Биномиальное распределение

Обзор

Биномиальное распределение является семейством кривых 2D параметра. Биномиальное распределение используется, чтобы смоделировать общее количество успехов в постоянном числе независимых испытаний, которые имеют ту же вероятность успеха, такого как моделирование вероятности данного количества голов в десяти щелчках справедливой монеты.

Statistics and Machine Learning Toolbox™ предлагает несколько способов работать с биномиальным распределением.

Создайте объект BinomialDistribution вероятностного распределения путем строения распределения вероятности к выборочным данным (fitdist) или настройкой значений параметров (makedist). Затем используйте объектные функции, чтобы вычислять распределение, сгенерировать случайные числа, и так далее.
Работа с биномиальным распределением в интерактивном режиме при помощи приложения Distribution Fitter. Можно экспортировать объект из приложения и использовать объектные функции.
Используйте специфичные для распределения функции (binocdf, binopdf, binoinv, binostat, binofit, binornd) с заданными параметрами распределения. Специфичные для распределения функции могут принять параметры нескольких биномиальных распределений.
Используйте типовые функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с заданным именем распределения ('Binomial') и параметры.

Параметры

Биномиальное распределение использует следующие параметры.

Параметр	Описание	Поддержка
N	Количество испытаний	Положительное целое число
p	Вероятность успеха в одном испытании	$0 \leq p \leq 1$

Сумма двух биномиальных случайных переменных, что у обоих есть тот же параметр p, является также биномиальной случайной переменной с N, равным сумме количества испытаний.

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности (PDF) биномиального распределения

$f (x | N, p) = (\begin{matrix} N \\ x \end{matrix}) p^{x} {(1 - p)}^{N - x}; x = 0, 1, 2, ..., N,$

где x является количеством успехов в испытаниях N Бернуллиевого процесса с вероятностью успеха p. Результатом является вероятность точно успехов x в испытаниях N. Для дискретных распределений PDF также известна как функцию вероятностной меры (pmf).

Для примера смотрите, Вычисляют Биномиальное распределение PDF.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) биномиального распределения

$F (x | N, p) = \sum_{i = 0}^{x} (\begin{matrix} N \\ i \end{matrix}) p^{i} {(1 - p)}^{N - i}; x = 0, 1, 2, ..., N,$

где x является количеством успехов в испытаниях N Бернуллиевого процесса с вероятностью успеха p. Результатом является вероятность в большинстве успехов x в испытаниях N.

Для примера смотрите, Вычисляют Биномиальное распределение cdf.

Описательная статистика

Средним значением биномиального распределения является N p.

Отклонением биномиального распределения является N p (1 – p).

Пример

Подходящее биномиальное распределение к данным

Скрипт Open Live Script

Сгенерируйте биномиальное случайное число, которое считает количество успехов в 100 испытания с вероятностью успеха 0.9 в каждом испытании.

x = binornd(100,0.9)

x = 85

Соответствуйте биномиальному распределению к данным с помощью fitdist.

pd = fitdist(x,'Binomial','NTrials',100)

pd = 
  BinomialDistribution

  Binomial distribution
    N =  100
    p = 0.85   [0.764692, 0.913546]

fitdist возвращает BinomialDistribution объект. Интервал рядом с p 95%-й доверительный интервал, оценивающий p.

Оцените параметр p использование функций распределения.

[phat,pci] = binofit(x,100) % Distribution-specific function

phat = 0.8500

pci = 1×2

    0.7647    0.9135

[phat2,pci2] = mle(x,'distribution','Binomial',"NTrials",100) % Generic distribution function

phat2 = 0.8500

pci2 = 2×1

    0.7647
    0.9135

Вычислите Биномиальное распределение PDF

Скрипт Open Live Script

Вычислите PDF биномиального распределения с 10 испытания и вероятность успеха 0.5.

x = 0:10;
y = binopdf(x,10,0.5);

Постройте PDF с панелями ширины 1.

figure
bar(x,y,1)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type bar.

