Сравнение более плавного моделирования со сглаженными состояниями

Открыть сценарий в реальном времени

В этом примере показано, как результаты моделирования модели состояния-пространства сглаживаются (simsmooth) сравните со сглаженными состояниями (smooth).

Предположим, что взаимосвязь между изменением уровня безработицы ( $_{x1,}$ t) и номинальным темпом роста валового национального продукта (nGNP) $(_{x3,}$ t) может быть выражена в следующей форме модели «государство-пространство».

$[\begin{array}{cccccccccccccccccccc} _{x1,} \\ _{tx2,} \\ _{tx3,} \\ _{tx4, t} \end{array}] = \begin{array}{cccccccccccccccccccc} _{} & _{} & _{} \\ _{} & _{} & _{} \end{array} [ϕ1θ1γ100000γ20ϕ2θ20000] [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} _{x1,} \\ _{t-1x2,} \\ _{t-1x3,} \\ _{t-1x4, t-1} \end{array}] + \begin{array}{cccccccccccccccccccc} \end{array} [10100101] [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} _{u1,} \\ _{tu2, t} \end{array}]$

$[\begin{array}{cccccccccccccccccccc} _{y1,} \\ _{ty2, t} \end{array}] = \begin{array}{cccccccccccccccccccc} \end{array} [10000010] [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} _{x1,} \\ _{tx2,} \\ _{tx3,} \\ _{tx4, t} \end{array}] + \begin{array}{cccccccccccccccccccc} _{} \\ _{} \end{array} [σ100σ2] [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} _{ε1,} \\ _{tε2, t} \end{array}],$

где:

$_{x1,}$ t - изменение уровня безработицы в момент времени t.
$_{x2,}$ t - фиктивное состояние для эффекта MA (1) ${на}_{x1}$ , t.
$_{x3,}$ t - скорость роста nGNP в момент времени t.
$_{x4,}$ t - фиктивное состояние для эффекта MA (1) ${на}_{x3}$ , t.
$_{y1,}$ t - наблюдаемое изменение уровня безработицы.
$_{y2,}$ t - наблюдаемая скорость роста nGNP.
$_{u1,}$ t и $_{u2,}$ t - гауссова серия возмущений состояния, имеющих среднее значение 0 и стандартное отклонение 1.
$_{ε1, t}$ является Гауссовской серией инноваций наблюдения, имеющих средний 0 и стандартное отклонение $_{σ1}$ .
$_{ε2, t}$ является Гауссовской серией инноваций наблюдения, имеющих средний 0 и стандартное отклонение $_{σ2}$ .

Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера, который содержит, среди прочего, уровень безработицы и ряды nGNP.

load Data_NelsonPlosser

Выполните предварительную обработку данных, взяв натуральный логарифм ряда nGNP и первую разность каждого. Также снимите пусковую NaN значения из каждой серии.

isNaN = any(ismissing(DataTable),2);       % Flag periods containing NaNs
gnpn = DataTable.GNPN(~isNaN);
u = DataTable.UR(~isNaN);
T = size(gnpn,1);                          % Sample size
y = zeros(T-1,2);                          % Preallocate
y(:,1) = diff(u);
y(:,2) = diff(log(gnpn));

В этом примере используется серия без NaN значения. Однако, используя структуру фильтра Калмана, программное обеспечение может разместить серии, содержащие отсутствующие значения.

Укажите матрицы коэффициентов.

A = [NaN NaN NaN 0; 0 0 0 0; NaN 0 NaN NaN; 0 0 0 0];
B = [1 0;1 0 ; 0 1; 0 1];
C = [1 0 0 0; 0 0 1 0];
D = [NaN 0; 0 NaN];

Укажите модель состояния-пространства с помощью ssm. Убедитесь, что спецификация модели соответствует модели «состояние-пространство».

Mdl = ssm(A,B,C,D)

Mdl = 
State-space model type: ssm

State vector length: 4
Observation vector length: 2
State disturbance vector length: 2
Observation innovation vector length: 2
Sample size supported by model: Unlimited
Unknown parameters for estimation: 8

State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...
Unknown parameters: c1, c2,...

State equations:
x1(t) = (c1)x1(t-1) + (c3)x2(t-1) + (c4)x3(t-1) + u1(t)
x2(t) = u1(t)
x3(t) = (c2)x1(t-1) + (c5)x3(t-1) + (c6)x4(t-1) + u2(t)
x4(t) = u2(t)

Observation equations:
y1(t) = x1(t) + (c7)e1(t)
y2(t) = x3(t) + (c8)e2(t)

Initial state distribution:

Initial state means are not specified.
Initial state covariance matrix is not specified.
State types are not specified.

