Аналитические выражения и обозначения, используемые в анализе BER

Эта тема покрывает аналитические выражения и обозначения для теоретического анализа, используемого в функциях BER (berawgn, bercoding, berconfint, berfadingberfit, bersync), приложение Bit Error Rate Analysis и тема Методов Bit Error Rate Analysis.

Общее обозначение

Эта таблица задает обозначения, используемые в аналитических выражениях в этой теме.

Описание Обозначение
Размер созвездия модуляции

M

Количество битов на символ

k=log2M

Энергия на отношение спектральной плотности степени бита к шуму

EbN0

Энергия на отношение спектральной плотности степени символа к шуму

EsN0=kEbN0

Частота ошибок по битам (BER)

Pb

Коэффициент ошибок символа (SER)

Ps

Действительная часть

Re[]

Пол, самое большое целое число, меньшее, чем значение, содержится в фигурных скобках

Эта таблица описывает термины, использованные для математических выражений в этой теме.

Функция Математическое выражение
Q функция

Q(x)=12πxexp(t2/2)dt

Marcum Q функция

Q(a,b)=btexp(t2+a22)I0(at)dt

Модифицированная функция Бесселя первого рода порядка ν

Iν(z)=k=0(z/2)υ+2kk!Γ(ν+k+1)

где

Γ(x)=0ettx1dt

гамма функция.

Вырожденная гипергеометрическая функция

F11(a,c;x)=k=0(a)k(c)kxkk!

где символ Pochhammer, (λ)k, задан как (λ)0=1, (λ)k=λ(λ+1)(λ+2)(λ+k1).

Эта таблица задает акронимы, используемые в этой теме.

Акроним Определение
M-PSKM-арное манипулирование сдвига фазы
DE-M-PSKДифференцированно закодированное M-арное манипулирование сдвига фазы
BPSKБинарное манипулирование сдвига фазы
DE-BPSKДифференцированно закодированное бинарное манипулирование сдвига фазы
QPSKЧетвертичное манипулирование сдвига фазы
DE-QPSKДифференцированно закодированное квадратурное манипулирование сдвига фазы
OQPSKВозместите квадратурное манипулирование сдвига фазы
DE-OQPSKДифференцированно закодированное квадратурное манипулирование сдвига фазы смещения
M-DPSKM-арное дифференциальное манипулирование сдвига фазы
M-PAMM-арная импульсная амплитудная модуляция
M-QAMM-арная квадратурная амплитудная модуляция
M-FSKM-арное манипулирование сдвига частоты
MSKМинимальное манипулирование сдвига
M-CPFSKM-арное манипулирование сдвига частоты непрерывной фазы

Аналитические выражения, используемые в berawgn Функция и приложение Bit Error Rate Analysis

Эти разделы покрывают основные аналитические выражения, используемые в berawgn функция и приложение Bit Error Rate Analysis.

M-PSK

От уравнения 8.22 в [2],

Ps=1π0(M1)π/Mexp(kEbN0sin2[π/M]sin2θ)dθ

Это выражение подобно, но не строго равно к точному BER (от [4] и уравнение 8.29 от [2]):

Pb=1k(i=1M/2(wi')Pi)

где wi'=wi+wMi, wM/2'=wM/2, wi вес Хэмминга битов, присвоенных символу i,

Pi=12π0π(1(2i1)/M)exp(kEbN0sin2[(2i1)π/M]sin2θ)dθ12π0π(1(2i+1)/M)exp(kEbN0sin2[(2i+1)π/M]sin2θ)dθ

Для M-PSK с M = 2, в частности BPSK, применяется это уравнение 5.2-57 от [1]:

Ps=Pb=Q(2EbN0)

Для M-PSK с M = 4, в частности QPSK, применяются эти уравнения 5.2-59 и 5.2-62 от [1]:

Ps=2Q(2EbN0)[112Q(2EbN0)]Pb=Q(2EbN0)

