Разложение неопределенных объектов

Каждая неопределенная модель или матрица (такой как uss, genss, ufrd, или umat) обобщенная связь обратной связи (lft) из не - неопределенный объект (например, double, ss, frd) с диагональным увеличением неопределенных элементов (ureal, ultidyn, umargin, ucomplex, ucomplexm, udyn). На устойчивом жаргоне управления, если неопределенные элементы нормированы, это разложение часто называется “формой M/D”.

Цель неопределенных объектов (ureal, ultidyn, umat, uss, и т.д.), должен скрыть это базовое разложение и позволить пользователю фокусироваться на моделировании и анализе неопределенных систем, а не деталей правильного распространения представления M/D в манипуляциях. Тем не менее, опытные пользователи могут хотеть получить доступ к знакомой форме M/D. Команда lftdata выполняет это разложение.

С тех пор ureal, umargin, ucomplex и ucomplexm не имейте их NominalValue обязательно в нуле, и в случае ureal и umargin объекты, не обязательно симметричны о NominalValue, некоторые детали требуются в описании разложения.

Нормализация функций для неопределенных элементов

Сопоставленный с каждым неопределенным элементом функция нормализации. Функция нормализации сопоставляет неопределенный элемент в нормированный неопределенный элемент. Независимо от типа элемента, когда неопределенный элемент варьируется в своей области значений, абсолютное значение функции нормализации (или норма, в матричном случае) варьируется от 0 и 1.

Неопределенный действительный параметр (`ureal`)

Если ρ является неопределенным действительным параметром с областью значений [L R] и номинальная стоимость N, затем функция нормализации F

$F (ρ) = \frac{A + B ρ}{C + D ρ}$

со свойством это для всего ρ, удовлетворяющего L ≤ ρ ≤ R, из этого следует, что –1 ≤ F (ρ) ≤ 1, кроме того, F (L) = –1, F (N) = 0, и F (R) = 1. Если номинальная стоимость сосредоточена в области значений, то легко завершить это

$\begin{array}{l} A = \frac{R + L}{R - L} \\ B = \frac{2}{R - L} \\ C = 1 \\ D = 0. \end{array}$

Это оставляют как осуществление алгебры для пользователя разработать различные значения для A, B, C и D когда номинальная стоимость не сосредоточена.

Неопределенная линейная независимая от времени динамическая неопределенность (`ultidyn`)

Если E является неопределенной ограниченной усилением, линейной, независимой от времени динамической неопределенностью с ограниченным усилением β, то функция нормализации F

$F (E) = \frac{1}{β} E .$

Если E является неопределенной положительно-действительной, линейной, независимой от времени динамической неопределенностью с положительностью связанный β, то функция нормализации F

$F (E) = [I - α (E - \frac{β}{2} I)] {[I + α (E - \frac{β}{2} I)]}^{- 1}$

где α = 2|β | + 1.

Неопределенное усиление и фаза (`umargin`)

Для umargin блок Q (s), нормированное значение F (Q (s)) = δ (s), где δ (s) является ограниченной усилением динамической неопределенностью, нормированной так, чтобы это всегда варьировалось в единичном диске (|| δ || _∞ <1). Другими словами, F (Q) является модульным усилением ultidyn неопределенный элемент.

Фактические значения Q сопоставляют с модульным усилением δ через параметризацию

$Q (s) = \frac{1 + α [(1 - E) / 2] δ (s)}{1 - α [(1 + E) / 2] δ (s)} .$

Для получения дополнительной информации об этой параметризации, смотрите umargin.

Неопределенные комплексные параметры (`ucomplex`)

Функция нормализации для неопределенного комплексного параметра ξ, с номинальной стоимостью C и радиус γ,

$F (ξ) = \frac{1}{γ} (ξ - C) .$

Неопределенные комплексные матрицы (`umat`)

Функция нормализации для неопределенных комплексных матриц H, с номинальной стоимостью N и веса _WL и _WR

$F (H) = W_{L}^{- 1} (H - N) W_{R}^{- 1}$

Свойства разложения

Возьмите неопределенный объект A, зависящий от:

Неопределенные действительные параметры ρ ₁..., _{_ρNρ}
Неопределенные комплексные параметры ξ ₁..., _{_ξNξ}
Неопределенные комплексные матрицы H ₁..., _{_HNH}
Неопределенная ограниченная усилением линейная, независимая от времени динамика E ₁..., _{_ENE}
Неопределенная положительно-действительная линейная, независимая от времени динамика P ₁..., _{_PNP}
Неопределенное усиление и фаза Q₁, …, _{_QNQ}

