Программное обеспечение System Identification Toolbox™ оценивает параметры модели путем минимизации ошибки между выходом модели и измеренным откликом. Эта ошибка, названная loss function или cost function, является положительной функцией ошибок предсказания e (t). В общем случае эта функция является взвешенной суммой квадратов ошибок. Для модели с ny - выходные параметры, функция потерь V (θ) имеет следующую общую форму:
где:
N является количеством выборок данных.
e (t, θ) является ny-by-1 вектор ошибок в установленный срок t, параметрированный вектором параметра θ.
W (θ) является матрицей взвешивания в виде положительной полуопределенной матрицы. Если W является диагональной матрицей, можно думать о нем как о способе управлять относительной важностью выходных параметров во время мультивыходных оценок. Когда W является фиксированным или известным весом, он не зависит от θ.
Программное обеспечение определяет значения параметров путем минимизации V (θ) относительно θ.
Для письменного удобства V (θ) описывается в его матричной форме:
E (θ) является ошибочной матрицей размера N-by-ny. i:th строка E (θ) представляет ошибочное значение во время t = i.
Точная форма V (θ) зависит от следующих факторов:
Можно сконфигурировать функцию потерь для потребностей приложения. Следующие опции оценки, когда доступно для средства оценки, конфигурируют функцию потерь:
Опция оценки | Описание | Примечания |
---|---|---|
|
Примечание Для моделей, шумовой компонент которых тривиален, (H (q) = 1), e p (t) и e s (t) эквивалентен.
| |
|
Когда вы задаете фильтр взвешивания, предварительно отфильтрованная ошибка предсказания или симуляции минимизирована:
где линейный фильтр. |
|
|
Когда |
|
|
|
|
|
где:
Ошибка v (t, θ) задан как:
|
|
|
Функция потерь настраивается с целью минимизации ошибок предсказания. Это не включает определенные ограничения на отклонение (мера надежности) предполагаемых параметров. Это может иногда приводить к моделям с большой неопределенностью в предполагаемых параметрах модели, особенно когда модель имеет много параметров.
Второй срок является взвешенным (R) и масштабируемое (λ) отклонение предполагаемого набора параметров θ о его номинальной стоимости θ*. |
|
Focus
и WeightingFilter
Опции на функции потерьFocus
опция может быть интерпретирована, когда взвешивание просачивается функция потерь. WeightingFilter
опция является дополнительным пользовательским фильтром взвешивания, который применяется к функции потерь.
Изучать эффект Focus
и WeightingFilter
, считайте линейный одно вход моделью одно выхода:
Где G (q, θ) является измеренной передаточной функцией, H (q, θ) является шумовой моделью, и e (t) представляет аддитивные воздействия, смоделированные как белый Гауссов шум. q является оператором сдвига времени.
В частотном диапазоне линейная модель может быть представлена как:
где Y (ω), U (ω) и E (ω) является преобразованиями Фурье выхода, входа и ошибки на выходе, соответственно. G (ω, θ) и H (ω, θ) представляет частотную характеристику ввода - вывода и шумовых передаточных функций, соответственно.
Функцией потерь, которая будет минимизирована для модели SISO, дают:
Используя Идентичность Парсевэла, функция потерь в частотном диапазоне:
Заменение E (ω) дает:
Таким образом можно интерпретировать минимизацию функции потерь V как подходящий G (θ, ω) к эмпирической передаточной функции , использование как фильтр взвешивания. Это соответствует определению Focus
как 'prediction'
. Оценка подчеркивает частоты, где введенный имеет больше силы ( больше), и преуменьшает роль частот, где шум является значительным ( является большим).
Когда Focus
задан как 'simulation'
, обратное взвешивание с не используется. Таким образом, только входной спектр используется, чтобы весить, относительная важность оценки помещаются в определенный частотный диапазон.
Когда вы задаете линейный фильтр как WeightingFilter
, это используется в качестве дополнительного пользовательского взвешивания в функции потерь.
Здесь частотная характеристика фильтра. Использование улучшать припадок ответа модели на наблюдаемые данные в определенных частотах, например, подчеркнуть подгонку близко к системе резонансные частоты.
