Параметрические методы

Параметрические методы могут дать к более высоким разрешениям, чем непараметрические методы в случаях, когда длина сигнала коротка. Эти методы используют другой подход к спектральной оценке; вместо того, чтобы пытаться оценить PSD непосредственно из данных, они моделируют данные как выход линейной системы, управляемой белым шумом, и затем пытаются оценить параметры той линейной системы.

Обычно используемая модель линейной системы является моделью все-полюса, фильтр со всем обнуляет в начале координат в z-плоскости. Выход такого фильтра для белого шумового входа является авторегрессивным (AR) процесс. Поэтому эти методы иногда упоминаются как методы AR спектральной оценки.

Методы AR имеют тенденцию соответственно описывать спектры данных, которые являются “остроконечными”, то есть, данные, PSD которых является большим на определенных частотах. Данные во многих практических применениях (таких как речь) имеют тенденцию иметь “остроконечные спектры” так, чтобы модели AR были часто полезны. Кроме того, модели AR приводят к системе линейных уравнений, которая относительно проста решить.

Методы AR Signal Processing Toolbox™ для спектральной оценки включают:

Все методы AR дают к оценке PSD, данной

$\hat{P} (f) = \frac{1}{F_{s}} \frac{ε_{p}}{{| 1 - \sum_{k = 1}^{p} {\hat{a}}_{p} (k) e^{- j 2 π k f / F_{s}} |}^{2}} .$

Различные методы AR оценивают параметры немного по-другому, давая к различным оценкам PSD. Следующая таблица предоставляет сводные данные различных методов AR.

Методы AR

	Город	Ковариация	Модифицированная ковариация	Уокер Рождества
Характеристики	Не применяет окно к данным	Не применяет окно к данным	Не применяет окно к данным	Применяет окно к данным
Характеристики	Минимизирует прямые и обратные ошибки предсказания в смысле наименьших квадратов, с коэффициентами AR, ограниченными удовлетворить рекурсии L-D	Минимизирует прямую ошибку предсказания в смысле наименьших квадратов	Минимизирует прямые и обратные ошибки предсказания в смысле наименьших квадратов	Минимизирует прямую ошибку предсказания в смысле наименьших квадратов (также названный “Метод автокорреляции”)
Преимущества	Высокое разрешение для коротких записей данных	Лучшее разрешение, чем Y-W для коротких записей данных (более точные оценки)	Высокое разрешение для коротких записей данных	Выполняет, а также другие методы для больших записей данных
	Всегда производит устойчивую модель	Способный извлечь частоты из данных, состоящих из p или более чистых синусоид	Способный извлечь частоты из данных, состоящих из p или более чистых синусоид	Всегда производит устойчивую модель
	Всегда производит устойчивую модель		Не переносит спектральное разделение линии	Всегда производит устойчивую модель
Недостатки	Пиковые местоположения, очень зависящие от начальной фазы	Может произвести нестабильные модели	Может произвести нестабильные модели	Выполняет относительно плохо для коротких записей данных
	Может перенести спектральное разделение линии для синусоид в шуме, или когда порядок является очень большим	Смещение частоты для оценок синусоид в шуме	Пиковые местоположения, немного зависящие от начальной фазы	Смещение частоты для оценок синусоид в шуме
	Смещение частоты для оценок синусоид в шуме	Смещение частоты для оценок синусоид в шуме	Незначительное смещение частоты для оценок синусоид в шуме
Условия для несингулярности		Порядок должен быть меньше чем или равен половине размера входного кадра	Порядок должен быть меньше чем или равен 2/3 размер входного кадра	Из-за смещенной оценки матрица автокорреляции гарантируется положительно-определенному, следовательно несингулярному

Метод AR Уокера Рождества

Скрипт Open Live Script

Метод Уокера Рождества АРА спектральной оценки вычисляет параметры AR путем решения следующей линейной системы, которые дают уравнения Уокера Рождества в матричной форме:

$[\begin{matrix} r (0) & r (1) & \dots & r (p - 1) \\ r (1) & r (0) & \dots & r (p - 2) \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ r (p - 1) & r (p - 2) & \dots & r (0) \end{matrix}] [\begin{matrix} a (1) \\ a (2) \\ ⋮ \\ a (p) \end{matrix}] = [\begin{matrix} r (1) \\ r (2) \\ ⋮ \\ r (p) \end{matrix}]$ .

На практике смещенная оценка автокорреляции используется для неизвестной истинной автокорреляции. Метод Уокера Рождества АРА приводит к тем же результатам как максимальное энтропийное средство оценки.

