fzero функция пытается найти корень одного уравнения с одной переменной. Эту функцию можно вызвать либо с начальной точкой из одного элемента, либо с двухэлементным вектором, обозначающим начальный интервал. Если дать fzero начальная точка x0, fzero сначала ищет интервал вокруг этой точки, где функция меняет знак. Если интервал найден, fzero возвращает значение, рядом с которым функция изменяет знак. Если такой интервал не найден, fzero прибыль NaN. Кроме того, если известны две точки, где значение функции отличается знаком, можно задать этот начальный интервал с помощью двухэлементного вектора; fzero гарантированно сужает интервал и возвращает значение около изменения знака.
Следующие разделы содержат два примера, иллюстрирующих поиск нуля функции с использованием начального интервала и начальной точки. В примерах используется функция humps.m, который поставляется с MATLAB ®. На следующем рисунке показан график humps.
x = -1:.01:2; y = humps(x); plot(x,y) xlabel('x'); ylabel('humps(x)') grid on
fzeroМожно управлять несколькими аспектами fzero путем установки параметров. Параметры задаются с помощью optimset. Варианты включают в себя:
Выбор объема просмотра fzero генерирует - см. раздел Настройка параметров оптимизации, Использование начального интервала и Использование начальной точки.
Выбор различных допусков, определяющих способ fzero определяет, что он находится в корне - см. раздел Настройка параметров оптимизации.
Выбор функции графика для наблюдения за ходом выполнения fzero по направлению к корню - см. раздел Функции графика решателя оптимизации.
Использование программируемой пользователем функции вывода для наблюдения за ходом выполнения fzero по направлению к корню - см. раздел Функции вывода решения оптимизации.
График humps указывает, что функция отрицательна в x = -1 и положительно на x = 1. Вы можете подтвердить это, рассчитав humps в этих двух точках.
humps(1)
ans = 16
humps(-1)
ans = -5.1378
Следовательно, можно использовать [-1 1] как начальный интервал для fzero.
Итеративный алгоритм для fzero находит меньшие и меньшие субинтервалы [-1 1]. Для каждого субинтервала знак humps различается на двух конечных точках. По мере того, как конечные точки субинтервалов становятся все ближе и ближе, они сходятся к нулю для humps.
Отображение хода выполнения fzero на каждой итерации установите Display опция для iter с использованием optimset функция.
options = optimset('Display','iter');
Затем позвоните fzero следующим образом:
a = fzero(@humps,[-1 1],options)
Func-count x f(x) Procedure
2 -1 -5.13779 initial
3 -0.513876 -4.02235 interpolation
4 -0.513876 -4.02235 bisection
5 -0.473635 -3.83767 interpolation
6 -0.115287 0.414441 bisection
7 -0.115287 0.414441 interpolation
8 -0.132562 -0.0226907 interpolation
9 -0.131666 -0.0011492 interpolation
10 -0.131618 1.88371e-07 interpolation
11 -0.131618 -2.7935e-11 interpolation
12 -0.131618 8.88178e-16 interpolation
13 -0.131618 8.88178e-16 interpolation
Zero found in the interval [-1, 1]
a = -0.1316
Каждое значение x представляет наилучшую конечную точку на данный момент. Procedure в столбце указывается, используется ли на каждом шаге алгоритма биссекция или интерполяция.
Можно проверить, что значение функции в a близок к нулю путем ввода
humps(a)
ans = 8.8818e-16
Предположим, что вы не знаете две точки, в которых функции значения humps отличаются знаком. В этом случае можно выбрать скаляр x0 в качестве отправной точки для fzero. fzero сначала ищет интервал вокруг этой точки, в которой функция изменяет знак. Если fzero находит такой интервал, он переходит к алгоритму, описанному в предыдущем разделе. Если такой интервал не найден, fzero прибыль NaN.
Например, задайте для начальной точки значение -0.2, Display опция для Iterи звоните fzero:
options = optimset('Display','iter'); a = fzero(@humps,-0.2,options)
Search for an interval around -0.2 containing a sign change:
Func-count a f(a) b f(b) Procedure
1 -0.2 -1.35385 -0.2 -1.35385 initial interval
3 -0.194343 -1.26077 -0.205657 -1.44411 search
5 -0.192 -1.22137 -0.208 -1.4807 search
7 -0.188686 -1.16477 -0.211314 -1.53167 search
9 -0.184 -1.08293 -0.216 -1.60224 search
11 -0.177373 -0.963455 -0.222627 -1.69911 search
13 -0.168 -0.786636 -0.232 -1.83055 search
15 -0.154745 -0.51962 -0.245255 -2.00602 search
17 -0.136 -0.104165 -0.264 -2.23521 search
18 -0.10949 0.572246 -0.264 -2.23521 search
Search for a zero in the interval [-0.10949, -0.264]:
Func-count x f(x) Procedure
18 -0.10949 0.572246 initial
19 -0.140984 -0.219277 interpolation
20 -0.132259 -0.0154224 interpolation
21 -0.131617 3.40729e-05 interpolation
22 -0.131618 -6.79505e-08 interpolation
23 -0.131618 -2.98428e-13 interpolation
24 -0.131618 8.88178e-16 interpolation
25 -0.131618 8.88178e-16 interpolation
Zero found in the interval [-0.10949, -0.264]
a = -0.1316
Конечные точки текущего субинтервала в каждой итерации перечислены в заголовках a и b, в то время как соответствующие значения humps на конечных точках перечислены в разделе f(a) и f(b)соответственно.
Примечание: Конечные точки a и b не перечислены в каком-либо конкретном порядке: a может быть больше, чем b или менее b.
Для первых девяти шагов, знак humps отрицательный на обеих конечных точках текущего субинтервала, который отображается на выходе. На десятом шаге знак humps является положительным при a, -0.10949, но отрицательно при b, -0.264. С этого момента алгоритм продолжает сужать интервал [-0.10949 -0.264], как описано в предыдущем разделе, пока оно не достигнет значения -0.1316.