В этом примере показано, как прогнозировать изменяющуюся во времени модель пространства состояния, в которой происходит изменение режима в горизонте прогноза.
Предположим, что вы наблюдали многомерный процесс в течение 75 периодов, и вы хотите прогнозировать процесс 25 периодов в будущем. Также предположим, что можно указать процесс как модель пространства состояний. Для периодов с 1 по 50 модель state-space имеет одно состояние: стационарная модель AR (2) с постоянным членом. В период 51 модель состояния-пространства включает в себя случайную прогулку. Состояния наблюдаются непредвзято, но с аддитивной погрешностью измерения. Символично, что модель
Для периодов с 1 по 50 процесс случайного обхода отсутствует в модели.
Укажите матрицы коэффициентов в выборке.
A1 = {[0.5 0.2 1; 1 0 0; 0 0 1]}; % A for periods 1 - 50
A2 = {[0.5 0.2 1; 1 0 0; 0 0 1; 0 0 0]}; % A for period 51
A3 = {[0.5 0.2 1 0; 1 0 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]}; % A for periods 51 - 75
A = [repmat(A1,50,1); A2; repmat(A3,24,1)];
B1 = {[0.1; 0; 0]}; % B for periods 1 - 50
B3 = {[0.1 0; 0 0; 0 0; 0 0.5]}; % B for periods 51 - 75
B = [repmat(B1,50,1); repmat(B3,25,1)];
C1 = {[1 0 0]}; % C for periods 1 - 50
C3 = {[1 0 0 0; 0 0 0 1]}; % C for periods 51 - 75
C = [repmat(C1,50,1); repmat(C3,25,1)];
D1 = {0.3}; % D for periods 1 - 50
D3 = {[0.3 0; 0 0.2]}; % D for periods 51 - 75
D = [repmat(D1,50,1); repmat(D3,25,1)];Укажите модель пространства состояний, а также средство начального состояния и ковариационную матрицу. Рекомендуется указывать типы каждого состояния с помощью 'StateType' аргумент пары имя-значение. Укажите только параметры начального состояния для трех состояний, которые запускают модель state-space.
Mean0 = [1/(1-0.5-0.2); 1/(1-0.5-0.2); 1]; Cov0 = [0.02 0.01 0; 0.01 0.02 0; 0 0 0]; StateType = [0; 0; 1]; Mdl = ssm(A,B,C,D,'Mean0',Mean0,'Cov0',Cov0,'StateType',StateType)
Mdl =
State-space model type: ssm
State vector length: Time-varying
Observation vector length: Time-varying
State disturbance vector length: Time-varying
Observation innovation vector length: Time-varying
Sample size supported by model: 75
State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...
State equations of period 1, 2, 3,..., 50:
x1(t) = (0.50)x1(t-1) + (0.20)x2(t-1) + x3(t-1) + (0.10)u1(t)
x2(t) = x1(t-1)
x3(t) = x3(t-1)
State equations of period 51:
x1(t) = (0.50)x1(t-1) + (0.20)x2(t-1) + x3(t-1) + (0.10)u1(t)
x2(t) = x1(t-1)
x3(t) = x3(t-1)
x4(t) = (0.50)u2(t)
State equations of period 52, 53, 54,..., 75:
x1(t) = (0.50)x1(t-1) + (0.20)x2(t-1) + x3(t-1) + (0.10)u1(t)
x2(t) = x1(t-1)
x3(t) = x3(t-1)
x4(t) = x4(t-1) + (0.50)u2(t)
Observation equation of period 1, 2, 3,..., 50:
y1(t) = x1(t) + (0.30)e1(t)
Observation equations of period 51, 52, 53,..., 75:
y1(t) = x1(t) + (0.30)e1(t)
y2(t) = x4(t) + (0.20)e2(t)
Initial state distribution:
Initial state means
x1 x2 x3
3.33 3.33 1
Initial state covariance matrix
x1 x2 x3
x1 0.02 0.01 0
x2 0.01 0.02 0
x3 0 0 0
State types
x1 x2 x3
Stationary Stationary Constant
Mdl является изменяющимся во времени, ssm модель без неизвестных параметров. Программное обеспечение устанавливает средства начального состояния и значения ковариации на основе типа состояния.
