и использование `MaxIterations` ограничить количество итераций PCG. Для получения дополнительной информации смотрите Предобусловленный Метод сопряженных градиентов.
PrecondBandWidth	Верхняя пропускная способность предварительного формирователя для PCG; неотрицательное целое число. По умолчанию, `quadprog` диагональ использования, предварительно обусловливающая (верхняя пропускная способность `0`). Для некоторых проблем, увеличивая пропускную способность сокращает количество итераций PCG. Установка `PrecondBandWidth` к `Inf` использует прямую факторизацию (Холесский), а не методы сопряженных градиентов (CG). Прямая факторизация является в вычислительном отношении более дорогой, чем CG, но производит лучший качественный шаг к решению.
`SubproblemAlgorithm`	Определяет, как шаг итерации вычисляется. Значение по умолчанию, `'cg'`, делает более быстрый, но менее точный шаг, чем `'factorization'`. См. "доверительную область, отражающую" quadprog Алгоритм.
TolPCG	Допуск завершения на итерации PCG; положительная скалярная величина. Значением по умолчанию является `0.1`.
`TypicalX`	Типичный `x` значения. Число элементов в `TypicalX` равняется числу элементов в `x0`, начальная точка. Значением по умолчанию является `ones(numberOfVariables,1)`. `quadprog` использование `TypicalX` внутренне для масштабирования. `TypicalX` оказывает влияние только когда `x` имеет неограниченные компоненты, и когда `TypicalX` значение для неограниченного компонента превышает `1`.

'interior-point-convex' Алгоритм только

ConstraintTolerance

Допуск на нарушении ограничений; положительная скалярная величина. Значением по умолчанию является 1e-8.

Для optimset, именем опции является TolCon. См. текущие и устаревшие таблицы имени опции.

LinearSolver

Тип внутреннего линейного решателя в алгоритме:

'auto' (значение по умолчанию) — использует 'sparse' если H матрица разреженна и 'dense' в противном случае.
'sparse' — Используйте линейную алгебру для разреженных матриц. Смотрите Разреженные матрицы (MATLAB).
'dense' — Используйте плотную линейную алгебру.

'active-set' Алгоритм только

ConstraintTolerance

Допуск на нарушении ограничений; положительная скалярная величина. Значением по умолчанию является 1e-8.

Для optimset, именем опции является TolCon. См. текущие и устаревшие таблицы имени опции.

ObjectiveLimit

Допуск (останавливающий критерий), который является скаляром. Если значение целевой функции понижается ObjectiveLimit и текущая точка выполнима, останов итераций, потому что проблема неограниченна, по-видимому. Значением по умолчанию является -1e20.

`problem` — Структура задачи
структура

Структура задачи в виде структуры с этими полями:

`H`	Симметрическая матрица в `1/2x'H*x`
`f`	Вектор в линейном члене `f'*x`
`Aineq`	Матрица в линейных ограничениях неравенства `Aineq*x` ≤ `bineq`
`bineq`	Вектор в линейных ограничениях неравенства `Aineq*x` ≤ `bineq`
`Aeq`	Матрица в линейных ограничениях равенства `Aeq*x = beq`
`beq`	Вектор в линейных ограничениях равенства `Aeq*x = beq`
`lb`	Вектор нижних границ
`ub`	Вектор верхних границ
`x0`	Начальная точка для `x`
`solver`	`'quadprog'`
`options`	Опции, созданные с помощью `optimoptions` или приложение Оптимизации

Обязательными полями является HF, solver, и options. При решении, quadprog игнорирует любые поля в problem кроме перечисленных.

Типы данных: struct

Выходные аргументы

свернуть все

`x` Решение
вектор действительных чисел

Решение, возвращенное как вектор действительных чисел. x вектор, который минимизирует 1/2*x'*H*x + f'*x подвергните всем границам и линейным ограничениям. x может быть локальный минимум для невыпуклых проблем. Для выпуклых проблем, x глобальный минимум. Для получения дополнительной информации смотрите Локальный по сравнению с Глобальными оптимумами.

