Загрузка и печать данных.

Определите, как стоимость жизни влияет на поведение номинальной заработной платы. Загрузите набор данных Нельсона Плоссера, чтобы изучить их статистическую связь.

load Data_NelsonPlosser
isNaN = any(ismissing(DataTable),2);       % Flag periods containing NaNs
cpi = DataTable.CPI(~isNaN); % Cost of living
wm = DataTable.WN(~isNaN);             % Nominal wages

figure
plot(cpi,wm,'o')
hFit = lsline; % Regression line
xlabel('Consumer Price Index (1967 = 100)')
ylabel('Nominal Wages (current $)')
legend(hFit,'OLS Line','Location','SE')
title('{\bf Cost of Living}')
grid on

График предполагает, что линейная модель может фиксировать взаимосвязь между двумя переменными.

Определите модель.

Моделирование поведения номинальной заработной платы по ИПЦ в качестве этой линейной модели.

Mdl = fitlm(cpi,wm)

Mdl = 
Linear regression model:
    y ~ 1 + x1

Estimated Coefficients:
                   Estimate      SE       tStat      pValue  
                   ________    ______    _______    _________

    (Intercept)    -2541.5     174.64    -14.553    2.407e-21
    x1              88.041     2.6784     32.871    4.507e-40


Number of observations: 62, Error degrees of freedom: 60
Root Mean Squared Error: 494
R-squared: 0.947,  Adjusted R-Squared: 0.947
F-statistic vs. constant model: 1.08e+03, p-value = 4.51e-40

coeffCPI = Mdl.Coefficients.Estimate(2);
seCPI = Mdl.Coefficients.SE(2);

Распечатать остатки.

Постройте график остатков из Mdl по соответствующим значениям для оценки гетероскедастичности и автокорреляции.

figure;
stem(Mdl.Residuals.Raw);
xlabel('Observation');
ylabel('Residual');
title('{\bf Linear Model Residuals}');
axis tight;
grid on;

Остаточный график показывает различные уровни дисперсии, что указывает на гетероскедастичность. Соседние остатки (в отношении наблюдения) имеют тенденцию иметь одинаковый знак и величину, что указывает на наличие автокорреляции.

Оценка стандартных ошибок HAC.

Получение стандартных ошибок HAC в различных полосах пропускания с использованием Бартлетта (для оценки Ньюи-Уэста) и квадратичных спектральных ядер.

numEstimates = 10;
stdErrBT = zeros(numEstimates,1);
stdErrQS = zeros(numEstimates,1);
for bw = 1:numEstimates
    [~,seBT] = hac(cpi,wm,'bandwidth',bw,'display','off'); ...
        % Newey-West
    [~,seQS] = hac(cpi,wm,'weights','QS','bandwidth',bw, ...
        'display','off'); % HAC using quadratic spectral kernel
    stdErrBT(bw) = seBT(2);
    stdErrQS(bw) = seQS(2);
end

Вы можете увеличить numEstimates выяснить, как увеличение пропускной способности влияет на оценки HAC.

Постройте график стандартных ошибок.

Визуально сравните стандартные ошибки Newey-West $${\underset{}{\overset{\beta ˆ1}{}}}_{\mathrm{}}$$с ошибками, использующими квадратичное спектральное ядро по сетке полосы пропускания.

figure
hold on
hCoeff = plot(1:numEstimates,repmat(coeffCPI,numEstimates, ...
    1),'LineWidth',2);
hOLS = plot(1:numEstimates,repmat(coeffCPI+seCPI, ...
    numEstimates,1),'g--');
plot(1:numEstimates,repmat(coeffCPI-seCPI,numEstimates,1),'g--')
hBT = plot(1:numEstimates,coeffCPI+stdErrBT,'ro--');
plot(1:numEstimates,coeffCPI-stdErrBT,'ro--')
hQS = plot(1:numEstimates,coeffCPI+stdErrQS,'kp--',...
    'LineWidth',2);
plot(1:numEstimates,coeffCPI-stdErrQS,'kp--','LineWidth',2)
hold off
xlabel('Bandwidth')
ylabel('CPI Coefficient')
legend([hCoeff,hOLS,hBT,hQS],{'OLS Estimate', ...
    'OLS Standard Error','Newey-West SE', ...
    'Quadratic Spectral SE'},'Location','E')
title('{\bf CPI Coefficient Standard Errors}')
grid on

График предполагает, что для этого набора данных учет гетероскедастичности и автокорреляции с использованием любой оценки HAC приводит к более консервативным интервалам, чем обычная стандартная ошибка OLS. Точность оценок HAC уменьшается по мере увеличения полосы пропускания вдоль определенной сетки.

Для этого набора данных оценки Ньюи-Уэста несколько более точны, чем оценки, использующие квадратичное спектральное ядро. Это может быть связано с тем, что последний улавливает гетероскедастичность и автокорреляцию лучше, чем первый.

Ссылки: