Типичные формы цикла, S и проект T

Считайте многомерную систему управления с обратной связью показанной в следующем рисунке. Для того, чтобы определить количество многомерных запасов устойчивости и производительности таких систем, можно использовать сингулярные значения матриц передаточной функции с обратной связью от r до каждых из этих трех выходных параметров e, u, и y, то есть.

S(s)=def(I+L(s))1R(s)=defK(s)(I+L(s))1T(s)=defL(s)(I+L(s))1=IS(s)

где L (s) является матрицей передаточной функции цикла

L(s)=G(s)K(s).(1)

Блок-схема многомерной системы управления с обратной связью

Эти две матрицы S (s) и T (s) известны как функцию чувствительности и дополнительную функцию чувствительности, соответственно. Матричный R (s) не имеет никакого общего названия. Диаграммы Боде сингулярного значения каждой из трех матриц передаточной функции S (s), R (s) и T (s) играют важную роль в устойчивом многомерном проекте системы управления. Сингулярные значения матрицы передаточной функции цикла, L (s) важен, потому что L (s) определяет матрицы S (s) и T (s).

Робастность в терминах сингулярных значений

Сингулярные значения S (j ω) определяют затухание воздействия, потому что S (s) является на самом деле передаточной функцией с обратной связью от воздействия, d, чтобы посадить выход y — видит Блок-схему Многомерной Системы Управления с обратной связью. Таким образом требования по производительности затухания воздействия могут быть записаны как

σ¯(S(jω))|W11(jω)|(2)

где |W11(jω)| желаемый фактор затухания воздействия. Разрешение |W1(jω)| чтобы зависеть от частоты, ω позволяет вам задать различный фактор затухания для каждой частоты ω.

Диаграммы Боде сингулярного значения R (s) и T (s) используются, чтобы измерить запасы устойчивости многомерных проектов обратной связи перед лицом аддитивных возмущений объекта ΔA и мультипликативные возмущения объекта ΔM, соответственно. Смотрите следующую фигуру.

Рассмотрите, как Диаграмма Боде сингулярного значения дополнительной чувствительности T (s) определяет запас устойчивости для мультипликативных возмущений ΔM. Мультипликативный запас устойчивости является, по определению, "размером" самого маленького устойчивого ΔM (s), который дестабилизирует систему в фигуре ниже когда ΔA = 0.

Аддитивная/Мультипликативная Неопределенность

Взятие σ¯(ΔM(jω)) чтобы быть определением "размера" ΔM (), у вас есть следующая полезная характеристика "мультипликативной" робастности устойчивости:

Мультипликативная робастность:

Размер наименьшей дестабилизирующей мультипликативной неопределенности ΔM (s):

σ¯(ΔM(jω))=1σ¯(T(jω)).

Меньшее σ¯(T(jω)), чем больше будет размер самого маленького дестабилизирующего мультипликативного возмущения, и следовательно, тем больше будет запас устойчивости.

Подобный результат доступен для связи запаса устойчивости перед лицом аддитивных возмущений объекта ΔA (s) к R (s), если вы берете σ¯(ΔA(jω)) быть определением "размера" ΔA () на частоте ω.

Аддитивная робастность:

Размер наименьшей дестабилизирующей аддитивной неопределенности ΔA:

σ¯(ΔA(jω))=1σ¯(R(jω)).

В результате теорем робастности 1 и 2, распространено задать запасы устойчивости систем управления через неравенства сингулярного значения такой как

σ¯(R{jω})|W21(jω)|(3)
σ¯(T{jω})|W31(jω)|(4)

где |W2 () | и |W3 () | являются соответствующими размерами крупнейших ожидаемых аддитивных и мультипликативных возмущений объекта.

Это - установившаяся практика, чтобы смешать эффекты всей неопределенности объекта в одно фиктивное мультипликативное возмущение ΔM, так, чтобы требования системы управления могли быть записаны

1σi(S(jω))|W1(jω)|;σ¯i(T[jω])|W31(jω)|

как показано в Технических требованиях Сингулярного значения на L, S, и T.

Интересно отметить это в верхней половине фигуры (выше линии на 0 дБ),

σ¯(L(jω))1σ¯(S(jω))

в то время как в более низкой половине Технических требований Сингулярного значения на L, S, и T (ниже линии на 0 дБ),

σ¯(L(jω))σ¯(T(jω)).

Это следует из факта это

S(s)=def(I+L(s))1L(s)1

если σ¯(L(s))1, и

T(s)=defL(s)(I+L(s))1L(s)

если σ¯(L(s))1.

Технические требования сингулярного значения на L, S, и T

Таким образом весьма распространено видеть технические требования на затухании воздействия и мультипликативном запасе устойчивости, выраженном непосредственно в терминах запретных областей для Диаграмм Боде σi (L ()) как "цикл сингулярного значения, формирующий" требования, или как заданные верхние / нижние границы или когда цель желала, чтобы форма цикла — видела предыдущую фигуру.

Гарантируемое Усиление/Запасы по фазе в Системах MIMO

Для тех, кто более доволен классическими одноконтурными концепциями, существуют важные связи между мультипликативными запасами устойчивости, предсказанными σ¯(T) и предсказанные классическими M-кругами, как найдено на графике Николса. Действительно в single-input/single-output случае,

σ¯(T(jω))=|L(jω)1+L(jω)|

который является точно количеством, вы получаете из M-кругов графика Николса. Таким образом, T многоконтурное обобщение резонансной пиковой величины с обратной связью, которая, как классические эксперты по управлению распознают, тесно связана с коэффициентом затухания доминирующих полюсов с обратной связью. Кроме того, оказывается, что можно иметь отношение T, S к классическому запасу по амплитуде GM и запас по фазе θM в каждой обратной связи многомерной системы с обратной связью Блок-схемы Многомерной Системы Управления с обратной связью через формулы:

GM1+1TGM1+111SθM2sin1(12T)θM2sin1(12T).

(См. [6].) Эти формулы допустимы обеспеченный S и T больше, чем 1, когда обычно имеет место. Поля применяются, даже когда возмущения усиления или возмущения фазы происходят одновременно в нескольких каналах обратной связи.

Нормы по бесконечности S и T также дают к допускам сокращения усиления. Допуск сокращения усиления gm задан, чтобы быть минимальной суммой, которой должны были бы быть уменьшены усиления в каждом цикле для того, чтобы дестабилизировать систему. Верхние границы на gm следующие:

gM11TgM11+1S.

Используя LOOPSYN, чтобы сделать формирование цикла H-бесконечности

Команда loopsyn позволяет вам спроектировать стабилизировавшийся контроллер обратной связи, чтобы оптимально сформировать частотную характеристику разомкнутого цикла системы управления с обратной связью MIMO, чтобы соответствовать максимально тесно, желаемый цикл формирует Gd. Базовый синтаксис loopsyn формирующая цикл команда синтеза контроллера:

K = loopsyn(G,Gd)

Здесь G матрица передаточной функции LTI модели объекта управления MIMO, Gd желаемая форма цикла цели для передаточной функции цикла L=G*K, и K оптимальный формирующий цикл контроллер. Контроллер LTI K имеет свойство, что оно формирует цикл L=G*K так, чтобы это совпадало с частотной характеристикой Gd максимально тесно согласно ограничению, что компенсатор должен стабилизировать модель объекта управления G.

Смотрите также

Похожие темы

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте