idare

Неявный решатель для алгебраических уравнений Риккати в дискретном времени

свернуть все на странице

Синтаксис

[X,K,L] = idare(A,B,Q,R,S,E)

[X,K,L,info] = idare(___)

[___] = idare(___,'noscaling')

[___] = idare(___,'anti')

Описание

пример

[X,K,L] = idare(A,B,Q,R,S,E) вычисляет уникальное решение для стабилизации X, усиление обратной связи состояния K, и собственные значения с обратной связью L из следующего алгебраического уравнения Риккати в дискретном времени.

$A^{T} X A - E^{T} X E - (A^{T} X B + S) {(B^{T} X B + R)}^{- 1} {(A^{T} X B + S)}^{T} + Q = 0$

Стабилизировавшееся решение X помещает все собственные значения L в единичном диске.

Алгебраические уравнения Riccati играют ключевую роль в управлении LQR/LQG, H2 - и управлении H-бесконечности, Кальман, фильтрующий и спектральные или взаимно-простые факторизации.

пример

[X,K,L,info] = idare(___) также возвращает структуру info который содержит дополнительную информацию о решении алгебраического уравнения Риккати в дискретном времени.

[___] = idare(___,'noscaling') выключает встроенное масштабирование и устанавливает все записи масштабирующихся векторов info.Sx и info.Sr к 1. Выключение масштабирования ускоряет расчет, но может быть вредно для точности когда A,B,Q,R,S,E плохо масштабируются.

пример

[___] = idare(___,'anti') вычисляет антистабилизировавшееся решение X это помещает все собственные значения L вне единичного диска.

Примеры

свернуть все

Решите алгебраическое уравнение Риккати в дискретном времени

Скрипт Open Live Script

В данном примере решите алгебраическое уравнение Риккати в дискретном времени, рассмотрев следующий набор матриц:

$A = [\begin{array}{cc} - 0.9 & - 3 \\ 0.7 & 0.1 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] Q = [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}] R = 0.1 .$

Найдите стабилизировавшееся решение с помощью idare решить для вышеупомянутых матриц со значениями по умолчанию для S и E.

A = [-0.9,-0.3;0.7,0.1];
B = [1;1];
Q = [1,0;0,3];
R = 0.1;
[X,K,L,info] = idare(A,B,Q,R,[],[])

X = 2×2

    4.7687    0.9438
    0.9438    3.2369

K = 1×2

   -0.2216   -0.1297

L = 2×1

   -0.4460
   -0.0027

info = struct with fields:
        Sx: [2x1 double]
        Sr: 1
         U: [2x2 double]
         V: [2x2 double]
         W: [-0.0232 0.0428]
    Report: 0

Здесь, X уникальное решение для стабилизации, K содержит усиление обратной связи состояния, L содержит собственные значения с обратной связью, в то время как info содержит дополнительную информацию о решении.

Антистабилизация решения алгебраического уравнения Риккати в дискретном времени

Скрипт Open Live Script

$A = [\begin{array}{cc} - 0.9 & - 3 \\ 0.7 & 0.1 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] Q = [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}] R = 0.1 .$

Найдите антистабилизировавшееся решение с помощью 'anti' опция, чтобы решить для вышеупомянутых матриц со значениями по умолчанию для S и E.

A = [-0.9,-0.3;0.7,0.1];
B = [1;1];
Q = [1,0;0,3];
R = 0.1;
[X,K,L] = idare(A,B,Q,R,[],[],'anti')

X = 2×2

   -0.5423    0.4996
    0.4996   -0.5569

K = 1×2

 -118.0177  490.9023

L = 2×1

 -371.4426
   -2.2420

Здесь, X уникальное решение антистабилизации, K содержит усиление обратной связи состояния и L содержит собственные значения с обратной связью.

Входные параметры

свернуть все

`A,B,Q,R,S,E` — Введите матрицы
матрицы

Введите матрицы в виде матриц.

Матрицы Q и R должно быть Эрмитовым. Квадратная матрица является Эрмитовой, если это равно своему комплексному сопряженному транспонированию, то есть, $a_{i, j} = {\bar{a}}_{j, i}$ .

Для получения дополнительной информации об Эрмитовых матрицах смотрите ishermitian.

Матричный E должно быть несингулярным.

Когда матрицы RS и E не использованы или установлены в [], idare использование следующие значения по умолчанию:

R = I
S = 0
E = I

Если входные параметры Q и R со скалярным знаком, idare интерпретирует их как множители единичной матрицы.

`'noscaling'` — Опция, чтобы выключить встроенное масштабирование
`'noscaling'`

Опция, чтобы выключить встроенное масштабирование в виде 'noscaling'. Когда вы выключаете встроенное масштабирование, idare наборы все записи в масштабирующихся векторах info.Sx и info.Sr к 1. Выключение масштабирования ускоряет расчет, но может быть вредно для точности когда A,B,Q,R,S,E плохо масштабируются.

`'anti'` — Опция, чтобы вычислить антистабилизировавшееся решение
`'anti'`

Опция, чтобы вычислить антистабилизировавшееся решение в виде 'anti'. Когда вы включаете эту опцию, idare вычисляет антистабилизировавшееся решение X это помещает все собственные значения (A-B*K,E) вне единичного диска.

Уникальная стабилизация и антистабилизация оба необходимы, чтобы знать полный портрет фазы дифференциальных уравнений Riccati.

Выходные аргументы

свернуть все

`X` — Уникальное решение уравнения Riccati
матрица

Уникальное решение алгебраического уравнения Риккати в дискретном времени, возвращенного как матрица.

