Аппроксимация сплайна методом наименьших квадратов
spline = spap2(knots,k,x,y) k с заданной последовательностью узлов knots для которых
(*) y(:,j) = f(x(j)), all j
в взвешенном среднеквадратическом значении, означающем, что сумма
(x (j)) | 2
минимизирован, вес по умолчанию равен 1. Значения данных y(:,j) могут быть скалярами, векторами, матрицами или ND-массивами, а | z | 2 - сумма квадратов всех записей z. Точки данных с одним и тем же сайтом заменяются их средним значением.
Если сайты x удовлетворить условиям Шёнберга-Уитни
тогда имеется уникальный сплайн заданного порядка и узловой последовательности, удовлетворяющий (*) точно. Сплайн не возвращается, если (* *) не удовлетворяется для некоторой подпоследовательности x.
spap2(, с l,k,x,y) l положительное целое число, возвращает B-форму аппроксиманта сплайна наименьших квадратов, но с выбранной для вас последовательностью узлов. Последовательность узлов получают нанесением aptknt к соответствующей подпоследовательности x. Полученный кусочно-многочлен состоит из l полиномиальные части и имеет k-2 непрерывные производные. Если вы чувствуете, что другое распределение внутренних узлов может сделать лучшую работу, следите за этим с
sp1 = spap2(newknt(spline),k,x,y));
spline = spap2(...,x,y,w) w в измерении ошибки (приведенном выше). w должен быть вектором того же размера, что и x, с неотрицательными записями. Все веса, соответствующие точкам данных с одним и тем же сайтом, суммируются, когда эти точки данных заменяются их средним значением.
spap2({knorl1,...,knorlm},k,{x1,...,xm},y) обеспечивает аппроксимацию сплайна методом наименьших квадратов для данных с сеткой. Здесь, каждый knorli является либо узловой последовательностью, либо положительным целым числом. Далее, k должно быть m-вектор, и y должен быть (r+m) -мерный массив, сy(:,i1,...,im) опорный элемент, устанавливаемый на site
[x{1}(i1),...,x{m}(im)], все i1, ..., im. Однако если сплайн должен быть скалярным, то, в отличие от одномерного случая, y разрешено быть m-мерный массив, в этом случае y(i1,...,im) - опорный элемент, устанавливаемый на site
[x{1}(i1),...,x{m}(im)], все i1, ..., im.
spap2({knorl1,...,knorlm},k,{x1,...,xm},y,w) также позволяет указать веса. В этом m-вариативный случай, w должен быть массивом ячеек с m записи, с w{i} неотрицательный вектор того же размера, что и xi, или иначе w{i} должен быть пустым, в этом случае веса по умолчанию используются в i-я переменная.
В этом примере показано, как вычислить приближение наименьших квадратов к данным x, y, кубическими сплайнами с двумя непрерывными производными, базовый интервал [a..b], и внутренние разрывы xi, при условии xi имеет все свои записи в (a..b) и условия (* *) выполнены .
sp = spap2(augknt([a,xi,b],4),4,x,y)
В этом случае аппроксимация состоит из length(xi)+1 отрезки полинома. Если требуется получить только аппроксимацию кубического сплайна, состоящую из l участки полинома, используйте вместо
sp = spap2(l,4,x,y);
Если результирующая аппроксимация неудовлетворительна, попробуйте использовать большую l. Другое использование
sp = spap2(newknt(sp),4,x,y);
для лучшего распределения последовательности узлов. Повторите этот процесс несколько раз, чтобы повысить точность распределения.
В качестве другого примера: spap2(1,2,x,y); обеспечивает прямую подгонку наименьших квадратов к данным x,y, пока
w = ones(size(x)); w([1 end]) = 100; spap2(1,2,x,y,w);
силы, которые подходят очень близко к первой точке данных и к последней.
В этом примере показано, как создать двумерную функцию, вычислить и построить ее аппроксимацию наименьшим квадратом.
Создайте данные для аппроксимации и двумерной функции.
x = -2:.2:2; y=-1:.25:1; [xx, yy] = ndgrid(x,y); z = exp(-(xx.^2+yy.^2));
Вычислите приближение наименьшего квадрата и постройте его график.
sp = spap2({augknt([-2:2],3),2},[3 4],{x,y},z);
fnplt(sp)
spcol вызывается для обеспечения почти блок-диагональной матрицы коллокации (Bj, k (xi)), иslvblk решает линейную систему (*) в (взвешенном) смысле наименьших квадратов, используя блок QR-факторизации.
Привязанные к сетке данные устанавливаются по одной переменной за раз, используя тот факт, что одномерное взвешенное соответствие наименьшим квадратам линейно зависит от устанавливаемых значений.