Класс: ssm
Обратная рекурсия моделей пространства состояний
X = smooth(Mdl,Y)X) путем выполнения обратной рекурсии полностью заданной модели состояния-пространства Mdl. То есть smooth применяет стандартный фильтр Калмана с использованием Mdl и наблюдаемые ответы Y.
X = smooth(Mdl,Y,Name,Value)Name,Value аргументы пары.
Если Mdl не полностью указан, то необходимо задать неизвестные параметры для известных скаляров с помощью Params Name,Value парный аргумент.
[ использует любой из входных аргументов в предыдущих синтаксисах, чтобы дополнительно вернуть значение loglikeliability (X,logL,Output] = smooth(___)logL) и массив структуры вывода (Output), содержащий:
Сглаженные состояния и их оценочная ковариационная матрица
Сглаженные нарушения состояния и их оценочная ковариационная матрица
Сглаженные инновации наблюдения и их оценочная ковариационная матрица
Стоимость средств к существованию
Скорректированный прирост Калмана
И вектор, указывающий, какие данные использует программное обеспечение для фильтрации
Предположим, что скрытый процесс является AR (1). Уравнение состояния
+ ut,
где - гауссов со средним значением 0 и стандартным отклонением 0,5.
Создайте случайную серию из 100 наблюдений из , предполагая, что серия начинается с 1.5.
T = 100; ARMdl = arima('AR',0.5,'Constant',0,'Variance',0.5^2); x0 = 1.5; rng(1); % For reproducibility x = simulate(ARMdl,T,'Y0',x0);
Предположим далее, что скрытый процесс подвержен аддитивной погрешности измерения. Уравнение наблюдения
αt,
где - гауссов со средним значением 0 и стандартным отклонением 0,05. В совокупности скрытый процесс и уравнения наблюдения составляют модель состояния-пространства.
Использовать процесс случайного скрытого состояния (x) и уравнение наблюдения для генерации наблюдений.
y = x + 0.05*randn(T,1);
Укажите четыре матрицы коэффициентов.
A = 0.5; B = 0.5; C = 1; D = 0.05;
Укажите модель state-space с помощью матриц коэффициентов.
Mdl = ssm(A,B,C,D)
Mdl =
State-space model type: ssm
State vector length: 1
Observation vector length: 1
State disturbance vector length: 1
Observation innovation vector length: 1
Sample size supported by model: Unlimited
State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...
State equation:
x1(t) = (0.50)x1(t-1) + (0.50)u1(t)
Observation equation:
y1(t) = x1(t) + (0.05)e1(t)
Initial state distribution:
Initial state means
x1
0
Initial state covariance matrix
x1
x1 0.33
State types
x1
Stationary
Mdl является ssm модель. Убедитесь, что модель правильно задана с помощью отображения в окне команд. Программное обеспечение делает вывод, что процесс состояния является стационарным. Впоследствии программное обеспечение устанавливает среднее начальное состояние и ковариацию на среднее и дисперсию стационарного распределения модели AR (1).
Сглаживайте состояния для периодов с 1 по 100. Постройте график значений истинного состояния и сглаженных состояний.
SmoothedX = smooth(Mdl,y); figure plot(1:T,x,'-k',1:T,SmoothedX,':r','LineWidth',2) title({'State Values'}) xlabel('Period') ylabel('State') legend({'True state values','Smoothed state values'})
Предположим, что интерес представляет линейная зависимость между изменением уровня безработицы и номинальным темпом роста валового национального продукта (нВНП). Предположим далее, что первой разницей уровня безработицы является серия ARMA (1,1). Символично и в форме state-space модель
tyt-βZt = x1, t + startδ t,
где:
t - изменение уровня безработицы в момент времени t.
t - фиктивное состояние для эффекта MA (1).
t - наблюдаемый уровень безработицы, дефлируемый темпами роста nGNP Zt).
t - гауссова серия возмущений состояния, имеющих среднее значение 0 и стандартное отклонение 1.