Оцените параметры модели и используйте случайный набор начальных значений параметров для оптимизации. Ограничьте оценку, $_{используя для}$ $_{}$ всех положительных, вещественных чисел 'lb' аргумент пары имя-значение. Для обеспечения числовой стабильности укажите гессен, когда программное обеспечение вычисляет ковариационную матрицу параметров, используя 'CovMethod' аргумент пары имя-значение.

rng(1);
params0 = rand(8,1);
[EstMdl,estParams] = estimate(Mdl,y,params0,...
    'lb',[-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 0 0],'CovMethod','hessian');

Method: Maximum likelihood (fmincon)
Sample size: 61
Logarithmic  likelihood:     -199.397
Akaike   info criterion:      414.793
Bayesian info criterion:       431.68
      |     Coeff       Std Err    t Stat     Prob  
----------------------------------------------------
 c(1) |  0.03387       0.15213     0.22262  0.82383 
 c(2) | -0.01258       0.05749    -0.21876  0.82684 
 c(3) |  2.49856       0.22759    10.97827   0      
 c(4) |  0.77438       2.58648     0.29940  0.76464 
 c(5) |  0.13994       2.64363     0.05294  0.95778 
 c(6) |  0.00367       2.45477     0.00149  0.99881 
 c(7) |  0.00239       2.11325     0.00113  0.99910 
 c(8) |  0.00014       0.12685     0.00113  0.99910 
      |                                             
      |   Final State   Std Dev     t Stat    Prob  
 x(1) |  1.40000       0.00239   585.18164   0      
 x(2) |  0.21778       0.91641     0.23765  0.81216 
 x(3) |  0.04730       0.00014   329.58394   0      
 x(4) |  0.03568       0.00015   240.95607   0

EstMdl является ssm и доступ к его свойствам можно получить с помощью точечной нотации.

Моделировать 1e4 пути наблюдений из установленной модели состояния-пространства EstMdl с использованием более плавного моделирования. Укажите, чтобы моделировать наблюдения для каждого периода.

numPaths = 1e4;
SimX = simsmooth(EstMdl,y,'NumPaths',numPaths);

SimX является T - 1около- 4около- numPaths матрица, содержащая моделируемые состояния. Строки SimX соответствуют периодам, столбцы соответствуют состоянию в модели, а страницы - путям.

Оценка сглаженных значений состояния, стандартных отклонений и 95% доверительных интервалов.

SmoothBar = mean(SimX,3);
SmoothSTD = std(SimX,0,3);
SmoothCIL = SmoothBar - 1.96*SmoothSTD;
SmoothCIU = SmoothBar + 1.96*SmoothSTD;

Оценка гладких состояний с помощью smooth.

SmoothX = smooth(EstMdl,y);

Постройте график сглаженных состояний и средства смоделированных состояний и их 95% доверительных интервалов.

figure
h = plot(dates(2:T),SmoothBar(:,1),'-r',...
    dates(2:T),SmoothCIL(:,1),':b',...
    dates(2:T),SmoothCIU(:,1),':b',...
    dates(2:T),SmoothX(:,1),':k',...
    'LineWidth',3);
xlabel 'Period';
ylabel 'Unemployment rate';
legend(h([1,2,4]),{'Simulated, smoothed state mean','95% confidence interval',...
    'Smoothed states'},'Location','Best');
title 'Smoothed Unemployment Rate';
axis tight

Figure contains an axes. The axes with title Smoothed Unemployment Rate contains 4 objects of type line. These objects represent Simulated, smoothed state mean, 95% confidence interval, Smoothed states.

figure
h = plot(dates(2:T),SmoothBar(:,3),'-r',...
    dates(2:T),SmoothCIL(:,3),':b',...
    dates(2:T),SmoothCIU(:,3),':b',...
    dates(2:T),SmoothX(:,3),':k',...
    'LineWidth',3);
xlabel 'Period';
ylabel 'nGNP';
legend(h([1,2,4]),{'Simulated, smoothed state mean','95% confidence interval',...
    'Smoothed states'},'Location','Best');
title 'Smoothed nGNP';
axis tight

Figure contains an axes. The axes with title Smoothed nGNP contains 4 objects of type line. These objects represent Simulated, smoothed state mean, 95% confidence interval, Smoothed states.

Средства смоделированного состояния практически идентичны сглаженным состояниям.

См. также

simsmooth | simulate | smooth | ssm

Документация

Сравнение более плавного моделирования со сглаженными состояниями

См. также

Документация по инструментарию Econometrics

Поддержка