DE-M-PSK

Для DE-M-PSK с M = 2, в частности DE-BPSK, применяется это уравнение 8.36 от [2]:

Ps=Pb=2Q(2EbN0)2Q2(2EbN0)

Для DE-M-PSK с M = 4, в частности DE-QPSK, применяется это уравнение 8.38 от [2]:

Ps=4Q(2EbN0)8Q2(2EbN0)+8Q3(2EbN0)4Q4(2EbN0)

От уравнения 5 в [3],

Pb=2Q(2EbN0)[1Q(2EbN0)]

OQPSK

Для OQPSK используйте тот же BER и расчеты SER что касается QPSK в [2].

DE-OQPSK

Для OQPSK используйте тот же BER и расчеты SER что касается DE-QPSK в [3].

M-DPSK

Для M-DPSK применяется это уравнение 8.84 от [2]:

Ps=sin(π/M)2ππ/2π/2exp((kEb/N0)(1cos(π/M)cosθ))1cos(π/M)cosθdθ

Это выражение подобно, но не строго равно к точному BER (от [4]):

Pb=1k(i=1M/2(wi')Ai)

где wi'=wi+wMi, wM/2'=wM/2, wi вес Хэмминга битов, присвоенных символу i,

Ai=F((2i+1)πM)F((2i1)πM)F(ψ)=sinψ4ππ/2π/2exp(kEb/N0(1cosψcost))1cosψcostdt

Для M-DPSK с M = 2, применяется это уравнение 8.85 от [2]:

Pb=12exp(EbN0)

M-PAM

От уравнений 8.3 и 8.7 в [2] и уравнения 5.2-46 в [1],

Ps=2(M1M)Q(6M21kEbN0)

От [5],

Pb=2Mlog2M×k=1log2Mi=0(12k)M1{(1)i2k1M(2k1i2k1M+12)Q((2i+1)6log2MM21EbN0)}

M-QAM

Для квадратного M-QAM, k=log2M является четным, таким образом, уравнение 8.10 от [2] и уравнения 5.2-78 и 5.2-79 от [1] применяются:

Ps=4M1MQ(3M1kEbN0)4(M1M)2Q2(3M1kEbN0)

От [5],

Pb=2Mlog2M×k=1log2Mi=0(12k)M1{(1)i2k1M(2k1i2k1M+12)Q((2i+1)6log2M2(M1)EbN0)}

Для прямоугольного (неквадратного) M-QAM, k=log2M является нечетным, M=I×J, I=2k12, и J=2k+12. Так, чтобы,

Ps=4IJ2I2JM×Q(6log2(IJ)(I2+J22)EbN0)4M(1+IJIJ)Q2(6log2(IJ)(I2+J22)EbN0)

От [5],

Pb=1log2(IJ)(k=1log2IPI(k)+l=1log2JPJ(l))

где

PI(k)=2Ii=0(12k)I1{(1)i2k1I(2k1i2k1I+12)Q((2i+1)6log2(IJ)I2+J22EbN0)}

и

PJ(k)=2Jj=0(12l)J1{(1)j2l1J(2l1j2l1J+12)Q((2j+1)6log2(IJ)I2+J22EbN0)}

Ортогональный M-FSK с когерентным обнаружением

От уравнения 8.40 в [2] и уравнения 5.2-21 в [1],

Ps=1[Q(q2kEbN0)]M112πexp(q22)dqPb=2k12k1Ps

Неортогональный 2-FSK с когерентным обнаружением

Для M=2, уравнение 5.2-21 в [1] и уравнение 8.44 в [2] применяются:

Ps=Pb=Q(Eb(1Re[ρ])N0)

ρ комплексный коэффициент корреляции, такой что:

ρ=12Eb0Tbs˜1(t)s˜2*(t)dt

где s˜1(t) и s˜2(t) комплексные сигналы lowpass, и

Eb=120Tb|s˜1(t)|2dt=120Tb|s˜2(t)|2dt

Например, с

s˜1(t)=2EbTbej2πf1t, s˜2(t)=2EbTbej2πf2t

то

ρ=12Eb0Tb2EbTbej2πf1t2EbTbej2πf2tdt=1Tb0Tbej2π(f1f2)tdt=sin(πΔfTb)πΔfTbejπΔft

где Δf=f1f2.