Использование смещенной оценки автокорреляционной функции гарантирует, что матрица автокорреляции выше положительна определенный. Следовательно, матрица является обратимой, и решение, как гарантируют, будет существовать. Кроме того, параметры AR, таким образом вычисляемые всегда, приводят к устойчивой модели все-полюса. Уравнения Уокера Рождества могут быть решены эффективно с помощью алгоритма Левинсона, который использует в своих интересах Эрмитовую структуру Теплица матрицы автокорреляции.

Функция тулбокса pyulear реализует метод Уокера Рождества АРА. Например, сравните спектр речевого сигнала использование метода валлийцев и метода Уокера Рождества АРА. Первоначально вычислите и постройте валлийскую периодограмму.

load mtlb
pwelch(mtlb,hamming(256),128,1024,Fs)

Figure contains an axes. The axes with title Welch Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Спектр Уокера Рождества АРА более сглажен, чем периодограмма из-за простой базовой модели все-полюса.

order = 14;
pyulear(mtlb,order,1024,Fs)

Figure contains an axes. The axes with title Yule-Walker Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Метод города

Скрипт Open Live Script

Метод Города для AR спектральная оценка основан на минимизации прямых и обратных ошибок предсказания при удовлетворении рекурсии Левинсона-Дербина. В отличие от других методов оценки AR, метод Города старается не вычислять автокорреляционную функцию, и вместо этого оценивает отражательные коэффициенты непосредственно.

Первичные преимущества метода Города разрешают близко расположенные синусоиды в сигналах с низким уровнем шума и оценивают короткие записи данных, в этом случае степень AR, которая спектральные оценки плотности очень близко к истинным значениям. Кроме того, метод Города гарантирует устойчивую модель AR и в вычислительном отношении эффективен.

Точность метода Города ниже для старших моделей, длинных записей данных и высоких отношений сигнал-шум (который может вызвать разделение линии или генерацию постороннего peaks в оценке спектра). Спектральная оценка плотности, вычисленная методом Города, также восприимчива к сдвигам частоты (относительно истинной частоты) следующий из начальной фазы шумных синусоидальных сигналов. Этот эффект увеличен при анализе коротких последовательностей данных.

Функция тулбокса pburg реализует метод Города. Сравните оценки спектра речевого сигнала, сгенерированного и методом Города и методом Уокера Рождества АРА. Первоначально вычислите и постройте оценку Города.

load mtlb
order = 14;
pburg(mtlb(1:512),order,1024,Fs)

Figure contains an axes. The axes with title Burg Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Оценка Уокера Рождества очень похожа, если сигнал достаточно длинен.

pyulear(mtlb(1:512),order,1024,Fs)

Figure contains an axes. The axes with title Yule-Walker Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Сравните спектр сигнала с шумом, вычисленного с помощью метода Города и валлийского метода. Создайте двухкомпонентный синусоидальный сигнал с частотами 140 Гц и 150 Гц, встроенных в белый Гауссов шум отклонения 0,1 ². Второй компонент имеет дважды амплитуду первого компонента. Сигнал производится на уровне 1 кГц в течение 1 секунды. Первоначально вычислите и постройте валлийскую оценку спектра.

fs = 1000;
t = (0:fs)/fs;
A = [1 2];
f = [140;150];
xn = A*cos(2*pi*f*t) + 0.1*randn(size(t));

pwelch(xn,hamming(256),128,1024,fs)

Figure contains an axes. The axes with title Welch Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Вычислите и постройте оценку Города с помощью модели порядка 14.

pburg(xn,14,1024,fs)

Figure contains an axes. The axes with title Burg Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Ковариация и модифицированные методы ковариации

Скрипт Open Live Script

Метод ковариации для AR спектральная оценка основан на минимизации прямой ошибки предсказания. Модифицированный метод ковариации основан на минимизации прямых и обратных ошибок предсказания. Тулбокс функционирует pcov и pmcov реализуйте соответствующие методы.

Сравните спектр речевого сигнала, сгенерированного и методом ковариации и модифицированным методом ковариации. Сначала вычислите и постройте оценку метода ковариации.

load mtlb
pcov(mtlb(1:64),14,1024,Fs)

Figure contains an axes. The axes with title Covariance Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Оценка модифицированного метода ковариации почти идентична, даже для короткой длины сигнала.

pmcov(mtlb(1:64),14,1024,Fs)

Figure contains an axes. The axes with title Modified Covariance Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Документация