Запишите A (ρ, ξ, H, E, P, Q), чтобы указать на эту зависимость. Используя lftdata, A может быть разложен на две отдельных части: M и Δ (ρ, ξ, H, E, P, Q) со следующими свойствами:

M является бесспорным (т.е. если A uss, затем M является ss; если A umat, затем M является double; если A ufrd, затем M является frd).
Δ всегда a umat, В зависимости от тех же неопределенных элементов как A, с областями значений, границами, весами, и т.д., неизменный.
Форма Δ является диагональю блока с элементами, составленными из функций нормализации, действующих на отдельные неопределенные элементы:
$Δ (ρ, ξ, H, E, P, Q) = [\begin{matrix} F (ρ) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & F (ξ) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & F (H) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & F (E) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & F (P) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & F (Q) \end{matrix}] .$
A (ρ, ξ, H, E, P, Q) дан линейным дробным преобразованием M и Δ (ρ, ξ, H, E, P, Q),
$A (ρ, ξ, H, E, P, Q) = M_{22} + M_{21} Δ (ρ, ξ, H, E, P, Q) {[I - M_{11} Δ (ρ, ξ, H, E, P, Q)]}^{- 1} M_{12} .$

Порядок нормированных элементов, составляющих A не простой порядок, показанный выше. Это - на самом деле тот же порядок, как дано командой fieldnames(M.Uncertainty), как показано в следующем примере.

Анализируйте Неопределенную Модель Используя lftdata

Скрипт Open Live Script

Вы разлагаете неопределенную модель на фиксированную определенную часть и нормировали неопределенную часть с помощью lftdata команда. Чтобы видеть, как эта команда работает, создайте неопределенную матрицу 2 на 2 (umat) использование трех неопределенных действительных параметров.

delta = ureal('delta',2); 
eta = ureal('eta',6); 
rho = ureal('rho',-1); 
A = [3+delta+eta delta/eta;7+rho rho+delta*eta]

A =

  Uncertain matrix with 2 rows and 2 columns.
  The uncertainty consists of the following blocks:
    delta: Uncertain real, nominal = 2, variability = [-1,1], 2 occurrences
    eta: Uncertain real, nominal = 6, variability = [-1,1], 3 occurrences
    rho: Uncertain real, nominal = -1, variability = [-1,1], 1 occurrences

Type "A.NominalValue" to see the nominal value, "get(A)" to see all properties, and "A.Uncertainty" to interact with the uncertain elements.

umat A зависит от двух случаев delta, три случаев eta, и одно вхождение rho.

Анализируйте A в M и Delta.

[M,Delta] = lftdata(A);

M числовая матрица.

M = 8×8

         0         0         0   -0.1667         0         0    1.0000    0.1667
         0         0         0         0    1.0000         0         0    6.0000
         0         0         0         0         0         0    1.0000         0
         0         0         0   -0.1667         0         0         0    0.1667
         0         0         0         0         0         0         0    1.0000
         0         0         0         0         0         0    1.0000    1.0000
    1.0000         0    1.0000   -0.3333         0         0   11.0000    0.3333
         0    1.0000         0         0    2.0000    1.0000    6.0000   11.0000

Delta umat с той же зависимостью неопределенности как A.

Delta

Delta =

  Uncertain matrix with 6 rows and 6 columns.
  The uncertainty consists of the following blocks:
    delta: Uncertain real, nominal = 2, variability = [-1,1], 2 occurrences
    eta: Uncertain real, nominal = 6, variability = [-1,1], 3 occurrences
    rho: Uncertain real, nominal = -1, variability = [-1,1], 1 occurrences

Type "Delta.NominalValue" to see the nominal value, "get(Delta)" to see all properties, and "Delta.Uncertainty" to interact with the uncertain elements.

Исследовать некоторые характеристики Delta, произведите его в трех точках. Обратите внимание на то, что:

Произведенное значение Delta является всегда диагональным.
Произведенные значения всегда располагаются между-1 и 1, потому что Delta нормирован.
Произведенные матрицы каждый содержит три независимых значения. Дублирование записей сопоставимо с зависимостью Delta и A на трех неопределенных действительных параметрах.