Ориентировочная стоимость передаточной функции ввода - вывода, G совпадает с тем, с чем вы добираетесь если вы вместо этого первый предварительный фильтр данные об оценке использование idfilt
, и затем оцените модель, не задавая WeightingFilter
. Однако эффект на предполагаемой шумовой модели H зависит от выбора Focus
:
Focus
'prediction'
— Программное обеспечение минимизирует взвешенную ошибку предсказания , и предполагаемая модель имеет форму:
Где . Таким образом оценка с особым вниманием предсказания создает смещенную оценку H. Это - та же предполагаемая шумовая модель, с которой вы добираетесь если вы вместо этого первый предварительный фильтр данные об оценке использование idfilt
, и затем оцените модель.
Когда H параметрируется независимый от G, можно обработать фильтр как способ влиять на оценку смещают распределение. Таким образом, можно сформировать компромисс между подбором кривой G к системной частотной характеристике и подбором кривой к спектру воздействия при минимизации функции потерь. Для получения дополнительной информации смотрите, разделите 14.4 в System Identification: Теория для Пользователя, Второго Выпуска, Lennart Ljung, PTR Prentice Hall, 1999.
Focus
'simulation'
— Программное обеспечение сначала оценивает G путем минимизации взвешенной ошибки симуляции , где . Если G оценивается, программные исправления это и вычисляет H путем минимизации чистых ошибок предсказания e (t) с помощью неотфильтрованных данных. Предполагаемая модель имеет форму:
Если вы предварительный фильтр, данные сначала, и затем оценивают модель, вы получаете ту же оценку для G, но получаете смещенную шумовую модель .
Таким образом, WeightingFilter
оказывает то же влияние как предварительная фильтрация данных об оценке для оценки G. Для оценки H, эффекта WeightingFilter
зависит от выбора Focus
. Особое внимание предсказания оценивает смещенную версию шумовой модели , в то время как особое внимание симуляции оценивает H. Предварительная фильтрация данных об оценке, и затем оценка модели всегда дают как шумовая модель.
После того, как вы оцените модель, используйте метрики качества модели, чтобы оценить качество идентифицированных моделей, сравнить различные модели и выбрать лучшую. Report.Fit
свойство идентифицированной модели хранит различные метрики, такие как FitPercent
, LossFcn
, FPE
, MSE
, AIC
, nAIC
, AICc
, и BIC
значения.
FitPercent
, LossFcn
, и MSE
меры фактического количества, которое минимизировано во время оценки. Например, если Focus
'simulation'
, эти количества вычисляются для ошибки симуляции e s (t). Точно так же, если вы задаете WeightingFilter
опция, затем LossFcn
, FPE
, и MSE
вычисляются с помощью отфильтрованных остаточных значений e f (t).
FPE
, AIC
, nAIC
, AICc
, и BIC
меры вычисляются как свойства выходного воздействия согласно отношению:
G (q) и H (q) представляет измеренные и шумовые компоненты предполагаемой модели.
Независимо от того, как функция потерь сконфигурирована, вектор ошибок, e (t) вычисляется как 1 шаг вперед ошибка предсказания данная модель и данный набор данных. Это подразумевает, что, даже когда модель получена путем минимизации ошибки симуляции, e s (t), FPE и различные значения AIC все еще вычисляется с помощью ошибки предсказания e p (t). Фактическое значение e p (t) определяется с помощью pe
команда с горизонтом предсказания 1 и использование начальных условий задана для оценки.
Эти метрики содержат два условия — один для описания точности модели и другого, чтобы описать ее сложность. Например, в FPE, описывает точность модели и описывает сложность модели.
Путем сравнения моделей с помощью этих критериев можно выбрать модель, которая дает лучшее (наименьшее значение критерия) компромисс между точностью и сложностью.
Метрика качества | Описание |
---|---|
|
Нормированная среднеквадратическая ошибка (NRMSE), описанная как процент, заданный как:
где:
|
|
Значение функции потерь, когда оценка завершается. Это содержит эффекты порогов ошибок, выходного веса и регуляризации, используемой для оценки. |
|
Мера по Среднеквадратической ошибке, заданная как:
где:
|
|
Итоговая ошибка предсказания (FPE) Акэйка, заданная как:
где:
|
|
Необработанная мера информационного Критерия Акэйка, заданного как:
|
|
Маленький объем выборки откорректировал информационный Критерий Акэйка, заданный как:
Эта метрика часто более надежна для выбора модели оптимальной сложности из списка моделей кандидата, когда размер данных N мал. |
|
Нормированная мера информационного Критерия Акэйка, заданного как:
|
|
Байесов информационный Критерий, заданный как:
|
aic
| fpe
| goodnessOfFit
| nparams
| pe
| predict
| sim