В структуре модели «состояние-пространство» фильтр Калмана оценивает значения скрытого, линейного, стохастического, динамического процесса на основе, возможно, неправильно измеренных наблюдений. Учитывая допущения распределения по неопределенности, фильтр Калмана также оценивает параметры модели с помощью максимального правдоподобия.
Начиная с начальных значений для состояний (x0 | 0), матрицы дисперсия-ковариация начального состояния (P0 | 0) и начальных значений для всех неизвестных параметров (start0), простой фильтр Калмана:
Оценки, для t = 1,...,T:
Вектор прогнозирования состояния на 1 шаг вперед для периода t (− 1) и его дисперсии-ковариации
Вектор 1 шага вперед прогнозов наблюдений для периода t (− 1) и его оценочная матрица дисперсии-ковариации Vt' t − 1)
Отфильтрованные состояния для периода t (t 't) и его оценочной матрицы дисперсии-ковариации Pt' t)
Включение прогнозируемых и отфильтрованных оценок в функцию правдоподобия данных
Vt' t − 1),
где (Vt' t − 1) - многомерная функция нормальной плотности вероятности средним значением y ^ t 't − 1 дисперсией Vt' t − 1.
Подает эту процедуру в оптимизатор для максимизации вероятности относительно параметров модели.
s-шаг вперед, прогнозы состояния - это оценки состояний в периоде t с использованием всей информации (например, наблюдаемые ответы) до периода t-s.
Вектор mt-by-1 на 1 шаг вперед, прогнозы состояния в периоде t xt ..., y1). Оценочный вектор прогнозов состояния составляет
t − 1 | t − 1,
где | t − 1 - вектор отфильтрованного состояния mt - 1 на 1 в периоде t - 1.
В период t, 1 шаг вперед, прогнозы состояния имеют матрицу дисперсии-ковариации
′,
t − 1 - оценочная дисперсионно-ковариационная матрица отфильтрованных состояний в периоде t - 1, учитывая всю информацию до периода t - 1.
Соответствующее прогнозное наблюдение на 1 шаг вперед - ^ t' t − 1, а его дисперсии-ковариации
В общем, s-шаг вперед, прогнозируемый вектор состояния xt '..., y1). S-шаг вперед, вектор прогнозов состояния
∏j=t+1t+sAj) xt' t
и s-шаг вперед, прогнозируемый вектор наблюдения
sx ^ t + s' t.
Прогнозы состояния в период t, обновленные с использованием всей информации (например, наблюдаемые ответы) до периода t.
Вектор mt-by-1 отфильтрованных состояний в периоде t равен y1). Оценочный вектор отфильтрованных состояний равен
+ Kt ^ t,
где:
− 1 - вектор прогнозов состояния в периоде t с использованием наблюдаемых откликов от периодов от 1 до t- 1.
Kt - неочищенная матрица усиления Калмана для периода t.
- ht-1 вектор предполагаемых инноваций наблюдения в период t.
Другими словами, отфильтрованные состояния в периоде t являются прогнозируемыми состояниями в периоде t плюс корректировка, основанная на достоверности наблюдения. Достоверные наблюдения имеют очень мало соответствующей дисперсии инноваций наблюдения (например, максимальное собственное значение ′ DtDt относительно мало). Следовательно, для данного новшества в оценочных наблюдениях термин t оказывает большее влияние на значения отфильтрованных состояний, чем ненадежные наблюдения.
В периоде t отфильтрованные состояния имеют матрицу дисперсии-ковариации
KtCtPt 't − 1,
где 1 - оценочная дисперсионно-ковариационная матрица прогнозов состояния в периоде t, учитывая всю информацию до периода t-1.
Сглаженные состояния - это оценочные состояния в периоде t, которые обновляются с использованием всей доступной информации (например, всех наблюдаемых ответов).
Вектор mt-by-1 сглаженных состояний в периоде t равен y1). Оценочный вектор сглаженных состояний равен
Pt 't − 1rt,
где:
- государственные прогнозы в период t использование наблюдаемых ответов с периодов 1 к t - 1.
1 - оценочная дисперсионно-ковариационная матрица прогнозов состояния, учитывая всю информацию до периода t - 1.
Cs′Vs's−1−1νs}, где,
Kt - неочищенная матрица усиления Калмана для периода t.
′, которая является оценочной матрицей дисперсии-ковариации прогнозируемых наблюдений.
, который является различием между наблюдением и его прогнозом в период t.
Оцениваются сглаженные нарушения состояния, нарушения состояния в период t, которые обновляются с использованием всей доступной информации (например, всех наблюдаемых ответов).
Вектор kt-by-1 сглаженных возмущений состояния в периоде t равен y1). Расчетный вектор сглаженных возмущений состояния равен
где rt - переменная в формуле для оценки сглаженных состояний.
В периоде t сглаженные нарушения состояния имеют дисперсионно-ковариационную матрицу
где Nt - переменная в формуле для оценки матрицы дисперсии-ковариации сглаженных состояний.
Программное обеспечение вычисляет сглаженные оценки с использованием обратной рекурсии фильтра Калмана.
s-шаг вперед, прогнозируемые наблюдения - это оценки наблюдений в период t с использованием всей информации (например, наблюдаемых ответов) вплоть до периода t-s.
Вектор nt-by-1 1-ступенчатых, прогнозируемых наблюдений в периоде t равен 't
^ t' t − 1,
где − 1 - оценочный вектор mt-by-1 прогнозов состояния в периоде t.