usample(Delta,3)

ans = 
ans(:,:,1) =

    0.6294         0         0         0         0         0
         0    0.6294         0         0         0         0
         0         0    0.8268         0         0         0
         0         0         0    0.8268         0         0
         0         0         0         0    0.8268         0
         0         0         0         0         0   -0.4430


ans(:,:,2) =

    0.8116         0         0         0         0         0
         0    0.8116         0         0         0         0
         0         0    0.2647         0         0         0
         0         0         0    0.2647         0         0
         0         0         0         0    0.2647         0
         0         0         0         0         0    0.0938


ans(:,:,3) =

   -0.7460         0         0         0         0         0
         0   -0.7460         0         0         0         0
         0         0   -0.8049         0         0         0
         0         0         0   -0.8049         0         0
         0         0         0         0   -0.8049         0
         0         0         0         0         0    0.9150

Проверьте что максимальное усиление Delta 1.

maxnorm = wcnorm(Delta)

maxnorm = struct with fields:
    LowerBound: 0
    UpperBound: 1.0008

Наконец, проверьте тот lft(Delta,M) совпадает с A. Для этого возьмите различие и используйте 'full' опция в simplify удалить избыточные зависимости от неопределенных элементов.

simplify(lft(Delta,M)-A,'full')

ans = 2×2
10^-18 ×

         0    0.3955
         0         0

Усовершенствованный Синтаксис lftdata

Даже для опытного пользователя, переменной Delta на самом деле не будет настолько полезно, когда это - все еще сложный объект. С другой стороны, его внутренняя структура описана полностью с помощью 3-го (и 4-й) выходной аргумент.

[M,Delta,BlkStruct,NormUnc] = lftdata(A);

Строки BlkStruct соответствуйте неопределенным элементам, названным в fieldnames(A.Uncertainty). Элементы BlkStruct опишите размер, тип и количество копий неопределенных элементов в A, и неявно формируйте рисунок точной диагональной блоком структуры Delta. Обратите внимание на то, что располагаться/связывать информация о каждом неопределенном элементе не включена в BlkStruct.

BlkStruct(1)

ans = struct with fields:
           Name: 'delta'
           Size: [1 1]
           Type: 'ureal'
    Occurrences: 2
       Simplify: 2

BlkStruct(2)

ans = struct with fields:
           Name: 'eta'
           Size: [1 1]
           Type: 'ureal'
    Occurrences: 3
       Simplify: 2

BlkStruct(3)

ans = struct with fields:
           Name: 'rho'
           Size: [1 1]
           Type: 'ureal'
    Occurrences: 1
       Simplify: 2

Вместе, эти записи означают тот Delta увеличение диагонали блока нормированной версии трех неопределенных элементов.

Первый элемент называют 'delta'. Это 1 на 1; это имеет класс ureal; и существует две копии, по диагонали увеличенные.

Второй элемент называют 'eta'. Это 1 на 1; это имеет класс ureal; и существует три копии, по диагонали увеличенные.

Третий элемент называют 'rho'. Это 1 на 1; это имеет класс ureal; и существует одна копия,

Четвертый выходной аргумент lftdata содержит массив ячеек нормированных неопределенных элементов. Массив ячеек содержит столько же случаев каждого элемента, сколько существуют случаи в исходном неопределенном объекте A.

size(NormUnc)

ans = 1×2

     6     1

NormUnc{1}

ans = 
  Uncertain real parameter "deltaNormalized" with nominal value 0 and variability [-1,1].

isequal(NormUnc{2},NormUnc{1})

ans = logical
   1

NormUnc{3}

ans = 
  Uncertain real parameter "etaNormalized" with nominal value 0 and variability [-1,1].

isequal(NormUnc{4},NormUnc{3})

ans = logical
   1

isequal(NormUnc{5},NormUnc{3})

ans = logical
   1

NormUnc{6}

ans = 
  Uncertain real parameter "rhoNormalized" with nominal value 0 and variability [-1,1].

Каждый нормированный элемент имеет 'Normalized' добавленный к его настоящему имени, чтобы избежать беспорядка. Когда нормировано,

ureal объекты имеют номинальную стоимость 0, и диапазон от –1 до 1.
ultidyn объекты являются ограниченной нормой с нормой, связанной 1.
umargin объекты преобразованы в ограниченный нормой ultidyn объекты с нормой, связанной 1.
ucomplex объекты имеют номинальную стоимость 0, и радиус 1.
ucomplexm объекты имеют номинальную стоимость 0, и единичные матрицы для каждого WL и WR веса.

Возможные поведения Delta и blkdiag(NormUnc{:}) то же самое. Следовательно, возможные поведения A и lft(blkdiag(NormUnc{:}),M) то же самое.

Следовательно, путем управления M, BlkStruct и NormUnc, вы могут иметь прямой доступ ко всем линейным дробным деталям преобразования и могут работать на уровне теорем и алгоритмов, которые лежат в основе методов.

Документация