Вычислите Биномиальное распределение cdf

Скрипт Open Live Script

Вычислите cdf биномиального распределения с 10 испытания и вероятность успеха 0.5.

x = 0:10;
y = binocdf(x,10,0.5);

Постройте cdf.

figure
stairs(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type stair.

Сравните Биномиальное и Нормальное распределение pdfs

Скрипт Open Live Script

Когда N является большим, биномиальное распределение параметрами N и p может быть аппроксимирован нормальным распределением со средним N*p и отклонение N*p*(1–p) при условии, что p не является слишком большим или слишком маленьким.

Вычислите PDF биномиального распределения, считая количество успехов в 50 испытания с вероятностью 0.6 в одном испытании.

N = 50;
p = 0.6;
x1 = 0:N;
y1 = binopdf(x1,N,p);

Вычислите PDF соответствующего нормального распределения.

mu = N*p;
sigma = sqrt(N*p*(1-p));
x2 = 0:0.1:N;
y2 = normpdf(x2,mu,sigma);

Постройте pdfs на той же оси.

figure
bar(x1,y1,1)
hold on
plot(x2,y2,'LineWidth',2)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')
title('Binomial and Normal pdfs')
legend('Binomial Distribution','Normal Distribution','location','northwest')
hold off

Figure contains an axes. The axes with title Binomial and Normal pdfs contains 2 objects of type bar, line. These objects represent Binomial Distribution, Normal Distribution.

PDF нормального распределения тесно аппроксимирует PDF биномиального распределения.

Сравните Распределение Бинома и Пуассона pdfs

Скрипт Open Live Script

Когда p мал, биномиальное распределение параметрами N и p может быть аппроксимирован распределением Пуассона со средним N*p, при условии, что N*p также мал.

Вычислите PDF биномиального распределения, считая количество успехов в 20 испытания с вероятностью успеха 0.05 в одном испытании.

N = 20;
p = 0.05;
x = 0:N;
y1 = binopdf(x,N,p);

Вычислите PDF соответствующего распределения Пуассона.

mu = N*p;
y2 = poisspdf(x,mu);

Постройте pdfs на той же оси.

figure
bar(x,[y1; y2])
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')
title('Binomial and Poisson pdfs')
legend('Binomial Distribution','Poisson Distribution','location','northeast')

Figure contains an axes. The axes with title Binomial and Poisson pdfs contains 2 objects of type bar. These objects represent Binomial Distribution, Poisson Distribution.

PDF распределения Пуассона тесно аппроксимирует PDF биномиального распределения.

Связанные распределения

Бернуллиевое Распределение — Бернуллиевое распределение является дискретным распределением с одним параметром, которое моделирует успех одного испытания и происходит как биномиальное распределение с N = 1.
Распределение многочлена — распределение многочлена является дискретным распределением, которое обобщает биномиальное распределение, когда каждое испытание имеет больше чем два возможных исхода.
Нормальное распределение — нормальное распределение является непрерывным распределением 2D параметра, которое имеет параметры μ (среднее значение) и σ (стандартное отклонение). Когда N увеличивается, биномиальное распределение может быть аппроксимировано нормальным распределением с µ = N p и σ ² = N p (1 – p). Смотрите Сравнивают Биномиальное и Нормальное распределение pdfs.
Распределение Пуассона — распределение Пуассона является дискретным распределением с одним параметром, которое принимает неотрицательные целочисленные значения. Параметр λ является и средним значением и отклонением распределения. Распределение Пуассона является ограничивающим случаем биномиального распределения, куда бесконечность подходов N и p переходят к нулю в то время как N p = λ. Смотрите Сравнивают Распределение Бинома и Пуассона pdfs.

Ссылки

[1] Abramowitz, Милтон, и Ирен А. Стегун, руководство редакторов Математических функций: С Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. 9. Дуврская печать.; [Nachdr. der Ausg. von 1972]. Дуврские Книги по Математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Дувр Publ, 2013.

[2] Эванс, Merran, Николас Гастингс и Брайан Пикок. Статистические Распределения. 2-й редактор Нью-Йорк: Дж. Вайли, 1993.

[3] Загрузчик, Кэтрин. Быстрый и точный расчет биномиальных вероятностей. 9 июля 2000.

Документация