От уравнения 8.44 в [2],

    Re[ρ]=Re[sin(πΔfTb)πΔfTbejπΔft]=sin(πΔfTb)πΔfTbcos(πΔfTb)=sin(2πΔfTb)2πΔfTbPb=Q(Eb(1sin(2πΔfTb)/(2πΔfTb))N0)

где h=ΔfTb.

Ортогональный M-FSK с некогерентным обнаружением

От уравнения 5.4-46 в [1] и уравнения 8.66 в [2],

Ps=m=1M1(1)m+1(M1m)1m+1exp[mm+1kEbN0]Pb=12MM1Ps

Неортогональный 2-FSK с некогерентным обнаружением

Для M=2, это уравнение 5.4-53 от [1] и это уравнение 8.69 от [2] применяются:

Ps=Pb=Q(a,b)12exp(a+b2)I0(ab)

где

a=Eb2N0(11|ρ|2), b=Eb2N0(1+1|ρ|2) 

Предварительно закодированный MSK с когерентным обнаружением

Используйте тот же BER и расчеты SER что касается BPSK.

Дифференцированно закодированный MSK с когерентным обнаружением

Используйте тот же BER и расчеты SER что касается DE-BPSK.

MSK с некогерентным обнаружением (оптимальный блок блоком)

Верхняя граница на коэффициенте ошибок от уравнений 10.166 и 10.164 в [6]),

Ps=Pb12[1Q(b1,a1)+Q(a1,b1)]+14[1Q(b4,a4)+Q(a4,b4)]+12eEbN0

где

a1=EbN0(134/π24),b1=EbN0(1+34/π24)a4=EbN0(114/π2),b4=EbN0(1+14/π2)

CPFSK когерентное обнаружение (оптимальный блок блоком)

Нижняя граница на коэффициенте ошибок (от уравнения 5.3-17 в [1])

Ps>KδminQ(EbN0δmin2)

Верхняя граница на коэффициенте ошибок

δmin2>min1iM1{2i(1sinc(2ih))}

где h является индексом модуляции, и Kδmin количество путей с минимальным расстоянием.

PbPsk

Аналитические выражения, используемые в berfading Функция и приложение Bit Error Rate Analysis

Этот раздел покрывает основные аналитические выражения, используемые в berfading функционируйте и приложение Bit Error Rate Analysis.

Обозначение

Эта таблица описывает дополнительные обозначения, используемые в аналитических выражениях в этом разделе.

Описание Обозначение
Степень исчезающего амплитудного rΩ=E[r2], где E[] обозначает статистическое ожидание
Количество ветвей разнообразия

L

Сигнал к Шумовому Отношению (ОСШ) на символ на ветвь

γ¯l=(ΩlEsN0)/L=(ΩlkEbN0)/L

Для тождественно распределенных ветвей разнообразия,

γ¯=(ΩkEbN0)/L

Производящие функции момента для каждой ветви разнообразия

Для Каналов с релеевским замиранием:

Mγl(s)=11sγ¯l

Для Rician исчезающие каналы:

Mγl(s)=1+K1+Ksγ¯le[Ksγ¯l(1+K)sγ¯l]

K является отношением энергии в зеркальном компоненте к энергии в рассеянном компоненте (линейная шкала).

Для тождественно распределенных ветвей разнообразия,Mγl(s)=Mγ(s) для всего l.

Эта таблица задает дополнительные акронимы, используемые в этом разделе.

