harmonic

Гармоническая функция (гармонический номер)

Синтаксис

harmonic(x)

Описание

harmonic(x) возвращает гармоническую функцию x. Для целочисленных значений x, harmonic(x) генерирует гармонические числа.

Примеры

Сгенерируйте гармонические числа

Сгенерируйте первые 10 гармонических чисел.

harmonic(sym(1:10))

ans =
[ 1, 3/2, 11/6, 25/12, 137/60, 49/20, 363/140, 761/280, 7129/2520, 7381/2520]

Гармоническая функция для числовых и символьных аргументов

Найдите гармоническую функцию для этих чисел. Поскольку это не символьные объекты, вы получаете результаты с плавающей точкой.

harmonic([2 i 13/3])

ans =
   1.5000 + 0.0000i   0.6719 + 1.0767i   2.1545 + 0.0000i

Найдите гармоническую функцию символически путем преобразования чисел в символьные объекты.

y = harmonic(sym([2 i 13/3]))

y =
[ 3/2, harmonic(1i), 8571/1820 - (pi*3^(1/2))/6 - (3*log(3))/2]

Если знаменатель x 2, 3, 4, или 6, и |x | <500, затем результат выражается в терминах pi и log.

Используйте vpa аппроксимировать полученные результаты.

vpa(y)

ans =
[ 1.5, 0.67186598552400983787839057280431...
 + 1.07667404746858117413405079475i,...
 2.1545225442213858782694336751358]

Для |x |> 1000, harmonic возвращает вызов функции как есть Использование vpa обеспечивать harmonic оценивать вызов функции.

harmonic(sym(1001))
vpa(harmonic(sym(1001)))

ans =
harmonic(1001)
ans =
7.4864698615493459116575172053329

Гармоническая функция для специальных значений

Найдите гармоническую функцию для специальных значений.

harmonic([0 1 -1 Inf -Inf])

ans =
     0     1   Inf   Inf   NaN

Гармоническая функция для символьных функций

Найдите гармоническую функцию для символьного функционального f.

syms f(x)
f(x) = exp(x) + tan(x);
y = harmonic(f)

y(x) =
harmonic(exp(x) + tan(x))

Гармоническая функция для символьных векторов и матриц

Найдите гармоническую функцию для элементов векторного V и матричный M.

syms x
V = [x sin(x) 3*i];
M = [exp(i*x) 2; -6 Inf];
harmonic(V)
harmonic(M)

ans =
[ harmonic(x), harmonic(sin(x)), harmonic(3i)]
ans =
[ harmonic(exp(x*1i)), 3/2]
[                Inf, Inf]

Постройте гармоническую функцию

Постройте гармоническую функцию от x =-5 к x = 5.

syms x
fplot(harmonic(x),[-5 5])
grid on

Дифференцируйте и найдите предел гармонической функции

Функции diff и limit обработайте выражения, содержащие harmonic.

Найдите вторую производную harmonic(x^2+1).

syms x
diff(harmonic(x^2+1),x,2)

ans =
2*psi(1, x^2 + 2) + 4*x^2*psi(2, x^2 + 2)

Найдите предел harmonic(x) как x стремится к ∞ и (x+1)*harmonic(x) как x стремится к-1.

syms x
limit(harmonic(x),Inf)
limit((x+1)*harmonic(x),-1)

ans =
Inf
ans =
-1

Расширение ряда Тейлора гармонической функции

Используйте taylor расширять гармоническую функцию в терминах Ряда Тейлора.

syms x
taylor(harmonic(x))

ans =
(pi^6*x^5)/945 - zeta(5)*x^4 + (pi^4*x^3)/90...
 - zeta(3)*x^2 + (pi^2*x)/6

Расширьте гармоническую функцию

Используйте expand расширять гармоническую функцию.

syms x
expand(harmonic(2*x+3))

ans =
harmonic(x + 1/2)/2 + log(2) + harmonic(x)/2 - 1/(2*(x + 1/2))...
 + 1/(2*x + 1) + 1/(2*x + 2) + 1/(2*x + 3)

Входные параметры

свернуть все

`x` входной параметр
номер | вектор | матрица | многомерный массив | символьная переменная | символьное выражение | символьная функция | символьный вектор | символьная матрица | символьный массив N-D

Введите в виде номера, вектора, матрицы, или как многомерный массив или символьная переменная, выражение, функция, вектор, матрица или многомерный массив.

Больше о

свернуть все

Гармоническая функция

Гармоническая функция для x задана как

$harmonic (x) = Σ_{k = 1}^{x} \frac{1}{k}$

Это также задано как

$harmonic (x) = Ψ (x + 1) + γ$

где Ψ (x) является полигамма функцией, и γ является постоянный Эйлер-Машерони.

Алгоритмы

Гармоническая функция задана для всех сложных аргументов z за исключением отрицательных целых чисел-1,-2... где сингулярность происходит.

Если x имеет знаменатель 1, 2, 3, 4, или 6, затем явный результат вычислен и возвращен. Для других рациональных чисел, harmonic использует функциональное уравнение $harmonic (x + 1) = harmonic (x) + \frac{1}{x}$ получить результат с аргументом x от интервала [0, 1].

expand расширяет harmonic использование уравнений $harmonic (x + 1) = harmonic (x) + \frac{1}{x}$ , $harmonic (- x) = harmonic (x) - \frac{1}{x} + π \cot (π x)$ , и формула умножения Гаусса для harmonic(kx), где k является целым числом.

harmonic реализует следующие явные формулы:

$harmonic (\frac{- 1}{2}) = - 2 \ln (2)$

$harmonic (- \frac{2}{3}) = - \frac{3}{2} \ln (3) - \frac{\sqrt{3}}{6} π$

$harmonic (- \frac{1}{3}) = - \frac{3}{2} \ln (3) + \frac{\sqrt{3}}{6} π$

$harmonic (\frac{- 3}{4}) = - 3 \ln (2) - \frac{π}{2}$

$harmonic (\frac{- 1}{4}) = - 3 \ln (2) + \frac{π}{2}$

$harmonic (\frac{- 5}{6}) = - 2 \ln (2) - \frac{3}{2} \ln (3) - \frac{\sqrt{3}}{2} π$

$harmonic (\frac{- 1}{6}) = - 2 \ln (2) - \frac{3}{2} \ln (3) + \frac{\sqrt{3}}{2} π$

$harmonic (0) = 0$

$harmonic (\frac{1}{2}) = 2 - 2 \ln (2)$

$harmonic (\frac{1}{3}) = 3 - \frac{3}{2} \ln (3) - \frac{\sqrt{3}}{6} π$

$harmonic (\frac{2}{3}) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \ln (3) + \frac{\sqrt{3}}{6} π$

$harmonic (\frac{1}{4}) = 4 - 3 \ln (2) - \frac{π}{2}$

$harmonic (\frac{3}{4}) = \frac{4}{3} - 3 \ln (2) + \frac{π}{2}$

$harmonic (\frac{1}{6}) = 6 - 2 \ln (2) - \frac{3}{2} \ln (3) - \frac{\sqrt{3}}{2} π$

$harmonic (\frac{5}{6}) = \frac{6}{5} - 2 \ln (2) - \frac{3}{2} \ln (3) + \frac{\sqrt{3}}{2} π$

$harmonic (1) = 1$

$harmonic (\infty) = \infty$

$harmonic (- \infty) = N a N$

Документация