В этом примере показано, как уменьшить порядок модели при сохранении важной динамики с помощью приложения «Редуктор модели». Этот пример иллюстрирует метод «Сбалансированное усечение», который устраняет состояния, основанные на их вкладе энергии в реакцию системы.
В этом примере используется модель здания Университетской больницы Лос-Анджелеса. Здание имеет восемь этажей, каждый с тремя степенями свободы: два смещения и одно вращение. Соотношение «вход-выход» для любого из этих смещений представлено в виде модели с 48 состояниями, где каждое состояние представляет смещение или его скорость изменения (скорость). Загрузите модель здания и откройте «Редуктор модели» вместе с этой моделью.
load building.mat
modelReducer(G)Выберите модель в браузере данных, чтобы отобразить некоторые сведения о модели в разделе Предварительный просмотр (Preview). Дважды щелкните модель, чтобы просмотреть более подробную информацию.
Модельный редуктор имеет три метода сокращения модели: сбалансированное усечение, выбор режима и упрощение полюса/нуля. В этом примере выберите «Сбалансированное усечение».
Редуктор модели открывает вкладку Сбалансированное усечение (Balanced Truncation) и автоматически создает модель с уменьшенным порядком. Верхний график сравнивает исходную и уменьшенную модель в частотной области. Нижний график показывает энергетический вклад каждого состояния, где состояния сортируются от высокой энергии к низкой энергии. Порядок уменьшенной модели 14 выделен на гистограмме. В уменьшенной модели все состояния с более низким вкладом энергии, чем этот, отбрасываются.
Предположим, что вы хотите сохранить первый, второй и третий пики отклика модели, около 5,2 рад/с, 13 рад/с и 25 рад/с. Попробуйте другие заказы моделей, чтобы увидеть, можно ли достичь этой цели с помощью более низкого порядка моделей. Вычислите приближение 5-го и 10-го порядка одним из следующих способов.
В текстовом поле Сокращенные заказы моделей введите [5 10].
На графике «состояние-вклад» щелкните при нажатой клавише Ctrl полосы для состояния 5 и состояния 10.
Модельный редуктор вычисляет две новые модели уменьшенного порядка и отображает их на графике ответа с исходной моделью G. Для более тщательного изучения трех пиков увеличьте масштаб соответствующего диапазона частот. Модель 10-го порядка успешно захватывает три пика, в то время как модель 5-го порядка аппроксимирует только первые два пика. (Сведения о масштабировании и других взаимодействиях с графиками анализа см. в разделе Визуализация моделей уменьшенного порядка в приложении «Редуктор модели».)
Помимо графика частотной характеристики всех трех моделей, модуль «Редуктор модели» позволяет исследовать абсолютную и относительную погрешность между исходной и уменьшенной моделями. Выберите График абсолютных ошибок (Absolute error plot), чтобы увидеть разницу между моделью здания и уменьшенной моделью.
Уменьшенная модель 5-го порядка имеет максимум -60dB погрешность в частотной области первых двух пиков, ниже примерно 30 рад/с. Ошибка увеличивается на более высоких частотах. Уменьшенная модель 10-го порядка имеет меньшую погрешность по всем частотам.
Сохраните уменьшенные модели в браузере данных, щелкнув Создать уменьшенную модель (Create Reducted Model). Уменьшенные модели 5-го и 10-го порядка отображаются в браузере данных с именами GReduced5 и Greduced10.
Можно продолжать изменять параметры сокращения модели и создавать дополнительные уменьшенные модели. Как вы это делаете, GReduced5 и Greduced10 не изменяется в браузере данных.
По умолчанию сбалансированное усечение в модуле Model Reducer сохраняет коэффициент усиления постоянного тока, соответствующий характеристике устойчивого состояния исходной и уменьшенной моделей. Снимите флажок Законсервировать усиление постоянного тока (Preserve DC Gain), чтобы лучше приблизить высокочастотную динамику. Редуктор модели вычисляет новые уменьшенные модели. Погрешность в высокочастотной области уменьшается за счет небольшого увеличения погрешности на низких частотах.
Можно также сфокусировать сбалансированное усечение на динамике модели в определенном частотном интервале. Например, приблизить только второй пик модели здания около 13 рад/с. Сначала выберите график ответа модели, чтобы увидеть графики модели Боде. Затем установите флажок Select frequency range (Выбор диапазона частот). Модельный редуктор анализирует вклады состояния только в выделенном частотном интервале.
Можно перетащить границы, чтобы изменить диапазон частот в интерактивном режиме. При изменении частотного интервала график Сингулярного значения Ханкеля отражает изменения энергетических вкладов состояний.
Введите пределы частоты [10 22] в текстовое поле рядом с пунктом Фокус на диапазоне. Уменьшенная модель 5-го порядка фиксирует существенную динамику. Модель 10-го порядка имеет почти ту же динамику, что и исходная модель здания в этом диапазоне частот.
При необходимости сохраните эти дополнительные модели в браузере данных, щелкнув Создать уменьшенную модель (Create Reducted Model).
Можно сравнить ответы временной области сохраненных уменьшенных моделей и оригинала на вкладке Графики (Plots). В браузере данных щелкните, удерживая нажатой клавишу «Control», чтобы выбрать модели для сравнения. G, GReduced5, и GReduced10. Затем нажмите Step. Редуктор модели создает пошаговый график со всеми тремя моделями.
Масштабирование переходного поведения этого графика показывает, что GReduced10 фиксирует поведение исходной модели во временной области. Однако ответ GReduced5 отклоняется от исходной модели примерно через 3 секунды.
Сравнение уменьшенных и исходных моделей во временной и частотной областях показывает, что GReduced10 адекватно фиксирует динамику интереса. Экспортируйте эту модель в рабочую область MATLAB ® для дальнейшего анализа и конструирования. На вкладке Редуктор модели (Model Reducer) щелкните Экспорт модели (Export Model). Снимите флажки дляG и Greduced5и нажмите кнопку «Экспорт» для экспорта Greduced10.
Greduced10 отображается в рабочей области MATLAB как state-space (ss) модель.