- гауссова серия инноваций в области наблюдений, имеющих среднее значение 0 и стандартное отклонение,
Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера, который содержит, среди прочего, уровень безработицы и ряды nGNP.
load Data_NelsonPlosserВыполните предварительную обработку данных, взяв натуральный логарифм ряда nGNP и первую разность каждого ряда. Также снимите пусковую NaN значения из каждой серии.
isNaN = any(ismissing(DataTable),2); % Flag periods containing NaNs gnpn = DataTable.GNPN(~isNaN); u = DataTable.UR(~isNaN); T = size(gnpn,1); % Sample size Z = [ones(T-1,1) diff(log(gnpn))]; y = diff(u);
Несмотря на то, что в этом примере удаляются отсутствующие значения, программа может разместить ряд, содержащий отсутствующие значения в структуре фильтра Калмана.
Укажите матрицы коэффициентов.
A = [NaN NaN; 0 0]; B = [1; 1]; C = [1 0]; D = NaN;
Укажите модель состояния-пространства с помощью ssm.
Mdl = ssm(A,B,C,D);
Оцените параметры модели. Укажите компонент регрессии и его начальное значение для оптимизации с помощью 'Predictors' и 'Beta0' аргументы пары имя-значение соответственно. Ограничьте оценку всеми положительными, вещественными числами.
params0 = [0.3 0.2 0.2]; % Chosen arbitrarily [EstMdl,estParams] = estimate(Mdl,y,params0,'Predictors',Z,... 'Beta0',[0.1 0.2],'lb',[-Inf,-Inf,0,-Inf,-Inf]);
Method: Maximum likelihood (fmincon)
Sample size: 61
Logarithmic likelihood: -99.7245
Akaike info criterion: 209.449
Bayesian info criterion: 220.003
| Coeff Std Err t Stat Prob
----------------------------------------------------------
c(1) | -0.34098 0.29608 -1.15164 0.24948
c(2) | 1.05003 0.41377 2.53771 0.01116
c(3) | 0.48592 0.36790 1.32079 0.18657
y <- z(1) | 1.36121 0.22338 6.09358 0
y <- z(2) | -24.46711 1.60018 -15.29024 0
|
| Final State Std Dev t Stat Prob
x(1) | 1.01264 0.44690 2.26592 0.02346
x(2) | 0.77718 0.58917 1.31912 0.18713
EstMdl является ssm и доступ к его свойствам можно получить с помощью точечной нотации.
Сглаживайте состояния. EstMdl не сохраняет данные или коэффициенты регрессии, поэтому необходимо передать их с помощью аргументов пары имя-значение 'Predictors' и 'Beta'соответственно. Постройте график сглаженных состояний. Напомним, что первое государство - это изменение уровня безработицы, а второе государство помогает строить первое.
SmoothedX = smooth(EstMdl,y,'Predictors',Z,'Beta',estParams(end-1:end)); figure plot(dates(end-(T-1)+1:end),SmoothedX(:,1)); xlabel('Period') ylabel('Change in the unemployment rate') title('Smoothed Change in the Unemployment Rate')
Mdl не сохраняет данные ответа, данные предиктора и коэффициенты регрессии. При необходимости введите данные с помощью соответствующих аргументов пары «ввод-значение».
Для ускорения оценки для низкоразмерных, инвариантных по времени моделей, набор 'Univariate',true. Используя эту спецификацию, программное обеспечение последовательно обновляет, а не обновляет все сразу во время процесса фильтрации.
Фильтр Калмана принимает отсутствующие данные, не обновляя отфильтрованные оценки состояния, соответствующие отсутствующим наблюдениям. Другими словами, предположим, что отсутствует наблюдение в периоде T. Тогда прогноз состояния для периода t, основанный на предыдущих наблюдениях t-1, и отфильтрованное состояние для периода t эквивалентны.
Для явно определенных моделей пространства состояний: smooth применяет все предикторы к каждой серии ответов. Однако каждый ряд ответов имеет свой набор коэффициентов регрессии.
[1] Дурбин Дж., и С. Дж. Копман. Анализ временных рядов по методам пространства состояний. 2-й ред. Оксфорд: Oxford University Press, 2012.