Предположим, что скрытый процесс является моделью AR (1). Уравнение состояния

где $${}_{\mathrm{ut}}$$ - гауссов со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.

Создайте случайную серию из 100 наблюдений из $${}_{\mathrm{xt}}$$, предполагая, что серия начинается с 1.5.

T = 100;
ARMdl = arima('AR',0.5,'Constant',0,'Variance',1);
x0 = 1.5;
rng(1); % For reproducibility
x = simulate(ARMdl,T,'Y0',x0);

Предположим далее, что скрытый процесс подвержен аддитивной погрешности измерения. Уравнение наблюдения

где $${}_{\mathrm{\alpha t}}$$ - гауссов со средним значением 0 и стандартным отклонением 0,75. В совокупности скрытый процесс и уравнения наблюдения составляют модель состояния-пространства.

Использовать процесс случайного скрытого состояния (x) и уравнение наблюдения для генерации наблюдений.

y = x + 0.75*randn(T,1);

Укажите четыре матрицы коэффициентов.

A = 0.5;
B = 1;
C = 1;
D = 0.75;

Укажите модель state-space с помощью матриц коэффициентов.

Mdl = ssm(A,B,C,D)

Mdl = 
State-space model type: ssm

State vector length: 1
Observation vector length: 1
State disturbance vector length: 1
Observation innovation vector length: 1
Sample size supported by model: Unlimited

State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...

State equation:
x1(t) = (0.50)x1(t-1) + u1(t)

Observation equation:
y1(t) = x1(t) + (0.75)e1(t)

Initial state distribution:

Initial state means
 x1 
  0 

Initial state covariance matrix
     x1   
 x1  1.33 

State types
     x1     
 Stationary 

Mdl является ssm модель. Убедитесь, что модель правильно задана с помощью отображения в окне команд. Программное обеспечение делает вывод, что процесс состояния является стационарным. Впоследствии программное обеспечение устанавливает среднее начальное состояние и ковариацию на среднее и дисперсию стационарного распределения модели AR (1).

Моделирование одного пути для каждого из состояний и наблюдений. Укажите, что пути охватывают 100 периодов.

simX = simsmooth(Mdl,y);

simX - вектор смоделированных состояний «100 на 1».

Постройте график значений истинного состояния с моделируемыми состояниями.

figure;
plot(1:T,x,'-k',1:T,simX,':r','LineWidth',2);
title 'True State Values and Simulated States';
xlabel 'Period';
ylabel 'State';
legend({'True state values','Simulated state values'});

По умолчанию simulate моделирует один путь для каждого состояния в модели state-space. Чтобы провести исследование Монте-Карло, укажите, чтобы смоделировать большое количество путей с помощью 'NumPaths' аргумент пары имя-значение.

simsmooth функция извлекает случайные выборки из распределения сглаженных состояний или распределения состояния, заданного всеми данными и параметрами. Это определение заднего распределения состояния. Предположим, что скрытый процесс является AR (1). Уравнение состояния

где $${}_{\mathrm{ut}}$$ - гауссов со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.

Создайте случайную серию из 100 наблюдений из $${}_{\mathrm{xt}}$$, предполагая, что серия начинается с 1.5.

T = 100;
ARMdl = arima('AR',0.5,'Constant',0,'Variance',1);
x0 = 1.5;
rng(1); % For reproducibility
x = simulate(ARMdl,T,'Y0',x0);

Предположим далее, что скрытый процесс подвержен аддитивной погрешности измерения. Уравнение наблюдения

где $${}_{\mathrm{\alpha t}}$$ - гауссов со средним значением 0 и стандартным отклонением 0,75. В совокупности скрытый процесс и уравнения наблюдения составляют модель состояния-пространства.

Использовать процесс случайного скрытого состояния (x) и уравнение наблюдения для генерации наблюдений.

y = x + 0.75*randn(T,1);

Укажите четыре матрицы коэффициентов.

A = 0.5;
B = 1;
C = 1;
D = 0.75;

Укажите модель state-space с помощью матриц коэффициентов.

Mdl = ssm(A,B,C,D);

Сглаживание состояний модели пространства состояния.

xsmooth = smooth(Mdl,y);

Нарисуйте 1000 путей из заднего распределения $${}_{\mathrm{x1}}$$.

N = 1000;
SimX = simsmooth(Mdl,y,'NumPaths',N);

SimX является 100около- 1около- 1000 массив. Строки соответствуют периодам, столбцы - отдельным состояниям, листья - отдельным путям.

Поскольку SimX имеет одиночный размер, свернуть его так, чтобы его листья соответствовали столбцам с помощью squeeze.

SimX = squeeze(SimX);

Вычислите среднее значение, стандартное отклонение и 95% доверительные интервалы состояния в каждом периоде.

xbar = mean(SimX,2);
xstd = std(SimX,[],2);
ci = [xbar - 1.96*xstd, xbar + 1.96*xstd];

Постройте график сглаженных состояний и средних и 95% доверительных интервалов розыгрышей в каждом периоде.

figure;
plot(xsmooth,'k','LineWidth',2);
hold on;
plot(xbar,'--r','LineWidth',2);
plot(1:T,ci(:,1),'--r',1:T,ci(:,2),'--r');
legend('Smoothed states','Simulation Mean','95% CIs');
title('Smooth States and Simulation Statistics');
xlabel('Period')