Полиномы - это аппроксимирующие функции выбора, когда гладкая функция должна быть аппроксимирована локально. Например, усеченный ряд Тейлора
a )/i!
обеспечивает удовлетворительное приближение для f (x), если f является достаточно гладким и x является достаточно близким к а. Но если функция должна быть аппроксимирована на большем интервале, степень n аппроксимирующего многочлена может быть выбрана неприемлемо большой. Альтернатива должна подразделить интервал [a. b] приближения в достаточно маленькие интервалы [ξj.ξj+1], при a = («a») 1 <··· < («a») + 1 = b, так что на каждом таком интервале, полином pj относительно низкой степени может обеспечить хорошее приближение к F. Это может быть сделано даже таким образом, что части полинома плавно смешиваются, т.е. чтобы результирующая исправленная или составная функция s(x), что равно pj (x) для x∊[ξj, j + 1], все j, имеют несколько непрерывных производных. Любая такая гладкая кусочно-полиномиальная функция называется сплайном. И. Дж. Шёнберг придумал этот термин, потому что дважды непрерывно дифференцируемый кубический сплайн с достаточно малой первой производной аппроксимирует форму сплайна рисовальщика.
Существует два часто используемых способа представления полиномиального сплайна: ppform и B-форма. В этой панели инструментов сплайн в ppform часто называют кусочным многочленом, в то время как кусочный многочлен в B-форме часто называют сплайном. Это отражает тот факт, что кусочные многочлены и (полиномиальные) сплайны - это только два разных вида одного и того же.
ppform многочленного сплайна приказа k предоставляет описание с точки зрения его разрывов ξ1.ξl+1 и местные многочленные коэффициенты cji его l частей.
icji, j = 1: l
Например, кубический сплайн имеет порядок 4, соответствующий тому факту, что для задания кубического многочлена требуется четыре коэффициента. Ppform удобен для анализа и других видов использования сплайна.
B-форма стала стандартным способом представления сплайна во время его построения, потому что B-форма облегчает построение требований к гладкости для разрывов и приводит к линейным системам с полосами. B-форма описывает сплайн как взвешенную сумму
из B-сплайнов требуемого порядка k, с их числом n, не менее k-1 плюс количество полиномиальных частей, составляющих сплайн. Здесь Bj, k = B (· | tj,..., tj + k) - j-й B-сплайн порядка k для узловой последовательности t1≤t2≤··· ≤tn+k. В частности, Bj, k - кусочно-многочлен степени < k, с разрывами tj,..., tj + k, неотрицателен, равен нулю за пределами интервала [tj,.. tj + k] и нормализован настолько, что
tn + 1]
Кратность узлов регулирует гладкость, следующим образом: Если в последовательности tj,... tj + k ровно r-раз встречается число, то Bj, k и его первые производные k-r-1 непрерывны по разрыву, в то время как (k-r) -я производная имеет скачок при start. Все эти свойства B-сплайна можно поэкспериментировать визуально и интерактивно с помощью командыbspligui.