Акроним Определение
MRCОбъединение максимального отношения
EGCОбъединение равного усиления

M-PSK с MRC

От уравнения 9.15 в [2],

Ps=1π0(M1)π/Ml=1LMγl(sin2(π/M)sin2θ)dθ

От [4] и [2],

Pb=1k(i=1M/2(wi')P¯i)

где wi'=wi+wMi, wM/2'=wM/2, wi вес Хэмминга битов, присвоенных символу i,

P¯i=12π0π(1(2i1)/M)l=1LMγl(1sin2θsin2(2i1)πM)dθ12π0π(1(2i+1)/M)l=1LMγl(1sin2θsin2(2i+1)πM)dθ

Для особого случая Релеевского замирания с M=2 (от уравнений C-18 и C-21 и Table C-1 в [6]),

Pb=12[1μi=0L1(2ii)(1μ24)i]

где

μ=γ¯γ¯+1

Если L=1то:

Pb=12[1γ¯γ¯+1]

DE-M-PSK с MRC

Для M=2 (от уравнений 8.37 и 9.8-9.11 в [2]),

Ps=Pb=2π0π/2l=1LMγl(1sin2θ)dθ2π0π/4l=1LMγl(1sin2θ)dθ

M-PAM с MRC

От уравнения 9.19 в [2],

Ps=2(M1)Mπ0π/2l=1LMγl(3/(M21)sin2θ)dθ

От [5] и [2],

Pb=2πMlog2M×k=1log2M i=0(12k)M1{(1)i2k1M(2k1i2k1M+12)0π/2l=1LMγl((2i+1)23/(M21)sin2θ)dθ}

M-QAM с MRC

Для квадратного M-QAM, k=log2M является четным (уравнение 9.21 в [2]),

Ps=4π(11M)0π/2l=1LMγl(3/(2(M1))sin2θ)dθ4π(11M)20π/4l=1LMγl(3/(2(M1))sin2θ)dθ

От [5] и [2]:

Pb=2πMlog2M×k=1log2M i=0(12k)M1{(1)i2k1M(2k1i2k1M+12)0π/2l=1LMγl((2i+1)23/(2(M1))sin2θ)dθ}

Для прямоугольного (неквадратного) M-QAM, k=log2M является нечетным, M=I×J, I=2k12, J=2k+12, γ¯l=Ωllog2(IJ)EbN0,

Ps=4IJ2I2JMπ0π/2l=1LMγl(3/(I2+J22)sin2θ)dθ4Mπ(1+IJIJ)0π/4l=1LMγl(3/(I2+J22)sin2θ)dθ

От [5] и [2],

Pb=1log2(IJ)(k=1log2IPI(k)+l=1log2JPJ(l))PI(k)=2Iπi=0(12k)I1{(1)i2k1I(2k1i2k1I+12)0π/2l=1LMγl((2i+1)23/(I2+J22)sin2θ)dθ}PJ(k)=2Jπj=0(12l)J1{(1)j2l1J(2l1j2l1J+12)0π/2l=1LMγl((2j+1)23/(I2+J22)sin2θ)dθ}

M-DPSK с постобнаружением EGC

От уравнения 8.165 в [2],

Ps=sin(π/M)2ππ/2π/21[1cos(π/M)cosθ]l=1LMγl([1cos(π/M)cosθ])dθ

От [4] и [2],

Pb=1k(i=1M/2(wi')A¯i)

где wi'=wi+wMi, wM/2'=wM/2, wi вес Хэмминга битов, присвоенных символу i,

A¯i=F¯((2i+1)πM)F¯((2i1)πM)F¯(ψ)=sinψ4ππ/2π/21(1cosψcost)l=1LMγl((1cosψcost))dt

Для особого случая Релеевского замирания с M=2 и L=1 (уравнение 8.173 от [2]),

Pb=12(1+γ¯)