В периоде t 1 шаг вперед прогнозируемые наблюдения имеют матрицу дисперсии-ковариации
=CtPt't−1Ct′+DtDt ′.
где 1 - оценочная дисперсионно-ковариационная матрица прогнозов состояния в периоде t, учитывая всю информацию до периода t-1.
В общем, s-шаг вперед, вектор прогнозов состояния xt '..., y1). S-шаг вперед, прогнозируемый вектор наблюдения
sx ^ t + s' t.
Сглаженные инновации наблюдения оцениваются, инновации наблюдения в период t, которые обновляются с использованием всей доступной информации (например, всех наблюдаемых ответов).
Вектор ht-by-1 сглаженных, наблюдаемых новшеств в периоде t равен y1). Предполагаемый вектор сглаженных, наблюдательных инноваций -
где:
rt и startt являются переменными в формуле для оценки сглаженных состояний.
Kt - неочищенная матрица усиления Калмана для периода t.
′, которая является оценочной матрицей дисперсии-ковариации прогнозируемых наблюдений.
В периоде t сглаженные инновации наблюдения имеют дисперсионно-ковариационную матрицу
Vt't−1−1−Kt′Nt+1Kt) Dt.
Программное обеспечение вычисляет сглаженные оценки с использованием обратной рекурсии фильтра Калмана.
Необработанный коэффициент усиления Калмана - это матрица, указывающая, насколько взвешивать наблюдения во время рекурсий фильтра Калмана.
Необработанный коэффициент усиления Калмана является матрицей mt-by-ht, вычисленной с использованием
CtPt't−1Ct′+DtDt ′) − 1,
где 1 - оценочная дисперсионно-ковариационная матрица прогнозов состояния, учитывая всю информацию до периода t-1.
Величина сырого набора Калмана определяет, сколько веса следует положить на наблюдения. Для данного оценочного новшества наблюдения, если максимальное собственное значение ′ DtDt относительно мало, то сырой прирост Калмана придает относительно большой вес наблюдениям. Если максимальное собственное значение DtDt ′ относительно велико, то сырой прирост Калмана придает относительно небольшой вес наблюдениям. Следовательно, отфильтрованные состояния в период t близки к соответствующим прогнозам состояния.
Рассмотрим возможность получения прогнозов состояния на 1 шаг вперед для периода t + 1 с использованием всей информации до периода T. Скорректированный прирост Калмана (t) - это величина веса, нанесенная на предполагаемое инновационное наблюдение для периода t t) по сравнению с состояния на 2 шага вперед
То есть
= x ^ t + 1 | t − 1 + Kadj, tstart^ t.
Обратная рекурсия фильтра Калмана оценивает сглаженные состояния, нарушения состояния и инновации наблюдения.
Программа оценивает сглаженные значения по:
Установка rT + 1 = 0 и NT + 1 в матрицу mT-by-mT из 0 с
Для t = T,...,1 он рекурсивно вычисляет:
rt (см. Сглаженные состояния)
t 'T, которая является матрицей сглаженных состояний
Nt (см. Сглаженные состояния)
, которая является оценочной матрицей дисперсии-ковариации сглаженных состояний
t 'T, которая является матрицей сглаженных возмущений состояния
, которая является матрицей оцененной дисперсии-ковариации сглаженных возмущений состояния
t 'T, которая является матрицей сглаженных инноваций наблюдения
, которая является оценочной матрицей дисперсии-ковариации сглаженных инноваций наблюдения
Рассмотрим модель состояния-пространства, написанную так, чтобы m диффузных состояний (xd) были отделены от n стационарных состояний (xs). То есть моменты начальных распределений равны
[
мкd0 - m-вектор нулей
мкс0 - n-вектор вещественных чисел
Σd0 = λ Im, где Im является матрицей тождества m-by-m, а («t») - положительным вещественным числом.
Σs0 является n-на-n положительной определенной матрицей.
Диффузные состояния не коррелируют друг с другом и со стационарными состояниями.
Один из способов анализа такой модели состоит в том, чтобы задать относительно большое положительное вещественное число, а затем реализовать стандартный фильтр Калмана (см. ssm). Эта обработка является приближением к анализу, который рассматривает диффузные состояния, как если бы их ковариация начального состояния приближалась к бесконечности.
Диффузный фильтр Калмана или точно-начальный фильтр Калмана [58] обрабатывает диффузные состояния, принимая для ∞. Диффузный фильтр Калмана фильтрует в два этапа: первый этап инициализирует модель так, чтобы впоследствии её можно было фильтровать с помощью стандартного фильтра Калмана, который является вторым этапом. Этап инициализации зеркально отражает стандартный фильтр Калмана. Он устанавливает все начальные отфильтрованные состояния на ноль, а затем дополняет этот вектор начальных отфильтрованных состояний единичной матрицей, которая составляет матрицу (m + n) -by- (m + n + 1). После достаточного количества периодов прецизионные матрицы становятся неингулярными. То есть диффузный фильтр Калмана использует достаточно периодов в начале серии для инициализации модели. Этот период можно рассматривать как предварительные данные.
Второй этап начинается, когда матрицы точности являются неингулярными. В частности, этап инициализации возвращает вектор отфильтрованных состояний и их матрицу точности. Затем стандартный фильтр Калмана использует эти оценки и оставшиеся данные для фильтрации, сглаживания и оценки параметров. Дополнительные сведения см. в разделе dssm и [58], раздел 5.2.
[1] Дурбин Дж., и С. Дж. Копман. Анализ временных рядов по методам пространства состояний. 2-й ред. Оксфорд: Oxford University Press, 2012.