lyap

Непрерывное решение уравнения Ляпунова

Синтаксис

lyap X = lyap(A,Q) X = lyap(A,B,C) X = lyap(A,Q,[],E)

Описание

lyap решает особую и общую формы уравнения Ляпунова. Уравнения Ляпунова возникают в нескольких областях управления, включая теорию устойчивости и изучение среднеквадратичного поведения систем.

X = lyap(A,Q) решает уравнение Ляпунова

$AX +^{} XAT +$ Q = 0

где A и Q представляют квадратные матрицы одинаковых размеров. Если Q является симметричной матрицей, решение X также является симметричной матрицей.

X = lyap(A,B,C) решает уравнение Сильвестра

$AX + XB +$ C = 0

Матрицы A, B, и C должны иметь совместимые размеры, но не должны быть квадратными.

X = lyap(A,Q,[],E) решает обобщенное уравнение Ляпунова

$^{AXET} +^{} EXAT +$ Q = 0

где Q - симметричная матрица. Необходимо использовать пустые квадратные скобки [] для этой функции. При размещении каких-либо значений внутри скобок происходит ошибка функции.

Ограничения

Непрерывное уравнение Ляпунова имеет уникальное решение, если собственные значения $_{α1},_{} α2,.. .,_{}$ αn для A $и_{} {β1}_{,} β2, . ._{.}$ , βn для B удовлетворяют

$_{}_{} αi+βj≠0 для всех пар (i, j$ )

Если это условие нарушено, lyap выдает сообщение об ошибке:

Solution does not exist or is not unique.

Примеры

Пример 1

Решить уравнение Ляпунова

Решить уравнение Ляпунова

$AX +^{} XAT +$ Q = 0

где

$A = \begin{matrix} [ \\ 12 & − \end{matrix} 3 - 4 \begin{matrix} ] \\ Q \end{matrix} =$ [3111]

Матрица А является стабильной, а матрица Q является положительной определенной.

A = [1 2; -3 -4];  
Q = [3 1; 1 1];
X = lyap(A,Q)

Эти команды возвращают следующую матрицу X:

X =

    6.1667   -3.8333
   -3.8333    3.0000

Можно вычислить собственные значения, чтобы увидеть, что X является положительным определенным.

eig(X)

Команда возвращает следующий результат:

ans =

    0.4359
    8.7308

Пример 2

Решить уравнение Сильвестра

Решить уравнение Сильвестра

$AX + XB +$ C = 0

где

$A = 5 B \begin{matrix} = \\ [ \end{matrix} 4343] C \begin{matrix} = \end{matrix}$ [21]

A = 5;
B = [4 3; 4 3];
C = [2 1];
X = lyap(A,B,C)

Эти команды возвращают следующую матрицу X:

X =

   -0.2000   -0.0500

Алгоритмы

lyap использует подпрограммы SLICOT SB03MD и SG03AD для уравнений Ляпунова и SB04MD (SLICOT) и ZTRSYL (LAPACK) для уравнений Сильвестра.

Ссылки

[1] Бартельс, Р. Х. и Г. В. Стюарт, «Решение матричного уравнения AX + XB = C», Запятая ACM, том 15, № 9, 1972.

[2] Barraud, A.Y., «Численный алгоритм для решения A XA - X = Q», IEEE ® Trans. Auto. Contr., AC-22, стр. 883-885, 1977 .

[3] Хаммарлинг, С.Дж., «Численное решение стабильного, неотрицательного определённого уравнения Ляпунова», IMA J. Num. Anal., Vol. 2, pp. 303-325, 1982.

[4] Пенцл, Т., «Численное решение обобщенных уравнений Ляпунова», «Достижения в комп. математике», т. 8, стр. 33-48, 1998.

[5] Голуб, Г.Х., Нэш, С. и Ван Займ, С.Ф., «Метод Хессенберга-Шура для задачи AX + XB = C», IEEE Trans. Auto. Contr., AC-24, стр. 909-913, 1979.

См. также

covar | dlyap

Представлен до R2006a

Документация