Ортогональный 2-FSK, когерентное обнаружение с MRC

От уравнения 9.11 в [2],

Ps=Pb=1π0π/2l=1LMγl(1/2sin2θ)dθ

Для особого случая Релеевского замирания (уравнения 14.4-15 и 14.4-21 в [1]),

Ps=Pb=12L(1γ¯2+γ¯)Lk=0L1(L1+kk)12k(1+γ¯2+γ¯)k

Неортогональный 2-FSK, когерентное обнаружение с MRC

От уравнений 9.11 и 8.44 в [2],

Ps=Pb=1π0π/2l=1LMγl((1Re[ρ])/2sin2θ)dθ

Для особого случая Релеевского замирания с L=1 (уравнения 20 в [8] и 8.130 в [2]),

Ps=Pb=12[1γ¯(1Re[ρ])2+γ¯(1Re[ρ])]

Ортогональный M-FSK, некогерентное обнаружение с EGC

Для Релеевского замирания, от уравнения 14.4-47 в [1],

Ps=101(1+γ¯)L(L1)!UL1eU1+γ¯(1eUk=0L1Ukk!)M1dUPb=12MM1Ps

Для Rician, исчезающего от уравнения 41 в [8],

Ps=r=1M1(1)r+1eLKγ¯r/(1+γ¯r)(r(1+γ¯r)+1)L(M1r)n=0r(L1)βnrΓ(L+n)Γ(L)[1+γ¯rr+1+rγ¯r]nF11(L+n,L;LKγ¯r/(1+γ¯r)r(1+γ¯r)+1)Pb=12MM1Ps

где

γ¯r=11+Kγ¯βnr=i=n(L1)nβi(r1)(ni)!I[0,(r1)(L1)](i)β00=β0r=1βn1=1/n!β1r=r

и I[a,b](i)=1 если aib и 0 в противном случае.

Неортогональный 2-FSK, некогерентное обнаружение без разнообразия

От уравнения 8.163 в [2],

Ps=Pb=14πππ1ς21+2ςsinθ+ς2Mγ(14(1+1ρ2)(1+2ςsinθ+ς2))dθ

где

ς=11ρ21+1ρ2

Аналитические выражения, используемые в bercoding Функция и приложение Bit Error Rate Analysis

Этот раздел покрывает основные аналитические выражения, используемые в bercoding функционируйте и приложение Bit Error Rate Analysis.

Общее обозначение

Эта таблица описывает дополнительные обозначения, используемые в аналитических выражениях в этом разделе.

ОписаниеОбозначение
Отношение спектральной плотности степени бита к шуму энергии на информацию

γb=EbN0

Передайте длину

K

Разрядность кода

N

Уровень кода

Rc=KN

Блочное кодирование

В этом разделе описываются определенное обозначение для выражений блочного кодирования, где dmin минимальное расстояние кода.

Мягкое решение

Для BPSK, QPSK, OQPSK, 2-PAM, 4-QAM, и предварительно закодированного MSK, уравнения 8.1-52 в [1]), применяется,

Pb12(2K1)Q(2γbRcdmin)

Для DE-BPSK, DE-QPSK, DE-OQPSK и DE-MSK,

Pb12(2K1)[2Q(2γbRcdmin)[1Q(2γbRcdmin)]]

Для BFSK когерентное обнаружение уравнения 8.1-50 и 8.1-58 в [1] применяются,

Pb12(2K1)Q(γbRcdmin)

Для BFSK некогерентное квадратичное обнаружение уравнения 8.1-65 и 8.1-64 в [1] применяются,

Pb122K122dmin1exp(12γbRcdmin)i=0dmin1(12γbRcdmin)i1i!r=0dmin1i(2dmin1r)

Для DPSK,

Pb122K122dmin1exp(γbRcdmin)i=0dmin1(γbRcdmin)i1i!r=0dmin1i(2dmin1r)

Трудное решение

Для общего линейного блочного кода уравнения 4.3 и 4.4 в [9], и 12.136 в [6] применяются,

Pb1Nm=t+1N(m+t)(Nm)pm(1p)Nmt=12(dmin1)

Для Кода Хемминга применяются уравнения 4.11 и 4.12 в [9] и 6.72 и 6.73 в [7]

Pb1Nm=2Nm(Nm)pm(1p)Nm=pp(1p)N1

Для уровня (24,12) расширенный код Golay, применяются уравнения 4.17 в [9] и 12.139 в [6]:

Pb124m=424βm(24m)pm(1p)24m

где βm среднее количество ошибок символа канала, которые остаются в откорректированном N - формат кортежа, когда канал вызвал ошибки символа m (см. таблицу 4.2 в [9]).

