Дисковое поле как область значений допустимых изменений усиления и фазы

Вычислите дисковые поля обратной связи SISO с ответом разомкнутого контура L.

L = tf(25,[1 10 10 10]);
DM = diskmargin(L);

Находящиеся на диске поля задают область значений "безопасного" усиления и изменений фазы, для которых обратная связь остается устойчивой. diskmarginplot команда позволяет вам визуализировать эту область значений как область в плоскости фазы усиления. Пока усиление и изменения фазы остаются в теневой области, система с обратной связью feedback(L,1) остается устойчивым.

diskmarginplot(DM.GainMargin)

diskmargin усиление моделей и изменения фазы как мультипликативный факторный F с комплексным знаком примененный номинальная передача цикла L. Набор F значения являются диском, пересечение которого с вещественной осью является интервалом DM.GainMargin. (См., что анализ устойчивости Использует дисковые поля.) diskmarginplot может также построить F диск.

diskmarginplot(DM.GainMargin,'disk')

diskmargin также вычисляет самое маленькое изменение, которое дестабилизирует обратную связь, возвращенную в поле DM.WorstPerturbation. Это изменение возвращено как модель в пространстве состояний, которая понимает усиление дестабилизации и изменение фазы. Когда вы умножаете L на это возмущение, получившаяся система с обратной связью имеет незатухающий полюс на частоте, возвращенной в DM.Frequency.

WC = DM.WorstPerturbation;
CL = feedback(L*WC,1);
damp(CL)

                                                                       
         Pole              Damping       Frequency      Time Constant  
                                       (rad/seconds)      (seconds)    
                                                                       
 -1.49e+00 + 7.93e-01i     8.83e-01       1.69e+00         6.70e-01    
 -1.49e+00 - 7.93e-01i     8.83e-01       1.69e+00         6.70e-01    
  1.11e-15 + 1.96e+00i    -5.68e-16       1.96e+00        -9.01e+14    
  1.11e-15 - 1.96e+00i    -5.68e-16       1.96e+00        -9.01e+14    
 -4.19e+00                 1.00e+00       4.19e+00         2.39e-01    
 -9.46e+00                 1.00e+00       9.46e+00         1.06e-01    

Проверьте, что усиление и изменение фазы возмущения дестабилизации отмечают граничную точку для области значений "безопасного" усиления и изменений фазы. Для этого вычислите усиление и фазу WC в DM.Frequency.

hWC = freqresp(WC,DM.Frequency);

GM = mag2db(abs(hWC))

GM = 1.7832

PM = 180/pi * abs(angle(hWC))

PM = 23.1695

diskmarginplot(DM.GainMargin)
line(GM,PM,'Color','k','Marker','+','MarkerSize',8,'LineWidth',3,'HandleVisibility','off')
text(GM+.1,PM+1,sprintf('Gain and phase of WC\n      at f = %.5g',DM.Frequency))

Интерпретация Найквиста

Оператор, что возмущение WC управляет нестабильной системой с обратной связью, эквивалентно высказыванию что годограф Найквиста L*WC касается критической точки на частоте DM.Frequency. (См., что Анализ Устойчивости Использует Дисковые Поля.) Следующий график показывает годографы Найквиста L и L*WC. Кресты на каждом графике отмечают ответ в DM.Frequency, и подтвердите что ответ L*WC –1 на этой частоте.

figure(2), clf
hL = freqresp(L,DM.Frequency);
nyquist(L,L*WC), title('Open-loop response')
legend('L','L*WC')
axis([-2 2 -2 2])
line(-1,0,'Color','r','Marker','+','MarkerSize',8,...
          'LineWidth',3,'HandleVisibility','off')
line(real(hL),imag(hL),'Color','k','Marker','+',...
          'MarkerSize',8,'LineWidth',3,'HandleVisibility','off')
text(real(hL)+0.05,imag(hL)-0.2,sprintf('f = %.5g',DM.Frequency))
line([real(hL) -1],[imag(hL) 0],'Color','k','LineStyle',':',...
          'LineWidth',2,'HandleVisibility','off')

Возмущение WC является динамическим, и его годограф Найквиста обнимает контур диска F значения. Точка контакта является частотой DM.Frequency где дисковое поле является самым слабым. Следующий график использует diskmarginplot представлять диск допустимого усиления и изменений фазы на плоскости Найквиста, накладывая ответ возмущения WC. Черный крест снова отмечает ответ в DM.Frequency.

hWC = freqresp(WC,DM.Frequency);

diskmarginplot(DM.GainMargin,'disk')
hold on
nyquist(WC)
hold off
axis([0.6 1.6 -0.6 0.6])
line(real(hWC),imag(hWC),'Color','k','Marker','+',...
   'MarkerSize',8,'LineWidth',3,'HandleVisibility','off')
text(real(hWC)+0.02,imag(hWC)-0.05,sprintf('f = %.5g',DM.Frequency))

Эквивалентно, эта частота состоит в том где годограф Найквиста L касается области исключения, сопоставленной с дисковыми полями DM. Следующий график показывает диск изменений с годографом Найквиста L. Черный крест отмечает ответ L в DM.Frequency.

diskmarginplot(DM.GainMargin,'nyquist')
hold on
nyquist(L)
hold off
axis([-2 0 -1 1])
line(real(hL),-imag(hL),'Color','k','Marker','+',...
        'MarkerSize',8,'LineWidth',3,'HandleVisibility','off')
text(real(hL)+0.05,-imag(hL)+0.05,sprintf('f = %.5g',DM.Frequency))

Таким образом, диск F представляет область в плоскости Найквиста что ответ L не может войти при сохранении устойчивости с обратной связью. В критической частоте DM.Frequency, частота, на которой запасы по амплитуде и фазе являются самыми маленькими, годограф Найквиста L только касается диска.