`fval` — Значение целевой функции в решении
действительный скаляр

Значение целевой функции в решении, возвращенном как действительный скаляр. fval значение 1/2*x'*H*x + f'*x в решении x.

`exitflag` — Обоснуйте `quadprog` остановленный
целое число

Обоснуйте quadprog остановленный, возвращенный как целое число, описанное в этой таблице.

Все алгоритмы
1	Функция сходилась к решению `x`.
0	Количество итераций превысило `options.MaxIterations`.
-2	Проблема неосуществима. Или, для `'interior-point-convex'`, размер шага был меньшим, чем `options.StepTolerance`, но ограничениям не удовлетворили.
-3	Проблема неограниченна.
`'interior-point-convex'` Алгоритм
2	Размер шага был меньшим, чем `options.StepTolerance`, ограничениям удовлетворили.
-6	Невыпуклая проблема обнаруживается.
-8	Не мог вычислить направление шага.
`'trust-region-reflective'` Алгоритм
4	Локальный минимум найден; минимум не уникален.
3	Изменение в значении целевой функции было меньшим, чем `options.FunctionTolerance`.
-4	Текущее поисковое направление не было направлением спуска. Никакие дальнейшие успехи не могли быть сделаны.
`'active-set'` Алгоритм
-6	Невыпуклая проблема обнаруживается; проекция `H` на nullspace `Aeq` не положителен полуопределенный.

Примечание

Иногда, 'active-set' алгоритм останавливается с выходным флагом 0 когда проблема, на самом деле, неограниченна. Установление более высокого предела итерации также приводит к выходному флагу 0.

`output` — Информация о процессе оптимизации
структура

Информация о процессе оптимизации, возвращенном как структура с этими полями:

`iterations`	Количество проделанных итераций
`algorithm`	Алгоритм оптимизации используется
`cgiterations`	Общее количество итераций PCG (`'trust-region-reflective'` только алгоритм)
`constrviolation`	Максимум ограничительных функций
`firstorderopt`	Мера оптимальности первого порядка
`linearsolver`	Тип внутреннего линейного решателя, `'dense'` или `'sparse'` (`'interior-point-convex'` только алгоритм)
`message`	Выходное сообщение

`lambda` — Множители Лагранжа в решении
структура

Множители Лагранжа в решении, возвращенном как структура с этими полями:

`lower`	Нижние границы `lb`
`upper`	Верхние границы `ub`
`ineqlin`	Линейные неравенства
`eqlin`	Линейные равенства

Для получения дополнительной информации смотрите Структуры множителя Лагранжа.

Алгоритмы

свернуть все

`'interior-point-convex'`

'interior-point-convex' алгоритм пытается следовать за путем, который является строго в ограничениях. Это использует предварительно решить модуль, чтобы удалить сокращение и упростить проблему путем решения для компонентов, которые являются прямыми.

Алгоритм имеет различные реализации для разреженной матрицы Гессиана H и для плотной матрицы. Обычно разреженная реализация быстрее на больших, разреженных проблемах, и плотная реализация быстрее на плотных или небольших проблемах. Для получения дополнительной информации см. выпуклый внутренней точкой quadprog Алгоритм.

`'trust-region-reflective'`

'trust-region-reflective' алгоритм является методом доверительной области подпространства на основе внутреннего отражающего метода Ньютона, описанного в [1]. Каждая итерация включает приближенное решение большой линейной системы с помощью метода предобусловленных методов сопряженных градиентов (PCG). Для получения дополнительной информации см. "доверительную область, отражающую" quadprog Алгоритм.

`'active-set'`

'active-set' алгоритм является методом проекции, похожим на тот, описанный в [2]. Алгоритм не является крупномасштабным; смотрите Крупномасштабный по сравнению с Алгоритмами Средней шкалы. Для получения дополнительной информации смотрите активный набор quadprog Алгоритм.

Альтернативная функциональность

Приложение

Можно использовать приложение Оптимизации в квадратичном программировании. Введите optimtool в командной строке MATLAB^®, и выбирают quadprog - Quadratic programming решатель. Для получения дополнительной информации см. Приложение Оптимизации.