По умолчанию, X стабилизировавшееся решение алгебраического уравнения Риккати в дискретном времени. Когда 'anti' опция используется, X антистабилизировавшееся решение.

idare возвращается для X когда нет никакого конечного решения для стабилизации.

`K` — Усиление обратной связи состояния
матрица

Усиление обратной связи состояния, возвращенное как матрица.

Усиление обратной связи состояния K вычисляется как:

$K = {(B^{T} X B + R)}^{- 1} (B^{T} X A + S^{T}) .$

idare возвращается для K когда нет никакого конечного решения для стабилизации.

`L` — Собственные значения с обратной связью
матрица

Собственные значения с обратной связью, возвращенные как матрица.

Собственные значения с обратной связью L вычисляется как:

$L = e i g (A - B K, E) .$

idare возвращается для X и K когда нет никакого конечного решения для стабилизации. L непусто даже когда X и K пустые матрицы.

`info` — Информация об уникальном решении
структура

Информация об уникальном решении, возвращенном как структура со следующими полями:

Sx — Вектор из значений раньше масштабировал состояния.
Sr — Вектор из значений раньше масштабировал R матрица.
UV и W — Векторы из значений, представляющих базис устойчивого инвариантного подпространства связанного масштабированного матричного карандаша. Для получения дополнительной информации см. Алгоритмы.
Report — Скаляр с одним из следующих значений:
- 0 — Уникальное решение точно.
- 1 — Точность решения плоха.
- 2 — Решение не конечно.
- 3 — Никакое решение не найдено начиная с Симплектического спектра, обозначенного [L;1./L], имеет собственные значения на модульном круге.

Ограничения

(A-zE,B) должно быть stabilizable, E и R должно быть обратимым, и [B;S;R] имейте полный ранг столбца для конечного решения для стабилизации X существовать и быть конечным. В то время как эти условия не достаточны в целом, они становятся достаточными, когда следующим условиям отвечают:
- $[\begin{matrix} \begin{matrix} Q \\ S^{T} \end{matrix} & \begin{matrix} S \\ R \end{matrix} \end{matrix}] \geq 0$
- $[\begin{matrix} A - B R^{- 1} S^{T} & Q - S R^{- 1} S^{T} \end{matrix}]$ обнаружимо

Алгоритмы

Basis of the invariant subspace

idare работает со следующим карандашом и вычисляет базис [U;V;W] из инвариантного подпространства, сопоставленного с устойчивыми или антиустойчивыми конечными собственными значениями этого карандаша.

$M - z N = [\begin{matrix} A & 0 & B \\ - Q & E^{T} & - S \\ S^{T} & 0 & R \end{matrix}] - z [\begin{matrix} E & 0 & 0 \\ 0 & A^{T} & 0 \\ 0 & - B^{T} & 0 \end{matrix}]$

Данные автоматически масштабируются, чтобы уменьшать чувствительность собственных значений около модульного круга и разделения увеличения между устойчивыми и антиустойчивыми инвариантными подпространствами.

Relationship between the solution, the state-feedback gain, and the scaling vectors

Решение X и обратная связь состояния получает K связаны с масштабирующимися векторами и U,V,W следующей системой уравнений:

$\begin{array}{l} X = D_{x} V U^{- 1} D_{x} E^{- 1}, \\ K = - D_{r} {ВУ}^{- 1} D_{x}, \end{array}$

где,

$\begin{array}{l} D_{x} = diag (S_{x}), \\ D_{r} = diag (S_{r}) . \end{array}$

Смотрите также

Введенный в R2019a

Документация

idare

Синтаксис

Описание

Примеры

Решите алгебраическое уравнение Риккати в дискретном времени

Антистабилизация решения алгебраического уравнения Риккати в дискретном времени

Входные параметры

`A,B,Q,R,S,E` — Введите матрицы
матрицы

`'noscaling'` — Опция, чтобы выключить встроенное масштабирование
`'noscaling'`

`'anti'` — Опция, чтобы вычислить антистабилизировавшееся решение
`'anti'`

Выходные аргументы

`X` — Уникальное решение уравнения Riccati
матрица

`K` — Усиление обратной связи состояния
матрица

`L` — Собственные значения с обратной связью
матрица

`info` — Информация об уникальном решении
структура

Ограничения

Алгоритмы

Смотрите также

Документация Control System Toolbox

Поддержка

Документация

idare

Синтаксис

Описание

Примеры

Решите алгебраическое уравнение Риккати в дискретном времени

Антистабилизация решения алгебраического уравнения Риккати в дискретном времени

Входные параметры

A,B,Q,R,S,E — Введите матрицы матрицы

'noscaling' — Опция, чтобы выключить встроенное масштабирование 'noscaling'

'anti' — Опция, чтобы вычислить антистабилизировавшееся решение 'anti'

Выходные аргументы

X — Уникальное решение уравнения Riccati матрица

K — Усиление обратной связи состояния матрица

L — Собственные значения с обратной связью матрица

info — Информация об уникальном решении структура

Ограничения

Алгоритмы

Смотрите также

Документация Control System Toolbox

Поддержка

`A,B,Q,R,S,E` — Введите матрицы
матрицы

`'noscaling'` — Опция, чтобы выключить встроенное масштабирование
`'noscaling'`

`'anti'` — Опция, чтобы вычислить антистабилизировавшееся решение
`'anti'`

`X` — Уникальное решение уравнения Riccati
матрица

`K` — Усиление обратной связи состояния
матрица

`L` — Собственные значения с обратной связью
матрица

`info` — Информация об уникальном решении
структура