Предположим, что скрытый процесс - это случайная прогулка. Следовательно, уравнение состояния

где $${}_{\mathrm{ut}}$$ - гауссов со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.

Создайте случайную серию из 100 наблюдений из $${}_{\mathrm{xt}}$$, предполагая, что серия начинается с 1.5.

T = 100; 
rng(1); % For reproducibility 
u = randn(T,1);
x = cumsum([1.5;u]);
x = x(2:end);

Предположим далее, что скрытый процесс подвержен аддитивной погрешности измерения. Следовательно, уравнение наблюдения

где $${}_{\mathrm{\alpha t}}$$ - гауссов со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.

Использовать процесс случайного скрытого состояния (x) и уравнение наблюдения для генерации наблюдений.

y = x + randn(T,1);

В совокупности скрытый процесс и уравнения наблюдения составляют модель состояния-пространства. Предположим, что состояние представляет собой стационарный процесс AR (1). Затем оценивается модель состояния-пространства

Укажите матрицы коэффициентов. Использовать NaN значения для неизвестных параметров.

A = NaN;
B = NaN;
C = 1;
D = NaN;

Создайте модель диффузного состояния-пространства, передав матрицы коэффициентов в dssm и уточняют, что тип состояния является диффузным.

StateType = 2;
Mdl = dssm(A,B,C,D,'StateType',StateType);

Mdl является dssm объект модели. Программное обеспечение устанавливает значения для начального среднего состояния и дисперсии в 0 и Inf. Проверьте правильность указания модели с помощью отображения в окне команд.

Найдите хороший набор начальных параметров для оценки.

params0 = [1 1 1]; % Initial values chosen arbitrarily
Output = refine(Mdl,y,params0);

Output является массивом структуры 1 на 5, содержащим рекомендуемые начальные значения параметров.

Выберите начальные значения параметров, соответствующие наибольшему логарифму

logL = cell2mat({Output.LogLikelihood})';
[~,maxLogLIndx] = max(logL)

maxLogLIndx = 3

refinedParams0 = Output(maxLogLIndx).Parameters

refinedParams0 = 1×3

    0.9781    0.8965    0.9336

Description = Output(maxLogLIndx).Description

Description = 
'Loose bound interior point'

Алгоритм, который дает самое высокое значение логарифма: Quasi-Newton, который является первым struct в массиве структуры Output.

Оценка Mdl использование refinedParams0, который является вектором уточненных начальных значений параметров.

EstMdl = estimate(Mdl,y,refinedParams0,'lb',[-Inf,0,0]);

Method: Maximum likelihood (fmincon)
Effective Sample size:             99
Logarithmic  likelihood:     -179.018
Akaike   info criterion:      364.036
Bayesian info criterion:      371.851
      |     Coeff       Std Err   t Stat     Prob  
---------------------------------------------------
 c(1) |  0.97805       0.02947   33.18393   0      
 c(2) |  0.89651       0.18465    4.85529  0.00000 
 c(3) |  0.93355       0.15187    6.14707   0      
      |                                            
      |   Final State   Std Dev    t Stat    Prob  
 x(1) | -3.95108       0.72269   -5.46719   0      

Коэффициент модели AR находится в пределах двух стандартных ошибок 1, что говорит о том, что процессы состояния являются случайной прогулкой.

Предположим, что соотношение между уровнем безработицы и номинальным валовым национальным продуктом (нВНП) является линейным. Предположим далее, что уровень безработицы является серией AR (1). Символично и в форме state-space модель

где:

Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера, который содержит данные по уровню безработицы и серии nGNP.

load Data_NelsonPlosser

Выполните предварительную обработку данных, взяв первую разницу в уровне безработицы и преобразовав nGNP в ряд возвратов. Удалить наблюдения, соответствующие последовательности NaN значения в начале серии показателей безработицы.

isNaN = any(ismissing(DataTable),2);       % Flag periods containing NaNs
gnpn = DataTable.GNPN(~isNaN);
y = DataTable.UR(~isNaN);
y = diff(y);
T = size(y,1);
Z = [ones(T,1) price2ret(gnpn)];

В этом примере используется серия без NaN значения. Однако, используя структуру фильтра Калмана, программное обеспечение может разместить серии, содержащие отсутствующие значения.

Укажите матрицы коэффициентов.

A = NaN;
B = NaN;
C = 1;

Создание модели состояния-пространства с помощью dssm путем подачи матриц коэффициентов и указания, что значения состояний происходят из диффузного распределения. Диффузная спецификация указывает на полное незнание моментов начального распределения.

StateType = 2;
Mdl = dssm(A,B,C,'StateType',StateType);

Mdl является dssm объект модели.

Найдите хороший набор начальных параметров для оценки.

params0 = [150 1000]; % Initial values chosen arbitrarily
Beta0 = [1 -100];
Output = refine(Mdl,y,params0,'Predictors',Z,'Beta0',Beta0);

Output является массивом структуры 1 на 5, содержащим рекомендуемые начальные значения параметров.

Выберите начальные значения параметров, соответствующие наибольшему логарифму.

logL = cell2mat({Output.LogLikelihood})';
[~,maxLogLIndx] = max(logL)

maxLogLIndx = 5

refinedParams0 = Output(maxLogLIndx).Parameters

refinedParams0 = 1×4

    0.2070   -1.3229    1.3610  -24.8848

Description = Output(maxLogLIndx).Description

Description = 
'Starting value shrinkage'

Алгоритм, который дает самое высокое значение логарифма: Nelder-Mead simplex, которая является второй структурой в массиве структуры Output.

Оценка Mdl с использованием уточненных начальных значений параметров refinedParams0.

EstMdl = estimate(Mdl,y,refinedParams0(1:(end - 2)),'Predictors',Z,...
    'Beta0',refinedParams0((end - 1):end));

Method: Maximum likelihood (fminunc)
Effective Sample size:             60
Logarithmic  likelihood:     -101.924
Akaike   info criterion:      211.849
Bayesian info criterion:      220.292
           |      Coeff       Std Err    t Stat     Prob  
----------------------------------------------------------
 c(1)      |   0.20700       0.12330     1.67891  0.09317 
 c(2)      |  -1.32287       0.08415   -15.71964   0      
 y <- z(1) |   1.36101       0.23736     5.73388   0      
 y <- z(2) | -24.88484       1.78021   -13.97861   0      
           |                                              
           |    Final State   Std Dev     t Stat    Prob  
 x(1)      |   1.21611        0           Inf      0