Подход, основанный на проблеме

Можно решить задачи квадратичного программирования с помощью Основанного на проблеме Setup Оптимизации. Для примеров смотрите Квадратичное программирование.

Ссылки

[1] Коулман, T. F. и И. Ли. “Отражающий Метод Ньютона для Минимизации Квадратичной Функции Согласно Границам на Некоторых Переменных”. SIAM Journal на Оптимизации. Издание 6, Номер 4, 1996, стр 1040–1058.

[2] Жабры, P. E. В. Мюррей и М. Х. Райт. Практическая оптимизация. Лондон: Academic Press, 1981.

[3] Гулд, N. и П. Л. Тойнт. “Предварительно обрабатывая для квадратичного программирования”. Математическое программирование. Серии B, Издание 100, 2004, стр 95–132.

Документация

quadprog

Синтаксис

Описание

Примечание

Примечание

Примечание

Примеры

Квадратичная программа с линейными ограничениями

Квадратичная программа с линейным ограничением равенства

Квадратичная минимизация с линейными ограничениями и границами

Квадратичная минимизация с опциями не по умолчанию

Квадратичная проблема от prob2struct

Возвратите quadprog Значение целевой функции

Исследуйте quadprog Процесс оптимизации

Возвратите quadprog Множители Лагранжа

Входные параметры

H — Квадратичный объективный термин симметричная действительная матрица

f — Линейный объективный термин вектор действительных чисел

A — Линейные ограничения неравенства действительная матрица

b — Линейные ограничения неравенства вектор действительных чисел

Aeq — Линейные ограничения равенства действительная матрица

beq — Линейные ограничения равенства вектор действительных чисел

lb — Нижние границы вектор действительных чисел | действительный массив

ub — Верхние границы вектор действительных чисел | действительный массив

x0 — Начальная точка вектор действительных чисел

Примечание

options — Опции оптимизации выход optimoptions | структура, такая как optimset возвращается

problem — Структура задачи структура

Выходные аргументы

x Решение вектор действительных чисел

fval — Значение целевой функции в решении действительный скаляр

exitflag — Обоснуйте quadprog остановленный целое число

Примечание

output — Информация о процессе оптимизации структура

lambda — Множители Лагранжа в решении структура

Алгоритмы

'interior-point-convex'

'trust-region-reflective'

'active-set'

Альтернативная функциональность

Приложение

Подход, основанный на проблеме

Ссылки

Расширенные возможности

Генерация кода C/C++ Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.

Смотрите также

Темы

Представлено до R2006a

Документация Optimization Toolbox

Поддержка

Квадратичная проблема от `prob2struct`

Возвратите `quadprog` Значение целевой функции

Исследуйте `quadprog` Процесс оптимизации

Возвратите `quadprog` Множители Лагранжа

`H` — Квадратичный объективный термин
симметричная действительная матрица

`f` — Линейный объективный термин
вектор действительных чисел

`A` — Линейные ограничения неравенства
действительная матрица

`b` — Линейные ограничения неравенства
вектор действительных чисел

`Aeq` — Линейные ограничения равенства
действительная матрица

`beq` — Линейные ограничения равенства
вектор действительных чисел

`lb` — Нижние границы
вектор действительных чисел | действительный массив

`ub` — Верхние границы
вектор действительных чисел | действительный массив

`x0` — Начальная точка
вектор действительных чисел

`options` — Опции оптимизации
выход `optimoptions` | структура, такая как `optimset` возвращается

`problem` — Структура задачи
структура

`x` Решение
вектор действительных чисел

`fval` — Значение целевой функции в решении
действительный скаляр

`exitflag` — Обоснуйте `quadprog` остановленный
целое число

`output` — Информация о процессе оптимизации
структура

`lambda` — Множители Лагранжа в решении
структура

`'interior-point-convex'`

`'trust-region-reflective'`

`'active-set'`

Генерация кода C/C++
Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.