Предположим, что скрытый процесс является моделью AR (1). Уравнение состояния

где $$u_t$$ является Гауссовым со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.

Сгенерируйте случайную последовательность 100 наблюдений от $$x_t$$, предположение, что ряд запускается в 1,5.

T = 100;
ARMdl = arima('AR',0.5,'Constant',0,'Variance',1);
x0 = 1.5;
rng(1); % For reproducibility
x = simulate(ARMdl,T,'Y0',x0);

Предположим далее, что скрытый процесс подвергается аддитивной погрешности измерения. Уравнение наблюдения

где $${\epsilon }_t$$ является Гауссовым со средним значением 0 и стандартным отклонением 0.75. Вместе, скрытые уравнения процесса и наблюдения составляют модель в пространстве состояний.

Используйте случайный скрытый процесс состояния (x) и уравнение наблюдения, чтобы сгенерировать наблюдения.

y = x + 0.75*randn(T,1);

Задайте четыре содействующих матрицы.

A = 0.5;
B = 1;
C = 1;
D = 0.75;

Задайте модель в пространстве состояний с помощью содействующих матриц.

Mdl = ssm(A,B,C,D)

Mdl = 
State-space model type: ssm

State vector length: 1
Observation vector length: 1
State disturbance vector length: 1
Observation innovation vector length: 1
Sample size supported by model: Unlimited

State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...

State equation:
x1(t) = (0.50)x1(t-1) + u1(t)

Observation equation:
y1(t) = x1(t) + (0.75)e1(t)

Initial state distribution:

Initial state means
 x1 
  0 

Initial state covariance matrix
     x1   
 x1  1.33 

State types
     x1     
 Stationary 

Mdl ssm модель. Проверьте, что модель правильно задана с помощью отображения в Командном окне. Программное обеспечение выводит, что процесс состояния является стационарным. Впоследствии, программное обеспечение устанавливает среднее значение начального состояния и ковариацию к среднему значению и отклонению стационарного распределения модели AR (1).

Симулируйте один путь каждое из состояний и наблюдений. Укажите, что пути охватывают 100 периодов.

simX = simsmooth(Mdl,y);

simX 100 1 вектор из симулированных состояний.

Постройте истинные значения состояния с симулированными состояниями.

figure;
plot(1:T,x,'-k',1:T,simX,':r','LineWidth',2);
title 'True State Values and Simulated States';
xlabel 'Period';
ylabel 'State';
legend({'True state values','Simulated state values'});

По умолчанию, simulate симулирует один путь для каждого состояния в модели в пространстве состояний. Чтобы провести исследование Монте-Карло, задайте, чтобы симулировать большое количество путей с помощью 'NumPaths' аргумент пары "имя-значение".

simsmooth функция чертит случайные выборки от распределения сглаживавших состояний или распределения состояния, учитывая все данные и параметры. Это - определение апостериорного распределения состояния. Предположим, что скрытый процесс является AR (1). Уравнение состояния

где $$u_t$$ является Гауссовым со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.

Сгенерируйте случайную последовательность 100 наблюдений от $$x_t$$, предположение, что ряд запускается в 1,5.

T = 100;
ARMdl = arima('AR',0.5,'Constant',0,'Variance',1);
x0 = 1.5;
rng(1); % For reproducibility
x = simulate(ARMdl,T,'Y0',x0);

Предположим далее, что скрытый процесс подвергается аддитивной погрешности измерения. Уравнение наблюдения

где $${\epsilon }_t$$ является Гауссовым со средним значением 0 и стандартным отклонением 0.75. Вместе, скрытые уравнения процесса и наблюдения составляют модель в пространстве состояний.

Используйте случайный скрытый процесс состояния (x) и уравнение наблюдения, чтобы сгенерировать наблюдения.

y = x + 0.75*randn(T,1);

Задайте четыре содействующих матрицы.

A = 0.5;
B = 1;
C = 1;
D = 0.75;

Задайте модель в пространстве состояний с помощью содействующих матриц.

Mdl = ssm(A,B,C,D);

Сглаживайте состояния модели в пространстве состояний.

xsmooth = smooth(Mdl,y);

Чертите 1 000 путей от апостериорного распределения $$x_1$$.

N = 1000;
SimX = simsmooth(Mdl,y,'NumPaths',N);

SimX 100- 1- 1000 массив. Строки соответствуют периодам, столбцы соответствуют отдельным государствам, и листы соответствуют отдельным путям.

Поскольку SimX имеет одноэлементную размерность, сверните ее так, чтобы ее листы соответствовали столбцам с помощью squeeze.

SimX = squeeze(SimX);

Вычислите среднее значение, стандартное отклонение, и 95% доверительных интервалов состояния в каждый период.

xbar = mean(SimX,2);
xstd = std(SimX,[],2);
ci = [xbar - 1.96*xstd, xbar + 1.96*xstd];

Постройте сглаживавшие состояния и средние значения и 95% доверительных интервалов ничьих в каждый период.

figure;
plot(xsmooth,'k','LineWidth',2);
hold on;
plot(xbar,'--r','LineWidth',2);
plot(1:T,ci(:,1),'--r',1:T,ci(:,2),'--r');
legend('Smoothed states','Simulation Mean','95% CIs');
title('Smooth States and Simulation Statistics');
xlabel('Period')