Моделирование 75 наблюдений из Mdl.
rng(1); % For reproducibility
Y = simulate(Mdl,75);y представляет собой клеточный вектор 75 на 1. Ячейки 1-50 содержат скаляры, а ячейки 51-75 содержат числовые векторы 2 на 1. Ячейка j соответствует наблюдениям периода j, определенным моделью наблюдения.
Постройте график смоделированных откликов.
y1 = cell2mat(Y(51:75)); % Observations for periods 1 - 50 d1 = cell2mat(Y(51:75)); y2 = [d1(((1:25)*2)-1) d1((1:25)*2)]; % Observations for periods 51 - 75 figure plot(1:75,[y1;y2(:,1)],'-k',1:75,[nan(50,1);y2(:,2)],'-r','LineWidth',2') title('In-sample Observations') ylabel('Observations') xlabel('Period') legend({'AR(2)','Random walk'})
Предположим, что процесс случайного обхода выпадает из пространства состояния в 20-м периоде горизонта прогноза.
Укажите матрицы коэффициентов для периода прогноза.
A4 = {[0.5 0.2 1 0; 1 0 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]}; % A for periods 76 - 95
A5 = {[0.5 0.2 1 0; 1 0 0 0; 0 0 1 0]}; % A for period 96
A6 = {[0.5 0.2 1; 1 0 0; 0 0 1]}; % A for periods 97 - 100
fhA = [repmat(A4,20,1); A5; repmat(A6,4,1)];
B4 = {[0.1 0; 0 0; 0 0; 0 0.5]}; % B for periods 76 - 95
B6 = {[0.1; 0; 0]}; % B for periods 96 - 100
fhB = [repmat(B4,20,1); repmat(B6,5,1)];
C4 = {[1 0 0 0; 0 0 0 1]}; % C for periods 76 - 95
C6 = {[1 0 0]}; % C for periods 96 - 100
fhC = [repmat(C4,20,1); repmat(C6,5,1)];
D4 = {[0.3 0; 0 0.2]}; % D for periods 76 - 95
D6 = {0.3}; % D for periods 96 - 100
fhD = [repmat(D4,20,1); repmat(D6,5,1)];Прогнозные наблюдения на горизонте прогноза.
FY = forecast(Mdl,25,Y,'A',fhA,'B',fhB,'C',fhC,'D',fhD);
FY является клеточным вектором 25 на 1. Ячейки с 1 по 20 содержат числовые векторы 2 на 1, а ячейки с 51 по 75 содержат скаляры. Ячейка j соответствует наблюдениям периода j, определяемым прогнозно-горизонтальной моделью наблюдений.
Постройте график прогнозов с результатами наблюдений в выборке.
d2 = cell2mat(FY(1:20)); FY1 = [d2(((1:20)*2)-1) d2((1:20)*2)]; % Forecasts for periods 76 - 95 FY2 = cell2mat(FY(21:25)); % Forecasts for periods 96 - 100 figure plot(1:75,[y1;y2(:,1)],'-k',1:75,[nan(50,1);y2(:,2)],'-r',... 76:100,[FY1(:,1); FY2],'.-k',76:100,[FY1(:,2); nan(5,1)],'.-r',... 75:76,[y2(end,1) FY1(1,1)],':k',75:76,[y2(end,2) FY1(1,2)],':r',... 'LineWidth',2') title('In-sample and Forecasted Observations') ylabel('Observations') xlabel('Period') xlim([50,100]) legend({'In-sample AR(2)','In-sample random walk',... 'AR(2), forecasted observations',... 'Random walk, forecasted observations'},'Location','Best')%% Title
estimate | forecast | refine | ssm