Для кода Тростника-Solomon с N=Q1=2q1,

Pb2q12q11Nm=t+1Nm(Nm)(Ps)m(1Ps)Nm

Для FSK уравнения 4.25 и 4.27 в [9], 8.1-115 и 8.1-116 в [1], 8.7 и 8.8 в [7], и 12.142 и 12.143 в [6] применяются,

Pb1q1Nm=t+1Nm(Nm)(Ps)m(1Ps)Nm

в противном случае, если log2Q/log2M=q/k=h, где h является целым числом (уравнение 1 в [10]) применяется,

Ps=1(1s)h

где s является SER в незакодированном канале AWGN.

Например, для BPSK, M=2 и Ps=1(1s)q, в противном случае Ps дан таблицей 1 и уравнением 2 в [10].

Сверточное кодирование

В этом разделе описываются определенное обозначение для сверточных выражений кодирования, где dfree свободное расстояние кода, и ad количество путей расстояния d от все-нулевого пути, который объединяет со все-нулевым путем впервые.

Мягкое решение

От уравнений 8.2-26, 8.2-24, и 8.2-25 в [1] и 13.28 и 13.27 в [6] применяются,

Pb<d=dfreeadf(d)P2(d)

Передаточной функцией дают

T(D,N)=d=dfreeadDdNf(d)dT(D,N)dN|N=1=d=dfreeadf(d)Dd

где f(d) экспонента N в зависимости от d.

Это уравнение дает результаты для BPSK, QPSK, OQPSK, 2-PAM, 4-QAM, предварительно закодировал MSK, DE-BPSK, DE-QPSK, DE-OQPSK, DE-MSK, DPSK и BFSK:

P2(d)=Pb|EbN0=γbRcd

где Pb BER в соответствующем незакодированном канале AWGN. Например, для BPSK (уравнение 8.2-20 в [1]),

P2(d)=Q(2γbRcd)

Трудное решение

От уравнений 8.2-33, 8.2-28, и 8.2-29 в [1] и 13.28, 13.24, и 13.25 в [6] применяются,

Pb<d=dfreeadf(d)P2(d)

Когда d является нечетным,

P2(d)=k=(d+1)/2d(dk)pk(1p)dk

и когда d является четным,

P2(d)=k=d/2+1d(dk)pk(1p)dk+12(dd/2)pd/2(1p)d/2

где p является частотой ошибок по битам (BER) в незакодированном канале AWGN.

Аналитические выражения, используемые в bersync Функция и приложение Bit Error Rate Analysis

Этот раздел покрывает основные аналитические выражения, используемые в bersync функционируйте и приложение Bit Error Rate Analysis.

Ошибка временной синхронизации

Вычислить BER для системы связи с ошибкой временной синхронизации, bersync функционируйте использует эту формулу от [13]:

14πσexp(ξ22σ2)2R(12|ξ|)exp(x22)dxdξ+122π2Rexp(x22)dx

где σ является ошибкой синхронизации, и R является линейным значением E b/N0.

Ошибка временной синхронизации

Вычислить BER для системы связи с ошибкой синхронизации поставщика услуг, bersync функционируйте использует эту формулу от [13]:

1πσ0exp(ϕ22σ2)2Rcosϕexp(y22)dydϕ

где σ является ошибкой фазы, R является линейным значением E b/N0.

Смотрите также

Приложения

Функции

Похожие темы

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте