MMSE Прогнозирование условных средних моделей

Каковы прогнозы MMSE?

Общей целью моделирования временных рядов является создание прогнозов для процесса в будущем временном горизонте. То есть, учитывая наблюдаемую серию y1, y2,...,yN и горизонт прогноза h, генерируют прогнозы для $_{yN +} 1_{,} yN +_{2, .} .$ ., yN + h.

Пусть ${\overset{}{y}}_{^t}$ + 1 обозначает прогноз для процесса в момент времени t + 1, обусловленный историей процесса до момента времени _t, Ht и экзогенным ковариатным рядом до момента времени t + _{1, Xt} + 1, если компонент регрессии включен в модель. Прогноз минимальной среднеквадратической ошибки (MMSE) - это ${\overset{}{}}_{прогноз y}$ ^ t + 1, который минимизирует ожидаемые квадратные потери,

$E {(_{yt} + {\overset{1}{}}_{-} y_{^} t_{+} 1}^{} |$ Ht, Xt + 1) 2.

Минимизация этой функции потерь дает прогноз MMSE,

${\overset{}{y}}_{^t} + 1_{=} E_{(} {yt}_{+} 1$ | Ht, Xt + 1).

Как `forecast` Создание прогнозов MMSE

forecast функция создает прогнозы MMSE рекурсивно. При звонке forecast, вы указываете модель Mdl, горизонт прогноза numperiodsи предварительный отбор ответов Y0. При необходимости можно указать предварительные инновации. 'E0', условные отклонения 'V0'и экзогенные данные 'X0' используя аргументы пары «имя-значение». Хотя forecast не требует X0 или прогнозировать выборку экзогенных данных XF, при указании X0 затем необходимо также указать XF.

Чтобы начать прогнозирование с конца наблюдаемой серии, скажем Y, использовать последние несколько наблюдений Y в качестве предварительных ответов Y0 для инициализации прогноза. При указании данных предварительной выборки необходимо учитывать несколько моментов:

Минимальное количество ответов, необходимых для инициализации прогнозирования, хранится в свойстве P из arima модель. Если предоставлено слишком мало предварительных наблюдений, forecast возвращает ошибку.
При прогнозировании модели с компонентом MA forecast требует предварительных инноваций. Количество необходимых нововведений хранится в свойстве Q из arima модель. Если также имеется модель условного отклонения, необходимо дополнительно учесть любые необходимые инновации предварительной выборки. Если вы указываете предварительные инновации, но недостаточно, forecast возвращает ошибку.
Если вы не указываете какие-либо предварительные изменения, но указываете достаточные предварительные ответы (по крайней мере P + Q) и экзогенные ковариатные данные (по крайней мере, количество ответов предварительной выборки минус P), то forecast автоматически выводит предварительные инновации. В общем случае, чем длиннее предоставляемая серия ответов на предварительный образец, тем лучше будут предполагаемые инновации предварительного образца. Если вы предоставляете предварительные ответы и экзогенные ковариационные данные, но недостаточно, forecast устанавливает предварительные нововведения равными нулю.
При прогнозировании модели с компонентом регрессии forecast требует будущих экзогенных ковариатных данных для всех моментов времени в периоде прогноза (numperiods). Если предоставить будущие экзогенные ковариатные данные, но недостаточно, то forecast возвращает ошибку.

Рассмотрите возможность создания прогнозов для процесса AR (2),

$_{yt} = c_{} +_{} {δ 1yt}_{} -_{1} +_{}$ δ 2yt − 2 + αt.

Учитывая предварительные наблюдения $_{yN −}$ 1 $и_{}$ yN, прогнозы рекурсивно генерируются следующим образом:

${\overset{}{y}}_{^N} + 1_{} =_{} c_{+}_{}$ ϕ1yN + ϕ2yN − 1
${\overset{}{y}}_{^N} + 2_{} {\overset{}{=}}_{c +}_{} {start1y}_{}$ ^ N + 1 + ϕ2yN
${\overset{}{}}_{} y^N+3=c_{} {\overset{}{}}_{+ϕ1y^N+2}_{} {\overset{}{}}_{+ϕ2y^N+1}$

$⋮$

Для стационарного процесса AR эта рекурсия сходится к безусловному среднему значению процесса,

$\frac{}{_{}_{}} μ=c(1-ϕ1-ϕ2).$

Для процесса МА (2), например,

$_{yt} = λ_{} +_{} {αt}_{+}_{} {start1αt}_{-} 1$ + start2αt − 2,

для инициализации прогнозов необходимо 2 предварительных нововведения. Все нововведения от времени N + 1 и выше установлены на их ожидание, ноль. Таким образом, для процесса MA (2) прогнозом для любого времени, превышающего 2 шага в будущем, является безусловное среднее значение, λ.

Ошибка прогноза

Прогнозируемая среднеквадратическая ошибка для прогноза с опережением шага дается

$MSE = {E_{(} yt {\overset{+}{}}_{s} -_{y^t} +_{}}^{s 'Ht}$ + s − 1, Xt + s) 2.

Рассмотрим условную среднюю модель, заданную

$_{}_{}^{} yt=μ+xt′β+ψ (L)_{}$ αt,

где $start(L) =_{1} +_{}^{ψ1L} +$ ψ2L2 +.... Суммировать дисперсии запаздывающих инноваций для получения s-step MSE,

$_{}^{}_{}^{}_{}^{}_{}^{} (1+ψ12+ψ22+\dots+ψs-12)σε2,$

где $_{}^{startα2}$ обозначает дисперсию нововведения.

Для стационарных процессов коэффициенты многочлена оператора бесконечного запаздывания абсолютно суммируются, и MSE сходится к безусловной дисперсии процесса.

Для нестационарных процессов серия не сходится, и ошибка прогноза со временем растет.

Документация