Модель состояния-пространства - это модель дискретного времени, стохастическая модель, которая содержит два набора уравнений:
Описание того, как латентный процесс переходит во времени (уравнение состояния)
Другой, описывающий, как наблюдатель измеряет скрытый процесс в каждый период (уравнение наблюдения)
Символически можно написать линейную, многомерную, изменяющуюся во времени гауссову модель состояния-пространства, используя следующую систему уравнений
Ctxt + Dtαt,
для t = 1,...,T.
xtmt] ′ - мт-мерный вектор состояния, описывающий динамику некоторого, возможно необозримого, явления в периоде t. Начальное распределение состояния (x0) является гауссовым со средним мк0 и ковариационной матрицей Σ0.
ytnt] ′ - nt-мерный вектор наблюдения, описывающий, как состояния измеряются наблюдателями в периоде t.
At - матрица переходов состояний mt-by-mt-1, описывающая, как состояния в момент времени t переходят в состояния в период t-1.
Bt является матрицей нагрузки на состояние mt-by-kt, описывающей, как состояния в периоде t объединяются с нововведениями в периоде t.
Ct - матрица чувствительности измерения к измерениям, описывающая, как наблюдения в периоде t соотносятся со состояниями в периоде t.
Dt - матрица наблюдения за инновациями, описывающая, как наблюдения в периоде t сочетаются с ошибками наблюдения в периоде t.
Матрицы At, Bt, Ct и Dt называются матрицами коэффициентов и могут содержать неизвестные параметры.
utkt] ′ является kt-мерным, гауссовым, белошумовым, единично-дисперсионным вектором возмущений состояния в периоде t.
αtht] ′ - ht-мерный, гауссовый, белошумовой, единично-дисперсионный вектор инноваций наблюдения в периоде t.
δ t и ut являются некоррелированными.
Для инвариантных по времени моделей «состояние-пространство»
- строка t матрицы T-за-d предикторов Z. Каждый столбец Z соответствует предиктору, а каждая последовательная строка - последовательному периоду. Если наблюдения многомерные, то все предикторы дефлируют каждое наблюдение.
β - матрица d-на-n коэффициентов регрессии для Zt.
Для записи инвариантной по времени модели «состояние-пространство» удалите t подстрочных индексов всех матриц коэффициентов и размерностей.
Диффузная модель состояния-пространства - это модель состояния-пространства, которая может содержать по меньшей мере одно состояние с бесконечной начальной дисперсией, называемое диффузным состоянием. Помимо наличия бесконечной начальной дисперсии, все диффузные состояния не коррелируются со всеми остальными состояниями в модели. Существует несколько мотивов использования моделей диффузного состояния и пространства:
Изучение очень ранних начальных точек некоторых нестационарных систем, таких как случайный процесс ходьбы, приводит к начальным дисперсиям распределения, которые приближаются к бесконечности.
Спецификация бесконечной дисперсии для распределения начального состояния указывает полное незнание или отсутствие предшествующего знания о диффузных состояниях. Преимущество этой спецификации заключается в том, что анализ этих состояний является более объективным. То есть наблюдения, а не дополнительные допущения распределения, помогают в понимании диффузных состояний. Недостаток заключается в том, что апостериорные распределения состояний могут быть неправильными, а функция правдоподобия неограниченна. Однако при наличии достаточного количества данных и идентифицируемой модели «гауссово состояние-пространство» отфильтрованные и сглаженные состояния и вероятность, основанная на них, могут быть вычислены с использованием диффузного фильтра Калмана.
Представить статическое начальное состояние как неизвестный параметр, присвоив ему бесконечную дисперсию.
В инвариантной по времени модели «состояние-пространство»:
Матрицы коэффициентов эквивалентны для всех периодов.
Количество состояний, нарушений состояния, наблюдений и наблюдений нововведений одинаково для всех периодов.
Например, для всех t следующая система уравнений
представляет инвариантную по времени модель состояния-пространства.
В изменяющейся во времени модели состояния-пространства:
Матрицы коэффициентов могут изменяться от периода к периоду.
Количество состояний, нарушений состояния, наблюдений и инноваций наблюдения может меняться от периода к периоду, модель с изменяющейся размерностью. Например, это может произойти, если происходит сдвиг режима или одно из состояний или наблюдений не может быть измерено в течение интервала времени выборки. Кроме того, сезонность можно моделировать с помощью изменяющихся во времени моделей.
Чтобы проиллюстрировать сдвиг режима, предположим, для t = 1,.., 10
для t = 11
= start5x1, t + 0,2αt,
и для t = 12,..,T
Существует три набора матриц перехода состояний, тогда как существует только два набора других матриц коэффициентов.
Для создания стандартной или диффузной модели пространства состояния используйте ssm или dssmсоответственно. Для инвариантных по времени моделей явным образом укажите параметрическую форму модели «состояние-пространство», предоставив матрицы коэффициентов. Для вариантов времени, сложных моделей или моделей, требующих ограничений, укажите функцию сопоставления параметра с матрицей. Программное обеспечение может выводить тип состояния (стационарное, постоянное или нестационарное), но лучше всего предоставлять тип состояния, используя, например, StateType аргумент пары имя-значение.
Фильтрация и сглаживание состояний указанного ssm или dssm в модели используется стандартный фильтр Калмана или диффузный фильтр Калмана. Для реализации любого из них программное обеспечение требует параметров распределения начального состояния (x0).
Для стационарных состояний (StateType является 0), начальные средства, дисперсии и ковариации конечны, и программное обеспечение выводит их. Однако с помощью свойств можно указать другие значения Mean0 и Cov0и точечная нотация.
Для состояний, которые являются постоянными для всех периодов (StateType является 1), средство начального состояния равно 1, а ковариации равны 0.
Для нестационарных или диффузных состояний (StateType является 2):
Для стандартной модели состояния-пространства средство начального состояния равно 0, а дисперсия начального состояния равна 1e7 по умолчанию. Задание ковариации начального состояния Inf, создайте dssm вместо этого объект модели.
Для моделей диффузного состояния-пространства средство начального состояния равно 0, а дисперсия начального состояния равна Inf.
[1] Дурбин Дж., и С. Дж. Копман. Анализ временных рядов по методам пространства состояний. 2-й ред. Оксфорд: Oxford University Press, 2012.